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7.1.2 弧度制及其与角度制的换算题型一 弧度的概念1．【答案】A2.【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B题型二 角度化弧度1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】B题型三 弧度化角度1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】5．【答案】题型四 弧长计算问题1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】题型五 圆心角的计算问题1.【答案】A2．【答案】C3．【答案】4．【答案】/5.【答案】【知识点】弧度的概念【分析】首先求圆内接等边三角形的边长，再代入圆心角的弧度数公式，即可求解.【详解】设圆的半径为，圆心角的弧度数为，则其内接正三角形的边长为，故．题型六   扇形面积计算问题1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】B题型七   扇形半径计算问题1．【答案】2．【答案】23．【答案】(1)(2)15【知识点】弧长的有关计算、弧度的概念【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数.（2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径.【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则，故大轮转动的弧度数为．（2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为，所以大轮上每1s转过的弧长为，故．题型一   弧长公式、扇形面积公式的综合应用1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】5或8．【答案】9．【答案】【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算【分析】首先根据弧长公式计算扇形的半径，再利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可.【详解】在扇形中，弧的长为cm，圆心角，由弧长公式得：，解得：，由扇形面积公式得：扇形的面积为：，扇形的面积为：，所以扇面的面积为：，故答案为：.题型一   扇形（图形）中的最值问题1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】BC4．【答案】ABD5．【答案】弧度6．【答案】7．【答案】(1)(2)时，扇形的周长最小，最小值为16【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据弧长公式求解即可；（2）根据扇形的面积公式可得，结合基本不等式求周长的最小值即可.【详解】（1）正五边形的一个内角为，当时，.（2）由题意知，所以，周长，当且仅当，即时等号成立，因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16.8．【答案】(1)扇形的圆心角为或(2)【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求积的最大值【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角；（2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值.【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，所以，所以，所以，所以，解得或.当时，，扇形的圆心角为；当时，，扇形的圆心角为；综上所述：扇形的圆心角为或；（2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以扇形面积S的最大值为.9．【答案】(1)(2)(3)，的面积最小为【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可；（2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可；（3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解.【详解】（1）扇形的半径为60，，则的长为；（2）过分别作和的垂线，垂足分别为，  所以，，，，扇形的面积，，，矩形的面积所以图中阴影部分的面积为，（3）设，，，所以，即，则，所以，，当且仅当，即时取等，所以，所以当时，的面积最小，最小为题型二   用弧度表示角的集合1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】【知识点】用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围）【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案.【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为由于终边在轴非正半轴上的角的集合为，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为；方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，所以所求角α的集合为.故答案为：.4．【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合、找出终边相同的角【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；（2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为；（2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为；（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为. 1 / 7学科网（北京）股份有限公司$ 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算题型一 弧度的概念1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）如图，时钟现在表示的时间为10：10，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ）    A． B． C． D．2.（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ）A． B． C． D．3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ）A． B． C． D．4．（2018·上海·高考真题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ）A． B． C． D．05．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ）A． B． C． D．6．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）下列各角中，与终边相同的是（   ）A． B． C． D．题型二 角度化弧度1．（25-26高一上·陕西西安·月考）体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ）A． B． C． D．2．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）把从度化为弧度制为（   ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·四川达州·月考）化为弧度是（    ）A． B． C． D．4．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ）A． B． C． D．题型三 弧度化角度1．（25-26高一上·四川·月考）化为角度是（   ）A． B． C． D．2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ）A． B． C． D．3．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（   ）A． B． C． D．4．（25-26高一上·宁夏·月考）弧度对应角化成角度为 .5．（25-26高一上·重庆·月考）已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接）题型四 弧长计算问题1．（25-26高一上·上海·月考）若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　）A． B．2 C． D．2．（2004·浙江·高考真题）点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（　　）A． B． C． D．4．（25-26高一上·河南漯河·月考）若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ）A． B． C． D．5．（25-26高一上·河北邢台·月考）如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .  题型五 圆心角的计算问题1.．（25-26高一上·江苏南京·月考）省常中操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为6.1米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（    ）A．0.61 rad B．6.1 radC．61 rad D．610 rad2．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（   ）A． B． C． D．33．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）一个扇形的弧长的数值为2，面积的数值为3，则这个扇形的圆心角的弧度数为 rad．4．（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ．5.（2025高三·全国·专题练习）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，求其圆心角弧度数．题型六   扇形面积计算问题1．（25-26高一上·河南·月考）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）A． B． C． D．2．（24-25高一上·湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·全国·期末）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ）A． B． C． D．4．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（   ）A． B． C． D．题型七   扇形半径计算问题1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为 ．2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ．3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿．(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；(2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径．题型一   弧长公式、扇形面积公式的综合应用1．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（   ）A． B．6 C． D．2．（25-26高一上·重庆·月考）已知某扇形的弧长与面积的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．43．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ）A． B． C． D．4．（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ）A． B．弧长C．扇形的周长为 D．扇形的面积为5．（25-26高一上·山东青岛·月考）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（   ）.A． B． C． D．6．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ）A． B．8 C． D．7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知扇形的面积为，半径为r，扇形的周长为7，则该扇形圆心角的弧度数 ．8．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．  9．（25-26高一上·安徽·月考）“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为弧度时，扇面看上去形状较为美观.已知，弧的长为，则此扇面的面积为 .（结果保留）题型一   扇形（图形）中的最值问题1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ）A．2 B．4 C．0.5 D．0.252．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ）A． B． C．1 D．23．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ）A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为4．（多选）（24-25高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（   ）A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为5．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 .6．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 .7．（25-26高一上·河南·月考）一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为.(1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长.(2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？8．（25-26高一上·山东济南·月考）已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S的最大值.9．（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．  (1)求的长．(2)求图中阴影部分的面积．(3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？题型二   用弧度表示角的集合1．（18-19高一·全国·课后作业）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ）A． B．C． D．2．（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ）A． B．C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．(1)终边落在射线上；(2)终边落在直线上；(3)终边落在阴影区域内（含边界）． 1 / 7学科网（北京）股份有限公司$ 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算题型一 弧度的概念1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）如图，时钟现在表示的时间为10：10，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ）    A． B． C． D．【答案】A【知识点】任意角的概念、弧度的概念【分析】根据给定条件，利用任意角及弧度制的意义求得答案.【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为.故选：A2.（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧度的概念、任意角的概念【分析】由于是晚一个小时，所以需要把表调慢，即按逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．【详解】由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针旋转弧度.故选：B.3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】角度化为弧度、弧度的概念【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解.【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为，则1圈的的弧度数为，且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角，因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确.故选：D.4．（2018·上海·高考真题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ）A． B． C． D．0【答案】B【知识点】弧度的概念、函数图象的应用、函数关系的判断【分析】根据函数定义，结合图象作出判断，得到答案.【详解】A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点，由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，故选：B5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧度的概念【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度.【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿，所以小轮此时转动周，即小轮转动的角度为.故选：B6．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）下列各角中，与终边相同的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧度的概念、找出终边相同的角【分析】根据终边相同的角的定义可得答案.【详解】对于A，因，故A错误；对于B，因，故B正确；对于C，因，故C错误；对于D，因，故D错误.故选：B题型二 角度化弧度1．（25-26高一上·陕西西安·月考）体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】角度化为弧度【分析】利用角度与弧度的换算公式易得.【详解】因.故选：D.2．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）把从度化为弧度制为（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】角度化为弧度【分析】根据弧度制与角度制的关系直接转化即可.【详解】.故选：B3．（25-26高一上·四川达州·月考）化为弧度是（    ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】角度化为弧度【分析】由弧度制和角度制的运算公式可得.【详解】根据换算公式，计算弧度，故选：B4．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧度的概念、找出终边相同的角【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项.【详解】因为.所以与角终边相同的最小正角是.故选：B题型三 弧度化角度1．（25-26高一上·四川·月考）化为角度是（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧度化为角度【分析】根据弧度化角度乘以计算可得．【详解】．故选：B．2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧度化为角度【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可.【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得故选：B3．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（   ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】弧度化为角度、弧度的概念【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案.【详解】由题意得，．故选：C．4．（25-26高一上·宁夏·月考）弧度对应角化成角度为 .【答案】【知识点】弧度化为角度【分析】根据角度与弧度的互化关系直接求解即可.【详解】由直接代换得所以弧度对应角化成角度为故答案为：5．（25-26高一上·重庆·月考）已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接）【答案】【知识点】弧度化为角度【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可.【详解】由题意可得，，所以．故答案为：.题型四 弧长计算问题1．（25-26高一上·上海·月考）若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　）A． B．2 C． D．【答案】B【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长.【详解】设扇形的半径为，则，故，故弧长为.故选：B2．（2004·浙江·高考真题）点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、弧长的有关计算【分析】利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标.【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点， ，，故选A.3．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（　　）A． B． C． D．【答案】C【知识点】弧长的有关计算【分析】根据弧长公式进行求解即可.【详解】在单位圆中，的圆心角所对的弧长为，故选：C4．（25-26高一上·河南漯河·月考）若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】根据扇形面积公式得到扇形的半径，进而得到扇形的弧长.【详解】设扇形的半径为，则，解得，故扇形弧长为.故选：C5．（25-26高一上·河北邢台·月考）如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .  【答案】【知识点】弧长的有关计算【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果.【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为，由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即，故答案为：.题型五 圆心角的计算问题1.．（25-26高一上·江苏南京·月考）省常中操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为6.1米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（    ）A．0.61 rad B．6.1 radC．61 rad D．610 rad【答案】A【知识点】弧长的有关计算【分析】直接由弧长公式求解即可.【详解】由题意可知，弧长米，且米，所以扇形弧所对的圆心角为，故选：A.2．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（   ）A． B． C． D．3【答案】C【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算【分析】设扇形的圆心角为，半径为，利用扇形的弧长和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，因为扇形的弧长和面积数值均为，可得，解得，.故选：C.3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）一个扇形的弧长的数值为2，面积的数值为3，则这个扇形的圆心角的弧度数为 rad．【答案】【知识点】弧度的概念、扇形面积的有关计算【分析】根据扇形的面积公式及弧度制的定义即可求出答案.【详解】设扇形的弧长为，面积为，半径为，由得，解得，所以.故答案为：.4．（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ．【答案】/【知识点】弧长的有关计算【分析】利用弧长公式，结合已知条件，即可得方程组求解圆心角.【详解】如图，延长交于点，设，扇形圆心角，则根据题意知：，解得，故答案为：5.（2025高三·全国·专题练习）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，求其圆心角弧度数．【答案】【知识点】弧度的概念【分析】首先求圆内接等边三角形的边长，再代入圆心角的弧度数公式，即可求解.【详解】设圆的半径为，圆心角的弧度数为，则其内接正三角形的边长为，故．题型六   扇形面积计算问题1．（25-26高一上·河南·月考）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算【分析】根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案.【详解】设扇形的半径为r，则，解得，所以扇形的面积.故选：B2．（24-25高一上·湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解.【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以该弧所在的扇形面积为.故选：A.3．（25-26高一上·全国·期末）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】求出扇形的半径，从而利用扇形面积公式进行求解.【详解】设扇形的半径为，则，解得，又扇形弧长，故扇形面积为．故选：A4．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】扇形面积的有关计算【分析】根据扇形面积公式求解.【详解】半径为2的扇形的圆心角为，由扇形面积公式.故选：B题型七   扇形半径计算问题1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为 ．【答案】【知识点】扇形面积的有关计算【分析】根据扇形面积公式列方程，求解即得所在圆的半径.【详解】设扇形的半径为，则，解得.故答案为：2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ．【答案】2【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径.【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得，所以扇形的面积为，于是，当时，扇形的面积最大．故答案为：23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿．(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；(2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径．【答案】(1)(2)15【知识点】弧长的有关计算、弧度的概念【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数.（2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径.【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则，故大轮转动的弧度数为．（2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为，所以大轮上每1s转过的弧长为，故．题型一   弧长公式、扇形面积公式的综合应用1．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（   ）A． B．6 C． D．【答案】C【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用【分析】先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算求解．【详解】设扇形半径为，，，，，解得，，故C正确．故选：C．2．（25-26高一上·重庆·月考）已知某扇形的弧长与面积的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可.【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，则，所以，.故选：A.3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】角度化为弧度、扇形面积的有关计算【分析】根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，作差即可得出扇面（曲边四边形）的面积.【详解】因为，所以扇形的面积为；扇形的面积为.所以扇面（曲边四边形）的面积为.故选：A.4．（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ）A． B．弧长C．扇形的周长为 D．扇形的面积为【答案】D【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D.【详解】对于A：，A正确；对于B：，B正确；对于C：扇形的周长为，C正确；对于D：扇形的面积为，D错误；故选：D5．（25-26高一上·山东青岛·月考）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（   ）.A． B． C． D．【答案】A【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案.【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为，等边的面积，所以莱洛三角形的面积是，则，．故选：A6．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ）A． B．8 C． D．【答案】C【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意，在中，，即，解得，故，所以，因此.故选：C.7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知扇形的面积为，半径为r，扇形的周长为7，则该扇形圆心角的弧度数 ．【答案】5或【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】设出扇形的弧长，根据扇形面积和周长得到方程组，求出或，从而求出圆心角的弧度数.【详解】设扇形的弧长为，由题意得，，解得或，当时，，当时，.故答案为：5或8．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．  【答案】【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、圆的弧长、面积、圆心角等计算【分析】根据条件，利用弧长公式得圆的半径，再结合条件，利用扇形的面积公式，即可求解.【详解】设圆的半径为，由题有，解得，又，所以，又点在圆上，，则所以矩形的面积为，又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为，故答案为：.9．（25-26高一上·安徽·月考）“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为弧度时，扇面看上去形状较为美观.已知，弧的长为，则此扇面的面积为 .（结果保留）【答案】【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算【分析】首先根据弧长公式计算扇形的半径，再利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可.【详解】在扇形中，弧的长为cm，圆心角，由弧长公式得：，解得：，由扇形面积公式得：扇形的面积为：，扇形的面积为：，所以扇面的面积为：，故答案为：.题型一   扇形（图形）中的最值问题1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ）A．2 B．4 C．0.5 D．0.25【答案】A【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得，所以扇形的面积为，于是，当时，扇形的面积最大.故选：A2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【知识点】基本不等式求和的最小值、扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得，∴ ，当且仅当时 , 即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8.故选：D.3．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ）A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为【答案】BC【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D.【详解】由题意可知，，，对于A：当时，，可得，故A错误；对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确；对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误.故选：BC4．（多选）（24-25高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（   ）A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为【答案】ABD【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得.【详解】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积，当且仅当时取等号，C错误对于B，扇形的弧长，B正确；对于A，扇形的圆心角为，A正确；对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确.故选：ABD5．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 .【答案】弧度【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数.【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即，所以扇形面积，所以当时，取得最大值为，此时，所以圆心角为（弧度）.故答案为：弧度6．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 .【答案】【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大，此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值.【详解】，所以在扇形中，弓形面积为，在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为，所以所以阴影面积.故答案为：.7．（25-26高一上·河南·月考）一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为.(1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长.(2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？【答案】(1)(2)时，扇形的周长最小，最小值为16【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据弧长公式求解即可；（2）根据扇形的面积公式可得，结合基本不等式求周长的最小值即可.【详解】（1）正五边形的一个内角为，当时，.（2）由题意知，所以，周长，当且仅当，即时等号成立，因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16.8．（25-26高一上·山东济南·月考）已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S的最大值.【答案】(1)扇形的圆心角为或(2)【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求积的最大值【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角；（2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值.【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，所以，所以，所以，所以，解得或.当时，，扇形的圆心角为；当时，，扇形的圆心角为；综上所述：扇形的圆心角为或；（2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以扇形面积S的最大值为.9．（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．  (1)求的长．(2)求图中阴影部分的面积．(3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？【答案】(1)(2)(3)，的面积最小为【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可；（2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可；（3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解.【详解】（1）扇形的半径为60，，则的长为；（2）过分别作和的垂线，垂足分别为，  所以，，，，扇形的面积，，，矩形的面积所以图中阴影部分的面积为，（3）设，，，所以，即，则，所以，，当且仅当，即时取等，所以，所以当时，的面积最小，最小为题型二   用弧度表示角的集合1．（18-19高一·全国·课后作业）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】D【知识点】用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围）、任意角的概念【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解.【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是，所以角的取值范围是．故选：D．2．（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案.【详解】因为，所以终边落在边上的角为，所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为.故选：C.3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 【答案】【知识点】用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围）【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案.【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为由于终边在轴非正半轴上的角的集合为，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为；方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，所以所求角α的集合为.故答案为：.4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．(1)终边落在射线上；(2)终边落在直线上；(3)终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合、找出终边相同的角【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；（2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为；（2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为；（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为. 1 / 7学科网（北京）股份有限公司$