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………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（   ）A．-2 B．-1 C．1 D．22．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ）A．18 B．15 C．14 D．103．在数列中，若，则 （    ）A． B． C． D．4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ）A． B．C． D．5．已知为等比数列，若，，则（    ）A． B． C． D．6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ）A．24 B．22 C．20 D．187．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ）A．B．C．当取得最大值时，D．使成立的最大整数为1311．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是函数的对称中心D．第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数，则 .13．已知等比数列的前项和为，若，，则 .14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间.16．（15分）已知数列满足，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．17．（15分）已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)当，讨论函数的零点个数.18．（17分）已知数列的前n项和为，，.(1)求证：数列是等差数列.(2)设，数列的前n项和为.①求；②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（17分）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（   ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】由，得，所以，解得．故选：A．2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ）A．18 B．15 C．14 D．10【答案】A【解析】设等差数列公差为，则,，则.从而.故选：A.3．在数列中，若，则 （    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为且，所以，，，，，所以是以4为周期的周期数列，所以.故选：A.4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，所以切线方程为，即.故选：B.5．已知为等比数列，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为，因为，，所以，联立方程组，解得，结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和，由求和公式得前50项和为，故D正确.故选：D.6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】C【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差，再设播放厅最多可以建的座位的排数为，可得，即，解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为.故选：C.7．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】对函数求导得：，因为是函数的极小值点，所以，还需分析在附近的符号变化，令 ，则，，当时，，即在附近单调递增，又，所以当时，在附近，当时，在附近，满足0是的极小值点；当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以单调递增，此时无极小值点；当时，，即在附近单调递减，又，所以当时，在附近，当时，在附近，此时0是的极大值点，不符合题意.综上所述：的取值范围为.故选：B.8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数，可得，当时，，此时在上单调递增，所以在上的最小值为，则，使得恒成立，即，使得成立，即成立，令，即，因为，令，可得，所以在上单调递减，所以，所以，可得在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确；表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误；由图可知，，故，故C正确；直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，所以，D错误.故选：AC.10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ）A．B．C．当取得最大值时，D．使成立的最大整数为13【答案】AC【解析】A：因为是等差数列的前项和，所以由，由，而，所以，因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确；B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确；C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数，所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确；D：因为，所以，又，所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确，故选：AC.11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是函数的对称中心D．【答案】BCD【解析】A选项，由函数，可得，令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误；选项，由知，当时，取得极小值，极小值，且当时，，当时，，，所以函数有3个零点，故正确；选项，由，可得，令，可得，又由，所以点是函数的对称中心，故C正确；D选项，因为是函数的对称中心，所以，令，可得，所以 ，所以，即，所以D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数，则 .【答案】3【解析】.故答案为：3.13．已知等比数列的前项和为，若，，则 .【答案】21【解析】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列，因为，，所以，所以，所以.故答案为：21.14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．【答案】或【解析】令，则，由当时，，所以，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，，即不等式等价为，所以，解得或．故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间.15．（13分）【解析】（1）当时，则，，所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为；（2）函数的定义域为，又，当时，则当时，当或时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时（当且仅当时取等号），所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，则当时，当或时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；综上可得：当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时的单调递增区间为，无单调递减区间；当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.16．（15分）已知数列满足，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．16．（15分）【解析】（1）∵，∴，即，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，∴，∴，则，，.17．（15分）已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)当，讨论函数的零点个数.17．（15分）【解析】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得.当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值..且，.因为，，综上所得，当，时，，.（2），①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点；②当时，由得，所以在上单调递减，又由得，所以在上单调递增，因为，且所以，因为，所以存在使得，所以函数有2个零点；综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.18．（17分）已知数列的前n项和为，，.(1)求证：数列是等差数列.(2)设，数列的前n项和为.①求；②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．（17分）【解析】（1）证明：因为，可得，所以，两边同除以，可得，即，又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.（2）解：①由（1）可得，所以，可得，所以，则.两式相减，可得，所以.②因为对任意的恒成立，所以，则对任意的恒成立.令，可得，所以数列是递减数列，当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是.19．（17分）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．19．（17分）【解析】（1），时，，函数在区间上是凹函数．（2），，若在区间上为凹函数，则在上恒成立，，即在上恒成立，在上恒成立，当时，显然成立，下面讨论的情况，令，则，时，在上为增函数，由，得，即，即时，恒成立，设，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，则，故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为．（3），令，则，令，则，当时，在区间上单调递增，又，存在，使，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，当时，的最小值为，由，有，，又恒成立，，且的最大值为3． / 学科网（北京）股份有限公司$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$■■■■■2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出巢区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][C][D]2 [A][B][C][D]6[AJ[B][C][D]3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]双阙4[A]B][C]D]8[A][B][C[D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A][B][C][D]10[A]B][C][D]11[A][B][CID]三、填空题（每小题5分，共15分）12妇13请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页）2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（   ）A．-2 B．-1 C．1 D．22．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ）A．18 B．15 C．14 D．103．在数列中，若，则 （    ）A． B． C． D．4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ）A． B．C． D．5．已知为等比数列，若，，则（    ）A． B． C． D．6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ）A．24 B．22 C．20 D．187．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ）A．B．C．当取得最大值时，D．使成立的最大整数为1311．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是函数的对称中心D．第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数，则 .13．已知等比数列的前项和为，若，，则 .14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间.16．（15分）已知数列满足，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．17．（15分）已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)当，讨论函数的零点个数.18．（17分）已知数列的前n项和为，，.(1)求证：数列是等差数列.(2)设，数列的前n项和为.①求；②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（17分）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A B D C B A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AC BCD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．3 13．21 14．或四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）当时，则，，所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为；（5分）（2）函数的定义域为，又，当时，则当时，当或时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时（当且仅当时取等号），所以的单调递增区间为，无单调递减区间；（8分）当时，则当时，当或时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；综上可得：当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时的单调递增区间为，无单调递减区间；当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.（13分）16．（15分）【解析】（1）∵，∴，即，又，（2分）∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.（5分）（2）由（1）可知，∴，∴，（8分）则，，.（15分）17．（15分）【解析】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得.当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值..（2分）且，.因为，，综上所得，当，时，，.（5分）（2），①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点；②当时，由得，所以在上单调递减，又由得，所以在上单调递增，（8分）因为，且所以，因为，所以存在使得，所以函数有2个零点；综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.（15分）18．（17分）【解析】（1）证明：因为，可得，所以，两边同除以，可得，即，又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.（3分）（2）解：①由（1）可得，所以，可得，（5分）所以，则.两式相减，可得，所以.（8分）②因为对任意的恒成立，所以，则对任意的恒成立.（13分）令，可得，所以数列是递减数列，当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是.（17分）19．（17分）【解析】（1），时，，函数在区间上是凹函数．（3分）（2），，若在区间上为凹函数，则在上恒成立，，即在上恒成立，在上恒成立，（5分）当时，显然成立，下面讨论的情况，令，则，时，在上为增函数，由，得，即，即时，恒成立，设，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，则，故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为．（8分）（3），令，则，令，则，当时，在区间上单调递增，又，存在，使，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，当时，的最小值为，（13分）由，有，，又恒成立，，且的最大值为3．（17分）1 / 2学科网（北京）股份有限公司$