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窗学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。57BDCCACA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分1011ACBCBC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。2.19713.1.514.50四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【详解】(1)由2an-0+1=0,得an1=2an,neN,…1分0=24，解得/4=2当n=1时0，=24，则8+0，=6，(a2=42分所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a,=2×28-小=2”.4分(2）由（1)知a,=2”，所以b=0,+l0g20,=2”+n,…5分所以3=2-2，a+-2-2+”+n1-2228分(3)由(1)知an=2”,所以cn=anl0g2an=n·2”,(4)所以Tn=G+C+…+Cn,1/6窗学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷即Tn=1×2+2×22+3×2+…+n…2”,2T。=1×22+2×23+3×24++n…2m+,…10分两式相减得7-27=2+2+2+…+2°-n-221-2"）-n2m*1=(1-n-2-2,…12分1-2所以T,=(n-1·21+213分16.【详解】(1)令u=x2,则y=ax2+b可化为y=au+b,.1分(4-(y-列230230≈0.9910，V374×V14419.34×123分令v=lny,则y=emr+"可化为lny=mx+n,即v=mx+n,…4分因为-1+2+3+4+5-3,2-x2=-3到2+2-3驴+3-3到+4-32+5-3引=10,6分5立馬-0g-可6.36.3所以？=≈0.9968，…8分∑-V10×V43.16×2则<2，因此从相关系数的角度来看，模型y=e+"的拟合程度更好.9分(2)由(1)知，用模型y=emr+"比较合适，令v=ny,则y=emr+m可化为lny=x+n,即v=mx+n,11分2(x-y-可列所以m=6.3=0.63,13分(-10i=1因为元=3，=1.6，所以i=7-mx=1.6-0.63×3=-0.29,则y关于X的回归直线方程为i=0.63x-0.29,所以广=e6-29..15分17.【详解】(1)在3Sn=4an-9n+8中，令n=1,得3S1=4a1-9+8,即a=1.由3Sn=4an-9n+8,得3S+1=4am+1-9(n+1)+8,以上两式相减，得3an+1=4an+1-4an-9,即a+1=4an+9,所以an1+3=4an+3),…2分2/6窗学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷又4+3=4，所以+3=4，a,+3所以数列{an+3}是首项为4，公比为4的等比数列.所以0，+3=4X4-小=4，即n=4-3.4分(2)由(1)得b.=210g2an+3)-3=210g24"-3=4n-3,因为a,=4"-3=4×4"--3,n-1eN,所以4∈八N,4×4-1-3都是{b}中的项。6分因为a6=4-3=4093=b1o24,a,=47-3=16381=b4096,所以数列cn}的前1024项是由数列bn}的前1030项去掉数列{an}的前6项后构成的，即C1024=b030=4117.9分(3)由(1)(2)得，S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(4+4+4+4+4+4）-3x641-4-18=54211分1-4设数列{bn}的前n项和为B,则B10301030(6+bo0_1030×1+4117）=2120770,…13分所以T1024=B1030-S6=2120770-5442=2115328.…15分18.【详解】(1)己知A,B,C三类题各一题，答对得5分，答错-2分，设答对A,8,C题分别为事件4,8，C,则：P川41，P风)4PB)号，P回写P(G)-2()-……2分三题全错：X=-2×3=-6,对1题错2题：X=5-2×2=1,对2题错1题：X=5×2-2=8,三题全对：X=5×3=15,即X的可能取值为：6,1,8,15，…3分PX=-6=43224'1111316学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷31112111161P(X=1)=x×+×x。+××5=43243243224432131112111P(X=8)=x2x5--43243243224'P(X=15)=3x2x16-143224416分所以X的分布列：18151111P244244.7分E(X)-6X1448x415x924244128分2)因为4.B.C类题量之出为433，即任选一思，是A类的概等为行日类为10,C类品设“任选一题作答正确”为事件D,由全概率公式：P(DFP(A)P(D A)+P(B)P(B)+P(C)P(D CX=4x3+3x23x11310410310220.11分(i)由题意，Y~B100,.即Py-刻-cC导3=012m设PYK≥D.则：->113分P(Y=k-1)C2020,13o1-k即100-k+×13>1,即13101-k>7k,k×7解得：k<65.65,…15分因此：当k≤65时，P(Y=k)>P(Y=k-),概率单调递增；当k≥66时，P(Y=k)<P(Y=k-1),概率单调递减，故使P(Y=k)最大的k值为65，…17分回【详解】若82，则■=2，且4，=2，所以，数列Q是以首项和公比都为2的等比数列an则21-2=2-2,所以S.+2=2,1-2…2分4/6高学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷11111111且当A=1,8=2时，A8,+B3+22,0,a,222,f数到a药足2女-,所以{an}是P(1,2)数列..4分（2)若数列6，是P(2,0)数列，设数列6，的前项和S,则有2S.6b111babatibn-b。当n≥2时.52b,5.26-bbn41bn-b。两式相减得b.=2b.,-b.2b.-bb41又.0，所以1=2b-b,2b,-b2(b-b)(b-6-1)=b(b-B-1)-b-1(b1-6);整理得(bn1-bn)b.=bn（b,-bn-1),又bn≠0，所以2bn=bn-1+bn1,所以{bn}是等差数列，.7分1-111因为b,25=66,所以，6262b’解得6=26=2，■所以，数列{bn}的公差为d=b2-b=1,所以b,=b,+(n-1d=1+n-1=n.…9分3)若数列c是P2数列，所以+2。一，所以neN,cn≠01-11当m=1时，9+2G上-1，解得6=4，,G=2,则426当n之2时，S+2=CC1,S+2=C-，11分Cn+1-CnCn-cn-l（i)-(i)可得，=6，Cn+l-Cn Cn-Cn-1因为c,≠0，所以1=1-，Cn+l-cn Cn-Cn-1所以c41-cn)(cn-C-i)=Cn+1(Cn-Cn-i)-C1(C+-Cn),整理可得c员=Cn+C-,又cn≠0，所以{Cn}首项为2、公比为2的等比数列，可知Cn=2×2"-=2”,…13分b2=n+2_2(n+1)-n_1由(2》如6=，则d-bhi.an+2-a+2n2a+2,15分无=4d*d-(你2)[7215/6窗学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷n+12<1,所以工，<1得证=1-117分6/62025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版选择性必修第四章+第五章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求。1．已知等差数列中，，则（　　）A． B． C． D．2．抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确是（ ）A．与互斥 B．与相互独立C．与对立 D．3．已知数列前项和为，若，则（   ）A． B． C． D．4．已知在一定范围内，水稻对氮元素吸收量与它根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ）A．B．变量和变量样本相关系数C．当时，残差为0D．水稻根长度每增加1cm，一天氮元素吸收量一定增加mg5．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ）A． B．C． D．6．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班2人中随机选1人值班，则第天甲值班概率为（    ）A． B． C． D．8．已知正项数列前项和为，且.在数列每相邻两项之间依次插入，得到数列，则前88项和等于（   ）A．163 B．165 C．167 D．173二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．记数列前项和为，若，则（    ）A．若为等比数列，则B．若为等差数列，则C．若，则D．若，则数列周期为310．随机事件A，B满足其中和分别指事件A和B概率，则下列说法中正确是（    ）A． B．C．事件A与B不独立 D．11．已知数列满足: ，则下面结论正确是（    ）A．B．C．当且仅当时，数列前n项和最小D．数列 前n项和为则 第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同条件下，乙袋中取出黄球概率为 ．13．已知方程四个根组成以为首项等比数列，则值为 .14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样结果如下：批次甲共50个零件，抽样后一级品与二级品各2个；批次乙抽样后一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取甲、乙两个批次样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品概率为0.75，则批次乙总零件个数为 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列满足：，.(1)求数列通项公式；(2)若，求数列前项和；(3)若，求数列前项和.16．（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4注：，.(1)设和y相关系数为，x和v相关系数为，请从相关系数角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数底数）哪一个拟合程度更好；(2)根据（1）结论及表中数据，建立y关于x回归方程.附：①相关系数，回归直线中斜率和截距最小二乘估计公式分别为， .②参考数据：.17．（15分）设数列前项和为，且，，设数列中不在数列中项按从小到大顺序构成数列.(1)求数列通项公式；(2)求；(3)设数列前项和为，求.18．（17分）某知识竞赛题库中题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题正确率分别为，，.(1)若现有，，这三类中题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后总得分为，求分布列及数学期望；(2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3.（ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率；（ⅱ）现随机抽取题库中100道题，记学生甲答对题目数为，求使事件“”概率最大时取值.19．（17分）若数列前项和，满足，其中、，则称数列是数列.(1)若，判断是否为数列；(2)若数列是数列，且，求数列通项公式；(3)在（2）成立条件下，若数列是数列，，数列前项和，且，求证：. / 学科网（北京）股份有限公司$ (………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) ( 此卷只装订不密封) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版选择性必修第四章+第五章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求。1．已知等差数列中，，则（　　）A． B． C． D．2．抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确是（ ）A．与互斥 B．与相互独立C．与对立 D．3．已知数列前项和为，若，则（   ）A． B． C． D．4．已知在一定范围内，水稻对氮元素吸收量与它根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ）A．B．变量和变量样本相关系数C．当时，残差为0D．水稻根长度每增加1cm，一天氮元素吸收量一定增加mg5．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ）A． B．C． D．6．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班2人中随机选1人值班，则第天甲值班概率为（    ）A． B． C． D．8．已知正项数列前项和为，且.在数列每相邻两项之间依次插入，得到数列，则前88项和等于（   ）A．163 B．165 C．167 D．173二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．记数列前项和为，若，则（    ）A．若为等比数列，则B．若为等差数列，则C．若，则D．若，则数列周期为310．随机事件A，B满足其中和分别指事件A和B概率，则下列说法中正确是（    ）A． B．C．事件A与B不独立 D．11．已知数列满足: ，则下面结论正确是（    ）A．B．C．当且仅当时，数列前n项和最小D．数列 前n项和为则 第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同条件下，乙袋中取出黄球概率为 ．13．已知方程四个根组成以为首项等比数列，则值为 .14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样结果如下：批次甲共50个零件，抽样后一级品与二级品各2个；批次乙抽样后一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取甲、乙两个批次样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品概率为0.75，则批次乙总零件个数为 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列满足：，.(1)求数列通项公式；(2)若，求数列前项和；(3)若，求数列前项和.16．（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4注：，.(1)设和y相关系数为，x和v相关系数为，请从相关系数角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数底数）哪一个拟合程度更好；(2)根据（1）结论及表中数据，建立y关于x回归方程.附：①相关系数，回归直线中斜率和截距最小二乘估计公式分别为， .②参考数据：.17．（15分）设数列前项和为，且，，设数列中不在数列中项按从小到大顺序构成数列.(1)求数列通项公式；(2)求；(3)设数列前项和为，求.18．（17分）某知识竞赛题库中题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题正确率分别为，，.(1)若现有，，这三类中题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后总得分为，求分布列及数学期望；(2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3.（ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率；（ⅱ）现随机抽取题库中100道题，记学生甲答对题目数为，求使事件“”概率最大时取值.19．（17分）若数列前项和，满足，其中、，则称数列是数列.(1)若，判断是否为数列；(2)若数列是数列，且，求数列通项公式；(3)在（2）成立条件下，若数列是数列，，数列前项和，且，求证：.试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版选择性必修第四章+第五章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列中，，则（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知数列为等差数列，且，则，解得：，.故选：A2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ）A．与互斥 B．与相互独立C．与对立 D．【答案】B【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，对于A、C：事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，故A、C错误；对于B：，故与相互独立，故B正确.对于D：，故D错误；故选：B.3．已知数列的前项和为，若，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，所以，当时，，所以，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以.故选：D4．已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ）A．B．变量和变量的样本相关系数C．当时，残差为0D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg【答案】C【详解】由题设，所以，可得，故A错误；所以，又，即与正相关，则样本相关系数，故B错误；由时，，残差为，故C正确；由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加个单位，故D错误.故选：C5．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由正态分布的性质可知，，则，故A错误；，则，故B错误；随机变量所服从的正态分布密度曲线关于轴对称，所以，故C正确；，，，故D错误.故选：C6．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若，则，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立；若成等比数列，则，因为，解得或，当时，，此时，即，是以2为周期的数列，所以，，即，此时成等比数列，必要性不成立.故选：A7．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设事件：甲第天值班，，则，设，则，，又，是首项为，公比为的等比数列，，故选：C．8．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ）A．163 B．165 C．167 D．173【答案】A【详解】因为，当，，因为，所以，故.当时，适合上式，所以；当时，..又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列，所以根据数列的定义可知：数列，故.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．记数列的前项和为，若，则（    ）A．若为等比数列，则B．若为等差数列，则C．若，则D．若，则数列的周期为3【答案】AC【详解】因为，对于选项A：若为等比数列，则公比，所以，故A正确；对于选项B：若为等差数列，则公差，所以，故B错误；对于选项C：若，可知数列的一个周期为6，且，所以，故C正确；对于选项D：若，则数列的一个周期为6，但不能得出，不能确定3是否为数列的周期，故D错误；故选：AC.10．随机事件A，B满足其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（    ）A． B．C．事件A与B不独立 D．【答案】BC【详解】对于选项A： ， ， ， ， ，联立 ， 解得 ， 选项A错误；对于选项B： ， ， 选项B正确；对于选项C： ， ， ， ， 事件A与B不独立， 选项C正确；对于选项D： ，而 ， 选项D错误.故选：BC.11．已知数列满足: ，则下面结论正确的是（    ）A．B．C．当且仅当时，数列的前n项和最小D．数列 的前n项和为则 【答案】BC【详解】已知数列满足: ，令，则，A错误；当时，，两式相减得.所以，当时，，所以，B正确；因为，当时，；当时，，且为单调递增数列，所以当且仅当时，数列的前n项和最小，C正确；因为，的周期为4，时，；时，；时，；时，，而，所以，，，，所以数列的所有偶数项为0，，所以从数列的前四项算作一组算起，以后每相邻四项为一组，每组之和为，所以，D错误.故选：BC.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ．【答案】【详解】从甲袋中取1个红球，从乙袋中取1个黄球的取法有，从甲袋中取1个黄球，从乙袋中取1个红球的取法有，则两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为.故答案为：.13．已知方程的四个根组成以为首项的等比数列，则的值为 .【答案】/【详解】由题意得方程或，且，且两方程没有公共根，利用韦达定理可知两方程的两根之积都为2，设等比数列的前4项分别为,易知；由等比数列性质可知，因此可得，解得；因此该等比数列的公比满足,则方程的四个根分别为，又,可得,所以,故答案为：14．某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为 .【答案】50【详解】设为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品，为从抽样后的乙批次样本中抽到i个一级品（i=0，1，2），X为抽到的4个零件中一级品的总数量，且，则，故易有，又，，则.，，故，解得或（舍），即.此时甲批次总体，样本；乙批次总体未知，样本，根据题意，抽样方法为按比例分层抽样，则，代入解得.故答案为：50.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和.【详解】（1）由，得，， 1分当时，，则，解得， 2分所以是首项为，公比为2的等比数列，则. 4分（2）由（1）知，所以， 5分所以. 8分（3） 由（1）知，所以，（4） 所以，即，， 10分两式相减得， 12分 所以. 13分16．（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4注：，.(1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；(2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程.附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .②参考数据：.【详解】（1）令，则可化为， 1分， 3分令，则可化为，即， 4分因为， 6分所以， 8分则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. 9分（2）由（1）知，用模型比较合适，令，则可化为，即， 11分所以， 13分因为，，所以，则关于的回归直线方程为，所以. 15分17．（15分）设数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列.(1)求数列的通项公式；(2)求；(3)设数列的前项和为，求.【详解】（1）在中，令，得，即.由，得，以上两式相减，得，即，所以， 2分又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，即. 4分（2）由（1）得，因为，，所以，都是中的项. 6分因为，，所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，即. 9分（3）由（1）（2）得，， 11分设数列的前项和为，则， 13分所以. 15分18．（17分）某知识竞赛题库中的题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题的正确率分别为，，.(1)若现有，，这三类中的题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得-2分.设学生甲回答三题后的总得分为，求的分布列及数学期望；(2)若题库中，，三类题目题量之比为4∶3∶3.（ⅰ）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；（ⅱ）现随机抽取题库中的100道题，记学生甲答对的题目数为，求使事件“”的概率最大时的取值.【详解】（1）已知,,三类题各一题，答对得分，答错分，设答对,,题分别为事件，则：，,；​,​；​,​， 2分三题全错：，对1题错2题：，对2题错1题：，三题全对：，即的可能取值为：， 3分，，，， 6分所以的分布列： 7分； 8分（2）（ⅰ）因为,,三类题目量之比为，即任选一题，是 类的概率为， 类为，C 类为，设 “任选一题作答正确” 为事件，由全概率公式：； 11分（ⅱ）由题意，，即,.设，则：， 13分即，即，​解得：， 15分因此：当时，，概率单调递增；当时，，概率单调递减，故使最大的值为. 17分19．（17分）若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列.(1)若，判断是否为数列；(2)若数列是数列，且，求数列的通项公式；(3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：.【详解】（1）若，则，且，所以，数列是以首项和公比都为的等比数列，则，所以， 2分且当，时，，，即数列满足，所以是数列. 4分（2）若数列是数列，设数列的前项和，则有，当时，，，两式相减得，又，所以，即，整理得，又，所以，所以是等差数列， 7分因为，，所以，，解得，所以，数列的公差为，所以. 9分（3）若数列是数列，所以，所以，.当时，，，则，解得，当时，（ⅰ），（ⅱ）， 11分（ⅰ）－（ⅱ）可得，因为，所以，所以，整理可得，又，所以首项为、公比为的等比数列，可知， 13分由（2）知，则， 15分，所以得证. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司$■■■■■2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出巢区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][CD]2 [A][B][C][D]6[A[B][CD]3[A][B][C][D]7[A[B][C[D]双阙4[A]B][C]D]8[A][B][CD]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A][B][C][D]10[A]B][C][D]11[A]B][C][D]三、填空题（每小题5分，共15分）12妇13请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$