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2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数的定义域是 2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 .6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ．8．若函数是奇函数，则实数 9．在中，角所对的边分别为，若，则 10．已知是第一象限角，且，则的值为 11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项）13. 已知，设命题，命题，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14. 下列函数对于任意，都有成立的是（    ）A． B． C． D．15．函数的图象大致为（     ）A． B．C． D．16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分）17．（本题14分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中；已知集合，（1）求集合A，B；（2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（本题14分）已知．（1）求的值；（2）求的值．19．（本题14分）中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s.参考数据：，，.（1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度；（2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？（3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）.20．（本题18分）已知幂函数在上单调递增．函数，．（1）求的值；（2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围；（3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；21．（本题18分）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.（1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；（2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围；（3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有.1 / 2学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01）参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．【答案】；2．【答案】2；3．【答案】2；4．【答案】；5．【答案】且6．【答案】31；7．【答案】2；8．【答案】1；9．【答案】；10．【答案】；11．【答案】4（答案不唯一）；【】12．【答案】二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项） 13 14 15 16 D A C A三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分）17．（本题14分）【答案】（1），；（2）答案见解析；【解析】（1）由得，故集合，由得，因为m>0，故集合；【6分】（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，其中等号不同时取到，解得，所以，实数m的取值范围是.若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，则有，其中等号不同时取到，解得，所以实数m的取值范围是；【14分】【说明】本题考查了解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数；18．（本题14分）【答案】（1）；（2）；【解析】（1），整理得，所以.【7分】（2）代入，得：.【14分】【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式；19．（本题14分）【答案】（1）；（2）倍；（3）5.1；【解析】（1）.【4分】（2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则：，得  ①；，得  ②；由①②两式，得倍. 【8分】（3）技术改进前的理想速度，技术改进后的理想速度，要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：，即，即，即，从而，故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1；【14分】【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题；20．（本题18分）【答案】（1）；（2）；（3）存在，；【解析】（1）因为是是幂函数，所以，解得或，当时，，在为减函数，当时，，在为增函数，所以；【6分】（2）由（1）知，当时，，即，，因为，，所以，，解得，即的取值范围为；【10分】（3），令，因为，所以，则令，，对称轴为，①当，即时，函数在为增函数，，解得；②当，即时，，解得，不符合题意，舍去；③当，即时，函数在为减函数，，解得，不符合题意，舍去；综上所述：存在使得的最小值为0．【18分】【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式；21．（本题18分）【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3），证明见解析；【解析】（1）对任意的，且，，.显然有，所以函数是函数在上的“L函数”. 【4分】（2）因为函数是函数在上的“L函数”，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，化简得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，解得.【10分】（3）因为，，所以. 所以当时，.当 时，.综上：.对于，不妨设，（i）当时，因为函数是函数在上的“L函数”，所以.  此时成立；（ii）当时，由得，因为，函数是函数在上的“函数，所以，此时也成立，综上，恒成立. 【18分】【说明】本题主要考查了函数的新定义；本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题；1 / 2学科网（北京）股份有限公司$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷答题卡 （上海专用01） 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D]15 [A] [B] [C] [D]14 [A] [B] [C] [D]16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（14分） 18．（14分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ Comment by ligan xie: 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20．（18分）21．（18分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$■■■■■■■■■■2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷答题卡（上海专用01）姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出地区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)23.4款杯691011馨二、选择题（本题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分；每题有且只有一个正确选项13[A[B][C][D]14[AB][C][D]15[A][B][C]D]16[A]B][C][D]数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(14分)数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(14分)数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(14分)数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20.(18分)数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21.(18分)数学第6页（共6页）2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01）全解全析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数的定义域是 【提示】由对数函数的定义域可知需满足，解出的范围即可；【答案】；【解析】要使有意义，则，所以，，所以，的定义域为；【说明】本题主要考查函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定义域；函数定义域的三种类型及求法：（1）知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；（2）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出；2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 【提示】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果；【答案】2；【解析】因为幂函数在上是增函数，所以，解得；【说明】本题考查了幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数；3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.【提示】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数；【答案】2；【解析】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，，则，且，则，所以三项比赛都参加的有2人，故答案为：2.【说明】本题考查了集合的利用Venn图求集合；4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .【提示】根据充分不必要条件的定义可得集合的包含关系，根据包含关系可求得结果；【答案】；【解析】因为，“”是“”的充分不必要条件，所以，是的真子集，因为，，所以，，则，，又，所以，，则的取值范围为.故答案为：.【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式；5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 .【提示】根据反证法步骤,要证明命题结论成立，先假设结论的否定成立即可；【答案】且【解析】由题意，应假设且，故答案为：且【说明】本题考查了反证法的概念辨析；6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）【提示】依题意可得尺子经过天后，剩余的长度米，结合对数运算可得结果；【答案】31；【解析】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为米，经过天后，剩余的长度米，由，得，两边同时取对数，得，而，则，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.故答案为：31；【说明】本题考查了对数的运算、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式；7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ．【提示】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式和二次函数的性质计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可求解；【答案】2；【解析】设扇形的半径为，则弧长为，面积为，所以当时S取得最大值为，此时，圆心角为（弧度）．故答案为：2.【说明】本题考查了弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用；8．若函数是奇函数，则实数 【提示】根据奇函数的性质计算可得；【答案】1；【解析】当时，则，则，解得，此时，当时，所以，符合题意.所以.故选：C；【说明】本题主要考查了由奇偶性求参数；9．在中，角所对的边分别为，若，则 【提示】直接根据正弦定理即可求出；【答案】；【解析】由正弦定理可得，则；【说明】本题考查了利用正弦定理解三角形；10．已知是第一象限角，且，则的值为 【提示】先根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解；【答案】；【解析】因为是第一象限角，所以，所以，所以.【说明】本题考查了给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）；11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．【提示】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解；【答案】4（答案不唯一）；【解析】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增，，解得.故答案为：4（答案不唯一）；  【说明】本题考查了根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数；12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为 【提示】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设，根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围；【答案】【解析】由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，．当，时，，满足题意；当时，，解得．综上，．故答案为：【说明】本题综合考查了根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围；二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项）13. 已知，设命题，命题，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【提示】取特殊值判断充分性、必要性即可得解；【答案】D；【解析】取，满足，但，充分性不成立，取，满足，但，必要性不成立；故p是q的既不充分也不必要条件；故选：D；【说明】本题依据不等式性质考查了充分必要条件的判别；14. 下列函数对于任意，都有成立的是（    ）A． B． C． D．【提示】把不等式等价于图象为上凸的函数，再结合函数性质判断各选项；【答案】A；【解析】满足，则函数为上凸函数，对于A，的图象是上凸的，符合题意；对于B，的图象是下凸的，不符合题意；对于C，的图象是下凸的，不符合题意；对于D，的图象是下凸的，不符合题意；故选：A.【说明】本题考查了函数图像的识别、函数新定义；15．函数的图象大致为（     ）A． B．C． D．【提示】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断；【答案】C；【解析】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称，由，可知函数为奇函数，故排除B、D；又因为，故排除A.故选：C；【说明】本题考查了函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状；16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．【提示】首先判断，再化简，利用基本不等式求解；【答案】A；【解析】解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，．又，，，则（当且仅当，时取“”），由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围是．故选：A．【说明】本题考查了基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式；三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分）17．（本题14分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中；已知集合，（1）求集合A，B；（2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【提示】（1）解一元二次不等式即可得到集合A，B.；（2）根据充分条件和必要条件的定义转为不等式关系进行求解即可；【答案】（1），；（2）答案见解析；【解析】（1）由得，故集合，由得，因为m>0，故集合；（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，其中等号不同时取到，解得，所以，实数m的取值范围是.若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，则有，其中等号不同时取到，解得，所以实数m的取值范围是；【说明】本题考查了解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数；18．（本题14分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【提示】（1）利用诱导公式化简可得到答案；（2）利用同角的三角函数关系可得答案.【答案】（1）；（2）；【解析】（1），整理得，所以.（2）代入，得：.【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式；19．（本题14分）中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s.参考数据：，，.（1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度；（2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？（3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）.【提示】（1）直接代入，根据题目给的数据化简计算.（2）和代入，然后计算相除.（3）令和，两式相减，大于等于1975 m/s，最后根据题目给的数据化简计算【答案】（1）；（2）倍；（3）5.1；【解析】（1）.（2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则：，得  ①；，得  ②；由①②两式，得倍.（3）技术改进前的理想速度，技术改进后的理想速度，要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：，即，即，即，从而，故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1；【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题；20．（本题18分）已知幂函数在上单调递增．函数，．（1）求的值；（2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围；（3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；【提示】（1）根据幂函数的特征以及性质可求得结果；（2）根据（1）中得到的单调性以及包含关系可得到结果；（3）利用换元法得到有关的一个一元二次函数，根据对称轴的位置分三种情况求最小值可求得结果.【答案】（1）；（2）；（3）存在，；【解析】（1）因为是是幂函数，所以，解得或，当时，，在为减函数，当时，，在为增函数，所以；（2）由（1）知，当时，，即，，因为，，所以，，解得，即的取值范围为；（3），令，因为，所以，则令，，对称轴为，①当，即时，函数在为增函数，，解得；②当，即时，，解得，不符合题意，舍去；③当，即时，函数在为减函数，，解得，不符合题意，舍去；综上所述：存在使得的最小值为0．【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式；21．（本题18分）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.（1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；（2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围；（3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有.【提示】（1）根据“L函数”的定义进行判断即可；（2）根据“L函数”的定义把问题转化成关于恒成立的问题，求的取值范围；（3）先用作差法证明，再分情况讨论，根据“L函数”的定义证明；【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3），证明见解析；【解析（1）对任意的，且，，.显然有，所以函数是函数在上的“L函数”.（2）因为函数是函数在上的“L函数”，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，化简得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，解得.（3）因为，，所以. 所以当时，.当 时，.综上：.对于，不妨设，（i）当时，因为函数是函数在上的“L函数”，所以.  此时成立；（ii）当时，由得，因为，函数是函数在上的“函数，所以，此时也成立，综上，恒成立.【说明】本题主要考查了函数的新定义；本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题；1 / 2学科网（北京）股份有限公司$ (………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) ( 此卷只装订不密封) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数的定义域是 2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 .6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ．8．若函数是奇函数，则实数 9．在中，角所对的边分别为，若，则 10．已知是第一象限角，且，则的值为 11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项）13. 已知，设命题，命题，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14. 下列函数对于任意，都有成立的是（    ）A． B． C． D．15．函数的图象大致为（     ）A． B．C． D．16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分）17．（本题14分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中；已知集合，（1）求集合A，B；（2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（本题14分）已知．（1）求的值；（2）求的值．19．（本题14分）中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s.参考数据：，，.（1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度；（2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？（3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）.20．（本题18分）已知幂函数在上单调递增．函数，．（1）求的值；（2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围；（3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；21．（本题18分）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.（1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；（2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围；（3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有.试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页）试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页）学科网（北京）股份有限公司$