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2025-2026学年必修第二册数学单元自测第10章 三角恒等变换·能力提升（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C A B C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13．/ 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）【解】（1）因为，，是钝角，所以.由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，..（2）因为，所以..16．（本小题满分15分）【解】（1）因为函数最小正周期为，且，所以由，得，又因为是奇函数，所以，而，所以，因此，在时，令，当或时，函数单调递增，所以时，的递增区间是和；（2）因为函数最小正周期为，且，所以由，得，即，即，把点代入，得，即，因为，所以，因此有，得，．17．（本小题满分15分）【解】（1），由图知，过点，即，则，由图得，，解得．所以．（2）由题得，，由，得，则，所以，解得，因此，使成立的的取值集合是．18．（本小题满分17分）【解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M，则，.所以，.所以，令，则.所以.故当时，有最小值；当时，有最大值.19．（本小题满分17分）【解】（1）因为，所以，令，，可得，，所以函数的对称轴方程为，；（2）由（1），故当，，即， 时，函数取得最大值，最大值为；（3）函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象，再将函数向右平移个单位，得到的图象，，故函数的最小正周期为，令，，可得，，所以函数的单调递增区间为.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1学科网（北京）股份有限公司1 / 16学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年必修第二册数学单元自测第10章 三角恒等变换·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为，所以，得，则．故选：B2．的值为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】.故选：D.3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ）A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】A【解析】由题意，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，又标杆在地面上的影长与表高满足关系：，所以，又因为第二次测量时太阳天顶距为，且满足，解得，则第二次测量时影长，即第二次测量时影长是表高的1倍.故选：A.4．已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件可知，，，且，所以不妨设，则，，则，所以.故选：C5．在中，已知，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】因为，，所以，，即，因为，所以所以，即为等腰三角形.故选：A．6．函数的最大值为（ ）A．1 B．2 C．-2 D．3【答案】B【解析】因为，当，即时，，所以的最大值为2.故选：B7．若，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即，因为，所以，则的取值范围是.故选：C8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，因为与的图象关于点对称，所以，而，则，即对于任意恒成立，所以，或（舍去），则，又，则的最小值为.故选：D二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知，，则（ ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为、，所以，故D正确.故选：BD10．已知函数则（ ）A．函数为偶函数 B．的最大值为C．在区间单调递增 D．曲线关于对称【答案】AC【解析】.对于A，设，函数的定义域关于原点对称，由，可得函数为偶函数，故A正确；对于B，由于的最大值为，因此，故B错误；对于C，当时，因单调递增，故在上单调递增，故C正确；对于D，由于曲线关于 对称，因此曲线关于对称，故D错误.故选：AC.11．已知函数，则（ ）A．的最小正周期为B．直线是曲线的一条对称轴C．在上单调递增D．将的图象向右平移个单位得到的图象【答案】ACD【解析】．对于A，的最小正周期，故A正确；对于B，，故直线不是曲线的一条对称轴，故错误：对于C，，故在上单调递增，故正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则 ．【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以，13．若函数，且对任意的满足，则实数 .【答案】/【解析】函数，因为，所以该函数的对称轴为，因此有，于是有，14．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意可得，令，解得，因为，所以，因为在上恰有两个零点，所以，解得，所以的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称.(1)求的值；(2)求的值.【解】（1）因为，，是钝角，所以.由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，..（2）因为，所以..16．（本小题满分15分）已知函数，它们的最小正周期为．(1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间；(2)若的一个零点为，求的最大值．【解】（1）因为函数最小正周期为，且，所以由，得，又因为是奇函数，所以，而，所以，因此，在时，令，当或时，函数单调递增，所以时，的递增区间是和；（2）因为函数最小正周期为，且，所以由，得，即，即，把点代入，得，即，因为，所以，因此有，得，．17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．【解】（1），由图知，过点，即，则，由图得，，解得．所以．（2）由题得，，由，得，则，所以，解得，因此，使成立的的取值集合是．18．（本小题满分17分）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．【解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M，则，.所以，.所以，令，则.所以.故当时，有最小值；当时，有最大值.19．（本小题满分17分）已知函数(1)求函数的对称轴方程；(2)求函数的最大值及相应的值；(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间.【解】（1）因为，所以，令，，可得，，所以函数的对称轴方程为，；（2）由（1），故当，，即， 时，函数取得最大值，最大值为；（3）函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象，再将函数向右平移个单位，得到的图象，，故函数的最小正周期为，令，，可得，，所以函数的单调递增区间为.学科网（北京）股份有限公司1 / 16学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年必修第二册数学单元自测第10章 三角恒等变换·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，且，则（ ）A． B． C． D．2．的值为（ ）A．1 B． C． D．23．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ）A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍4．已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）A． B． C． D．5．在中，已知，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形6．函数的最大值为（ ）A．1 B．2 C．-2 D．37．若，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（ ）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知，，则（ ）A． B．C． D．10．已知函数则（ ）A．函数为偶函数 B．的最大值为C．在区间单调递增 D．曲线关于对称11．已知函数，则（ ）A．的最小正周期为B．直线是曲线的一条对称轴C．在上单调递增D．将的图象向右平移个单位得到的图象三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则 ．13．若函数，且对任意的满足，则实数 .14．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称.(1)求的值；(2)求的值.16．（本小题满分15分）已知函数，它们的最小正周期为．(1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间；(2)若的一个零点为，求的最大值．17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．18．（本小题满分17分）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．19．（本小题满分17分）已知函数(1)求函数的对称轴方程；(2)求函数的最大值及相应的值；(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间.1 / 9学科网（北京）股份有限公学科网（北京）股份有限公司$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2025-2026学年必修第二册数学单元自测第10章 三角恒等变换·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，且，则（ ）A． B． C． D．2．的值为（ ）A．1 B． C． D．23．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ）A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍4．已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）A． B． C． D．5．在中，已知，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形6．函数的最大值为（ ）A．1 B．2 C．-2 D．37．若，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（ ）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知，，则（ ）A． B．C． D．10．已知函数则（ ）A．函数为偶函数 B．的最大值为C．在区间单调递增 D．曲线关于对称11．已知函数，则（ ）A．的最小正周期为B．直线是曲线的一条对称轴C．在上单调递增D．将的图象向右平移个单位得到的图象三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则 ．13．若函数，且对任意的满足，则实数 .14．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称.(1)求的值；(2)求的值.16．（本小题满分15分）已知函数，它们的最小正周期为．(1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间；(2)若的一个零点为，求的最大值．17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．18．（本小题满分17分）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．19．（本小题满分17分）已知函数(1)求函数的对称轴方程；(2)求函数的最大值及相应的值；(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间.试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）学科网（北京）股份有限公司$
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