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2025-2026学年必修第二册数学单元自测第9章 平面向量·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点，，且，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，.因为，所以，解得，所以点的坐标为.故选：B.2．已知正六边形中，设，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知正六边形中，设，则,故，故选：C3．平行四边形中，，则四边形是（   ）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形【答案】C【解析】由，可得，所以，即，可得，所以，即，又因为为平行四边形，所以四边形为矩形.故选：C.4．已知向量，若三点共线，则（    ）A． B．49 C．21 D．【答案】D【解析】由，可得，因三点共线，则与共线，故有，解得.故选：D.5．已知向量满足，则函数的值域为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.6．已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知在上的投影向量为，故.故选：D.7．在中，已知且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】法1：由题意得，延长线段至点，使得，易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知故选：C.法2：由可得.设夹角为，得，故，解得，故.故选：C.8．已知非零向量，满足，且，则为（    ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】，，，，为等腰三角形，又，，，又，所以，为等边三角形，故选D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知向量，，则（   ）．A． B． C． D．【答案】BD【解析】因为，所以，故A错误，B正确；因为，所以，且，故C错误，D正确.故选：BD10．已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：因为，故A正确；B：因为，故B正确；C：因为，故C正确；D:因为，故D错误.故选：ABC.11．《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（    ）A．与的夹角为B．C．在方向上的投影向量为D．【答案】BCD【解析】对于A：与的夹角为与的夹角，即，A错误；对于B：，B正确；对于C：在方向上的投影向量为，C正确；对于D：因为正八边形的中心角为，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则满足的格点共有 个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.  【答案】4【解析】如图，已为原点建立直角坐标系，∴，即，设，则∴，∵，∴时，（舍去），时，，时，，时，，时，，即满足要求的点共有4个.  13．在中，为的重心，满足，则 .【答案】0【解析】连接并延长交与点，∵为的重心，∴为中点，且，，∴，即，∴.14．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ．【答案】/【解析】因为，两边平方得：，即，所以，当且仅当时等号成立，所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知点，向量，，．(1)若，求的值；(2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标．【解】（1），因为，所以，得；（2）设，因为点在线段的延长线上且，所以，所以，解得：，所以点的坐标为.16．（本小题满分15分）已知平面向量，，且.求：(1)向量在向量上的投影向量；(2)的值.【解】（1）因为，，，所以，解得，所以向量在向量上的投影向量为；（2）因为.17．（本小题满分15分）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．  (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？【解】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.  拉力与位移方向相同，所以拉力对木块所做的功为.支持力与位移方向垂直，不做功，所以.重力对物体所做的功为.（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.（3）设物体所受合外力的大小为，则,故合外力做功为.故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.18．（本小题满分17分）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；  (1)若为圆弧的中点，求和的值；(2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围.【解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，  由可得，又，由三角函数的定义可得，即，因为为圆弧的中点，所以,又，则，所以，，，由可得，即，解得.（2）设，则，所以，由可得，可得，解得，所以，因为，所以，当时，即时，取得最大值，此时的最大值为，当或时，即或时，取得最小值，此时的最小值为，所以的取值范围为.19．（本小题满分17分）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”．(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．【解】（1）由题意，而，，，，所以，解得，所以实数的取值范围是．（2）的等量关系是，证明如下：由题意是向量组的“好向量”，所以，则，即，所以，同理，，三式相加并整理得所以，即，所以．学科网（北京）股份有限公司1 / 16学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年必修第二册数学单元自测第9章 平面向量·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点，，且，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．2．已知正六边形中，设，则（   ）A． B． C． D．3．平行四边形中，，则四边形是（   ）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形4．已知向量，若三点共线，则（    ）A． B．49 C．21 D．5．已知向量满足，则函数的值域为（   ）A． B． C． D．6．已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ）A． B． C． D．7．在中，已知且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知非零向量，满足，且，则为（    ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知向量，，则（   ）．A． B． C． D．10．已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．11．《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（    ）A．与的夹角为B．C．在方向上的投影向量为D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则满足的格点共有 个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.  13．在中，为的重心，满足，则 .14．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知点，向量，，．(1)若，求的值；(2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标．16．（本小题满分15分）已知平面向量，，且.求：(1)向量在向量上的投影向量；(2)的值.17．（本小题满分15分）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．  (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？18．（本小题满分17分）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；  (1)若为圆弧的中点，求和的值；(2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围.19．（本小题满分17分）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”．(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．1 / 9学科网（北京）股份有限公学科网（北京）股份有限公司$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2025-2026学年必修第二册数学单元自测第9章 平面向量·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点，，且，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．2．已知正六边形中，设，则（   ）A． B． C． D．3．平行四边形中，，则四边形是（   ）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形4．已知向量，若三点共线，则（    ）A． B．49 C．21 D．5．已知向量满足，则函数的值域为（   ）A． B． C． D．6．已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ）A． B． C． D．7．在中，已知且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知非零向量，满足，且，则为（    ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知向量，，则（   ）．A． B． C． D．10．已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．11．《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（    ）A．与的夹角为B．C．在方向上的投影向量为D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则满足的格点共有 个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.  13．在中，为的重心，满足，则 .14．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知点，向量，，．(1)若，求的值；(2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标．16．（本小题满分15分）已知平面向量，，且.求：(1)向量在向量上的投影向量；(2)的值.17．（本小题满分15分）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．  (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？18．（本小题满分17分）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；  (1)若为圆弧的中点，求和的值；(2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围.19．（本小题满分17分）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”．(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年必修第二册数学单元自测第9章 平面向量·能力提升（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D A D C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABC BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．4 13．0 14．/四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）【解】（1），因为，所以，得；（2）设，因为点在线段的延长线上且，所以，所以，解得：，所以点的坐标为.16．（本小题满分15分）【解】（1）因为，，，所以，解得，所以向量在向量上的投影向量为；（2）因为.17．（本小题满分15分）【解】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.  拉力与位移方向相同，所以拉力对木块所做的功为.支持力与位移方向垂直，不做功，所以.重力对物体所做的功为.（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.（3）设物体所受合外力的大小为，则,故合外力做功为.故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.18．（本小题满分17分）【解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，  由可得，又，由三角函数的定义可得，即，因为为圆弧的中点，所以,又，则，所以，，，由可得，即，解得.（2）设，则，所以，由可得，可得，解得，所以，因为，所以，当时，即时，取得最大值，此时的最大值为，当或时，即或时，取得最小值，此时的最小值为，所以的取值范围为.19．（本小题满分17分）对【解】（1）由题意，而，，，，所以，解得，所以实数的取值范围是．（2）的等量关系是，证明如下：由题意是向量组的“好向量”，所以，则，即，所以，同理，，三式相加并整理得所以，即，所以．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1学科网（北京）股份有限公司1 / 16学科网（北京）股份有限公司$