"该高中数学课件聚焦“已知三角函数值求角”，通过回顾特殊角三角函数值的正向问题，提出逆问题引发思考，搭建从三角函数性质到求角方法的学习支架，衔接旧知与新知。\n其亮点在于融合数形结合（单位圆、三角函数线）与信息技术（计算器、GeoGebra），规范反三角函数符号表示特定区间角，培养数学思维的严谨性和数学语言的精确性。典例与训练结合，助力学生提升逻辑推理能力，教师可借助系统流程高效教学。"

7.3.5已知三角函数值求角 第七章 三角函数学 习 目 标123掌握根据给定的三角函数值求解角的基本方法，包括利用单位圆（三角函数线）和三角函数的图像.理解并会使用反三角函数符号表示在特定主值区间内唯一确定的角.在求解三角方程和不等式的过程中，锻炼逻辑推理的严谨性和数学运算的准确性.新课导入 在前面的课程中，我们已经系统学习了三角函数。尤其是一些特殊角的三角函数值，大家是否还记忆犹新？让我们快速回顾一下. 1 13新课导入 以上都是‘已知角，求三角函数值’，这是我们非常熟悉的正向思维。今天，我们要来研究它的逆问题——已知三角函数值求角.如果已知 ，那么角 是多少？ 看来，仅仅一个 ，对应的角 似乎不止一个。那么，到底有多少个？如何能把它们全部、无遗漏地表示出来？ 下面我们一起进入本节课的学习，解决以上问题.通过前面所学知识，我们发现 新知探究探究一：利用三角函数线求角尝试与发现（2）如果已知 ，你能求出 的取值范围吗？（1）如果已知 ，你能求出满足条件的角 吗？①首先先在单位圆中画出正弦值为的角的几何意义：正弦线方向朝上，长度为②观察图像：角的终边有两条，分别为和，对应的角为和③利用三角函数的周期性，可得（1）中的解： 新知探究对于问题（2）继续结合三角函数线，当角的终边在内部时，正弦线长度大于进而得到取值范围：，方法小结利用三角函数线求角的基本步骤：画单位圆→作三角函数线→找终边位置→结合周期性写角的集合典例分析例1 已知 ，求 。 可知角 的终边可能是 ，也可能是 【分析】利用单位圆上的余弦线，直观判断 θ 的终边位置，再结合周期性写出所有解.解:由 可知，角 对应的余弦线方向朝左，且长度为 。 作示意图，如图所示。 即又因为 ， 所以典例分析同样可以通过余弦函数的图像得到不等式的解集其解集为 典例分析已知 ，，求 .例1 解:由 可知， 对应的正切线的方向朝下，而且长度为 .作示意图，如图所示. 可知角 的终边可能是 ，也可能是 ．【分析】先利用特殊角记忆 tanx=−1的基本解；再利用正切函数的周期性写出通解.又因为所以又由 可知 或 典例分析因此由图还可得到不等式的解集其解集为 注：例 2 同样可以通过正切函数的图像——正切曲线求解.知识小结已知三角函数值求角①整体代换，化繁为简（若为复合角）②定象限，找特角（根据三角函数值的正负，确定角 θ 所在的象限）③写通解，扩范围（利用三角函数的周期性，在特角的基础上加上周期的整数倍，得到所有解的通式）④回代求解，得结果（若为复合函数）即时训练1.已知 ，且 ，则 （ ）B. C. D. 【分析】利用余弦线或余弦曲线得出特殊角，再根据周期性得到通解.解：特殊角的余弦值： 余弦函数在第二象限 () 为负值，故满足条件的角在第二象限。根据诱导公式： 即： 又因为 ，所以唯一符合条件的解是： B新知探究探究二：用信息技术求角 由探究一可知，即使给出的三角函数值是特殊值，求对应的角也并不容易。但可以借助计算器或者计算软件快速得出结果.例如，很多科学计算器用 表示满足条件的 值如图所示：此时，要在区间 内求出满足 的 ，只要输入 即可.一、利用计算机求解新知探究二、在Excel中求角在 Excel 中，用 表示满足条件的 值。如图所示，在 Excel 的任意一个单元格输入 “=ASIN(0.5)”，就能得到 的小数形式。 二、在GeoGebra 中求角用和表示满足条件的 值.前者得到的是弧度值，后者得到的是角度值. ①②新知探究探究三：反三角函数符号的表示 我们知道三角函数是周期函数，一个函数值对应无数个角，那能否用一个符号表示某个特定区间内的唯一角呢？事实上，在数学中，任意给定一个，当且时，通常记作 类似地，满足，有满足，有 知识小结反三角函数的定义及工具用角 ①：，，满足 ②：，，满足 ③：，，满足 即时训练2.求出以下各式的值.（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）【分析】掌握反三角函数的关键是牢记定义域与主值区间，再结合特殊角的三角函数值就能快速解答即可.巩固提升重点题型一：已知特殊角的三角函数值，求所有角 1.已知，求 的取值集合.【分析】 ，所以角 x 位于第二或第三象限，在确定角的终边之后再根据周期性得到解.解： 在 内的解为： 或 余弦函数的周期为 的取值集合为： 巩固提升【分析】正切函数的周期为π,且的基本解是：,其中 .【，且则=2.已知 ，且 ，则 的大小是（ ）B. C. D. B重点题型二：在给定区间内，求满足条件的角巩固提升重点题型三：利用反三角函数符号表示角3.设，则的值可表示为（ ）【分析】对于：，，其满足 .CA． B． C． D．【解析】∵，且 ∴.巩固提升重点题型四：解简单的三角不等式4.求满足不等式的的集合.【分析】先将原不等式进行移项、化简，再确定特殊角与区间，最后再推广到全体实数即可. 解：由得.如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆如图在单位圆中，在范围内余弦线为的角度有：，.所以满足条件的角的范围是：课堂总结一起来看看这节课我们学到了些什么？点击此处，进入本节课的课堂总结要点回顾感谢聆听! 课堂小结 已知三角函数值求角 人教B版 · 必修第三册 1 知识点回顾 2 易错点警示 3 解题技巧 Designed for Mathematics 知识点回顾 📌 核心定义 已知三角函数值求角，实质是解方程 sin x = a, cos x = a, tan x = a。 对于 sin x = a，当 |a| ≤ 1 时，在区间 [-π2, π2] 上符合条件的角记为 arcsin a。 📐 通解公式 (以正弦为例) 方程 sin x = a (|a| ≤ 1) 的解集为： { x | x = kπ + (-1)k arcsin a, k ∈ Z } 注：也可以写成并集形式： { x | x = arcsin a + 2kπ } ∪ { x | x = π - arcsin a + 2kπ } 🛠️ 常用辅助工具 利用 单位圆中的三角函数线 直观寻找角的终边位置。 利用 三角函数图像 (正弦曲线、余弦曲线) 确定交点横坐标。 易错点警示 ⚠️ 忽略定义域 在解 sin x = a 或 cos x = a 时，必须先检查是否满足： |a| ≤ 1 例如：sin x = 2 是无解的，不要盲目计算。 🚫 遗漏解的个数 在特定区间 [0, 2π] 内，若 |a| < 1 (且 a ≠ 0)，方程通常有： 2 个解 切记不要只写出一个锐角，而漏掉钝角或第三、四象限的角。 🔄 反三角函数范围混淆 arcsin x 的范围是 [-π2, π2] arccos x 的范围是 [0, π] 不要写出 arccos(12) = -π3 这样的错误结果。 📝 书写规范 写通解时，最后必须注明： k ∈ Z 这是扣分高频点。 解题技巧 💡 通用解题三步法 1 求锐角 先不管符号，求出 |a| 对应的锐角 α → 2 定象限 根据 a 的正负号，确定角所在的象限 → 3 写集合 结合周期性 2kπ 写出最终解集 📐 数形结合模型 遇到复杂或带参数的问题（如 sin x = m），画出 y = sin x 的图像和直线 y = m，观察交点个数和位置，直观且不易出错。 🔄 诱导公式转化 当遇到负值求角时（如 sin x = -12），利用公式 sin(-α) = -sin α 或 sin(π+α) = -sin α，将问题转化为第一象限角的变换。 $