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命学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课2025-2026学年高一数学单元自测第11章解三角形基础通关（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。236PDABDC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分1011BCACAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.213.514.723四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分》【解】(1)在ABC中，S=因为s-号-c2in4,即csnA=传8-ein4,且0°<A<180°，则sinA>0,则bc=b2-2c2,即(b-2c(b+c=0,又因为b+c>0,则b-2c=0,即b=2c(2)若a=√7c,则a2=7c2,且b=2c,由余弦定理可得cosA=+c-0-4c+c2-1c2-,2be4c2且0°<A<180°，所以A=120°16.(本小题满分15分)【解】)由2sinC+6及正弦定理得V3sinC+cosC=sin B+sin C6sin A..3 sin Asin C+sin A cos C=sin B+sin C sin(A+C)+sin C,1/5西学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课..3sin Asin C=cos Asin C+sin C,:Ce0.小，nC=0.5im4-cos4=1,即2sn4君=1白sm4又：A∈(0，)，A-亚∈（刀π5π、6、66:Aπ、，A=366A(2)由题可知CD=3,BD=3，∠CA=<B1D=汇62a在△ACD,△ABD中由正弦定理得3=6①，36②πsinCsin元sinBsin66①-②得)-sinB2 sinC c,即c=2b:SABC =SAACD+RDIbexsinx6xb-sinx 6xcxsin32626.3bc=6b+6c,.23b2=6b+12b,.b=3V3,a2=b2+c2-2 becos A=b2+4b2-4b2x=362,a=V3b=9.C a、3D2ab6B17.(本小题满分15分)【解】(1)由题图知，T3πππ2442’所以最小正周期为T=π，所以0=2红=2红=2Tπ又=2m2x导*p=2.即2x+0=+2km,k∈Z,得0=2kr,k∈Z,42又因为子<0<元所以p=0.2/5命学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课所以fx=2sin2x.(2)由(1)知fx)=2sin2x,所以g(x=fx+=2sim2x+126由g(A=2sim2A+=1,、6因为A是ABC的内角，所2+8区）所以21+后-装，符4-号由余弦定理，得3=c2+b2-2bc×≥2bc-bc=bc,所以bc≤3，当且仅当b=c=√5时，等号成立，因此，4BC的面积为S=)besind≤×3x5_35224即A8C的面积的最大值为3V5418.(本小题满分17分)【解】(1)由正弦定理得，a=2 RsinA,.b=2 RsinB,c=2 RsinC,.bcosC+3csinB =1+2c,a =1,.sinBcosC+3sinCsinB sinA+2sinC,由三角形内角和知，B+C=180°-A,则sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代入后化简：3sinCsinB cosBsinC +2sinC,:sinC≠0，..3 sin B cos B+2,3 sin B-cos B=2,3sin B-cos B=2sin(B-30)=2,.sinB-30）=1,0<B<180°，.B-30=90°→B=120.3/5可学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课(2)在ABC中，由正弦定理得AC=b=sin B5q=in∠BAC2sin∠BACAC AD,:AD=52sin∠BAC∠B=120°，LDCB=LB,.∠DCB=120°，在△ACD中，∠ACD=∠DCB-∠ACB=120°-(60°-∠BAC)=60+∠BAC,AC=AD,:△ACD是等腰三角形，∠ACD=∠ADC=60°+∠BAC,∠CAD=180°-2(60+∠BAC=60°-2∠BAC,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD cos∠CAD,p3=沙-2o6w-2a4cl-am2Bcl-omw-24B4c2sin2∠BAC=1-cos60°-2LBAC）=2sin2(30°-∠BAC）,:∠BAC和30°-∠BAC均为锐角，正弦为正，∴sin∠BAC=sin(30°-∠BAC,即∠BAC=30°-∠BAC,解得∠BAC=15°，.∠CAD=60°-2∠BAC=30°，CD由正弦定理得2R=。-5=25,解得R=5:sin∠CAD12:△ACD的外接圆半径为R=√5.19.(本小题满分17分)【解】ID设WVn4D=E,则OE=OMos∠MOD=5,ME=O6in∠MOD13圆BN=AGEA0+OB=1+，mN=ME+AB改m-号w9w(2)设∠MOD=0,0∈[0，π，MN AD=E,MN sin+1,BN AE cos+1)msindcosn2令m8+cos0==5n0+},则sn0cos0=.24/5画学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课e0+[则0到所以x∈(-1，v24即三角形PMN面积的最大值为3+224MADPBN5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2025-2026学年高一数学单元自测第11章 解三角形·基础通关建议用时：120分钟，满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ）A．6 B．3 C． D．2．在中，，，，则（    ）A． B． C． D．3．在中，角的对边分别是，若，则 （    ）A．2 B．3 C． D．4．在中，，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里7．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ）A． B． C． D．8.在中，，边上的高等于，则（   ）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ）A．7 B．8 C．9 D．1010．记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ）A． B．C． D． 的外接圆的半径为211．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（     ）A．“”是“”的充要条件B．若，则是等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若的面积，则是等腰直角三角形三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．在中，已知，且，则 ．13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 .14．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.(1)证明：；(2)若，求内角A的大小.16.（本小题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若D为边上一点，，，平分，求a．17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值．18．（本小题满分17分）在中，角的对边分别为，且．  (1)求的大小；(2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长．19．（本小题满分17分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边．(1)设，求三角形铁皮的面积；(2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值．参考公式：试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学单元自测第11章 解三角形·基础通关建议用时：120分钟，满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ）A．6 B．3 C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.设外接圆的半径为，则，所以外接圆的半径为.故选：D2．在中，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理得，，即，所以根据正弦定理有.故选：C.3．在中，角的对边分别是，若，则 （    ）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】由余弦定理可得，化简可得，因为，所以.故选：A4．在中，，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【解析】在中，根据正弦定理得，即，所以，又，所以或，当时， ，符合题意，当时， ，符合题意；所以的两个解均成立.根据三角形内角和定理，所以或.故选：A5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】由，设，所以C是的最大内角．因为，所以，所以C是锐角，则是锐角三角形．故选：A.6．位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【解析】如图，，，由正弦定理得，，所以.故此时甲船距离灯塔海里.故选：B.7．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，又因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得.故选：D8.在中，，边上的高等于，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵在中，，边上的高等于，∴，由余弦定理得：，故，∴.故选：C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BC【解析】∵，∴由余弦定理得：，即，∵三角形有两解，∴方程有两个不相等的正根，∴，解得：，结合选项可得B，C正确，故选：BC.10．记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ）A．B．C．D． 的外接圆的半径为2【答案】AC【解析】对于A，由三角形的面积公式得，A项正确；对于B，由余弦定理得，所以，B项错误；对于C，由正弦定理得，C项正确；对于D，设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误. 故选：AC.11．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（     ）A．“”是“”的充要条件B．若，则是等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若的面积，则是等腰直角三角形【答案】AD【解析】对于A：当时，因为，又因为单调递减，所以，当时，因为，又因为单调递减，所以，所以“”是“”的充要条件，故A正确；对于B：若，由正弦定理可得，所以，故或，即或，故是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：当，满足，则最大角为，由余弦定理得，因此角是锐角，且为最大角，此时是锐角三角形与C选项的结论矛盾，C错误；对于D：的面积，则，则，且，，所以，所以当且仅当时取等号成立，则是等腰直角三角形，D选项正确；故选：AD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．在中，已知，且，则 ．【答案】2【解析】由正弦定理得：，由，所以，即，所以，13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 .【答案】/【解析】由，根据正弦定理，得，则，则，在中，，则，即，又，所以，则.14．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米．【答案】72【解析】设直线与交于点，则，由题意，，，又，且，代入解得，从而，进而，所以塔高米．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.(1)证明：；(2)若，求内角A的大小.【解】（1）在中，，因为，即，且，则，则，即，又因为，则，即.（2）若，则，且，由余弦定理可得，且，所以.16.（本小题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若D为边上一点，，，平分，求a．【解】（1）由及正弦定理得，∴，∴，∵，∴，即，又∵，，∴，∴；（2）由题可知，，在中由正弦定理得①，②，①÷②得，即．又，∴，∴，∴，∴，∴，∴．17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值．【解】（1）由题图知，，所以最小正周期为，所以．又，即，，得，，又因为，所以．所以．（2）由（1）知，所以．由，得．因为是的内角，所以，所以，得．由余弦定理，得，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的面积为，即的面积的最大值为．18．（本小题满分17分）在中，角的对边分别为，且．  (1)求的大小；(2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长．【解】（1）由正弦定理得，， ，， ，由三角形内角和知，，则，代入后化简：，，，即，，，，．（2）在中，由正弦定理得，，，，，，在中，，，是等腰三角形，，，由余弦定理得，即，，和均为锐角，正弦为正，，即，解得，，由正弦定理得，解得，的外接圆半径为．19．（本小题满分17分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边．(1)设，求三角形铁皮的面积；(2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值．参考公式：【解】（1）设，则，则，，故；（2）设，，，则，，令，则，，，则，所以，即三角形面积的最大值为.学科网（北京）股份有限公司1 / 16学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学单元自测第11章 解三角形·基础通关建议用时：120分钟，满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ）A．6 B．3 C． D．2．在中，，，，则（    ）A． B． C． D．3．在中，角的对边分别是，若，则 （    ）A．2 B．3 C． D．4．在中，，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里7．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ）A． B． C． D．8.在中，，边上的高等于，则（   ）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ）A．7 B．8 C．9 D．1010．记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ）A． B．C． D． 的外接圆的半径为211．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（     ）A．“”是“”的充要条件B．若，则是等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若的面积，则是等腰直角三角形三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12．在中，已知，且，则 ．13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 .14．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.(1)证明：；(2)若，求内角A的大小.16.（本小题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若D为边上一点，，，平分，求a．17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值．18．（本小题满分17分）在中，角的对边分别为，且．  (1)求的大小；(2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长．19．（本小题满分17分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边．(1)设，求三角形铁皮的面积；(2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值．参考公式：1 / 9学科网（北京）股份有限公学科网（北京）股份有限公司$