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窗学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。568CBDDCC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。91011ABDABCAD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.86013.(5,614.811923*1-1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(9≠0)因为S6+2S3,所以9≠1，所以5g=2=,6=9=9,1-g1-g则房--等-号-等，整题特1十93=9.新9=3，所以a,=支1-1-g1-g31-0所以an=支×21=2r2(6分)(2)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a6,a7,ag成等比数列，所以a=a6ag,即(a6+d)2=a6(a6+3d),所以d=a6d,因为d≠0，所以a6=d,1/5画学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷型所以器=而品-尝=号13分)16.(15分)【解析】(1)由a1=1,可得2a1-S1=2a1-a1=a1=1,又{2an-Sn}为常数列，所以2an-Sn=1,即Sn=2an-1,当n≥22时，Sm-1=2ar-1-1,所以，当n≥2时，an=2am-1,又a1=1,所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an=2r-1.(7分)(2)因为n=2m1,所以dn=是=器，毫=，9分)Tm=京+京+…+京=2×+3×分+…+（阳+×克，专Tn=2×克+3×支+…+（血+1×寺，所以吃Tm=2+岁+京+…+六-（口+）×克=2+空-学=3-六-学1-=3-空所以Tm=6-#.(15分)17.(15分)【解析】(1)因为a+1=2an+2n-1(neN),所以aH1+2(n+1)+1=2(an+2n+1),所以{an+2n+1)是以a1+2×1+1=4为首项，公比为2的等比数列.(4分)(2)由(1)可得an+2n+1=4×2r1=2+1,所以an=2+1-2n-1.(5分)所以Sn=a1+a2+…+an=(22-3)+(23-5)+…+[2+1-(2n+1)]=(22+23+…+2+1)-(3+5+7+…+2n+1)=20-2_43+2+11-22=2+2-n2-2n-4,(9分)若·2”+Sn+4>0对于vn∈N恒成立，2/5窗学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷即λ·2+2+2-n2-2n-4+4>0,可得λ20>n2+2n-2*2,即入>空-4对于任意正整数n恒成立，(1分)所以>[学2-4]令bn=t2-4,则b+1-bn=禁。所以b1<b2>b3>b4>…,可得(ba）mm=b2=学-4=-2，所以>-2，所以的取值范围为（一2，+∞）.(15分)18.(17分)【解析】(1)由题意，P1=1,第3天跳绳有两种情况：第1天跳，第3天跳，其概率为1×叠=：第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为1×寺×幸=P3=寻+话=器.(3分)(2)由题意得，小华第(n-2)天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为浮Pm2?小华第(n-1)天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为Pm1:Pn=P1+Pm2(n23),即4Pn=Pm-1+3Pm-2(n≥3)，4Pn=4Pm-1-3Pm-1+3Pm-2A4Pa-Pm)=-3(Pn1-P2),2=-(a23).{Pn-Pm-1}是以P2-P1为首项，-为公比的等比数列.(7分)3):P2=,P2-P1=-,aPn-Pm1=(-)1,P2-P1=(-),P3-P2=(-)2,,Pn-Pn1=(-),P=P+(-)+(-)2+…+(-)m1,Pn=1+-1)■:Pn=号+号×(-)(1≤n≤30).(12分)记他前n天中，第天跳绳的天数为X由题意得，X服从两点分布，且P(X;=1)=P,因为X=X1+X2+…+Xn,所以E(X)=E[X1+(X2+…+Xn)]=E(X1)+E(X2+…+Xn)3/5学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷=E(X1)+E[X2+(X3+…+Xn)]=E(X1)+E(X2)+E(X3+…+Xn)=…=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn),E(X)=P1+P2十…+Pn,:E(x)=1+[净+号×(-)]+[净+号×(-)]+…+[9+号×(-)]，E(X)=1+2-0[1-（-)4]=9+最×（-)+号(1≤n≤30)17分)19.(17分)【解析】(1)在等差数列{an}中，设公差为d,【2a1+7d=16∫a1=1依题意，可得a十4d=3(a1十d),解得d=2故an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=+2y=n2(3分)(2)(i）由己知，bm=1ogg(18x2…xm3)=1og3x2…xm,则b+1=log1·(1·x1)x1(12)·x2…xm-1(xm1xm)xm(3xm):3=1og12.xx…x昂3=log[128m313=31og3(3x1x2xm)-1=3bm-1.(6分)于是b+1-支=3(bn-吉)，可得{bn-}是以号为首项，3为公比的等比数列故bn-支=号×31=支×3”，故bn=(3+1).(8分)(因=0时=雅*=响-响+…+病++帘++…+而49十g4g十…+g49+g4g+…十+g中，共有(2m-1)项注意到中十=十可=路-：南+可=十=诗=京：19州-11南+g=十=器=声，19州-24/5学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷于是g中g十g+g十…十g49十g+g+…十g+9=(m-1)声+京=(m-)·()”(12分)限-（m-》(-×有+×+×++学x(户，记Tn=支×青+号×()+×（传）°+…+学×()”，则号rn=支×()°+号×()3+×()+…+2空2×（喝）1，两式相减，可得号Tn=-诗+传+京+号+…+寺)-2学×()1，r=一+学-学×即号Tn=壳-×()*，故得Tn=高-鸭辟×()”，即c=品-(+)()”17分)5/52025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，，则（   ）A． B． C． D．22．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）A．20 B．25 C．30 D．353．朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ）A．277Hz B．311Hz C．349Hz D．494Hz4．已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ）A． B． C． D．5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ）A． B． C． D．6．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ）A．2025 B．2026 C．4050 D．40517．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ）A．是等比数列，且公比为B．是等比数列，且公比为C．是等差数列，且公差为2D．是等差数列，且公差为48．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ）A．是等比数列 B．是等差数列C．是等比数列 D．是等比数列10．已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ）A．若，则是数列中绝对值最小的项B．若则C．若为数列的前项的和，则D．若则11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 .13．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 .14．已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设数列的前项的和为.(1)若是等比数列，且，，求；(2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值.16．（15分）记数列的前项和为，已知为常数列.(1)求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.17．（15分）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．18．（17分）为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为.(1)求；(2)证明为等比数列；(3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求.19．（17分）已知等差数列满足，记数列的前项和为.(1)求数列的通项公式及；(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则.（i）数列的通项公式；（ii）已知为正整数，设，求. / 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，，则（   ）A． B． C． D．21.【答案】A【解析】因为，，所以，，，.故选：A.2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）A．20 B．25 C．30 D．352.【答案】C【解析】由题意可知等差数列满足：，所以得：，所以．故选：C．3．朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ）A．277Hz B．311Hz C．349Hz D．494Hz3.【答案】B【解析】设13个单音的频率依次组成等比数列，公比为，已知，所以，得，即；第十个单音，第四个单音，两式相除得，所以，与最接近的是.故选：B.4．已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ）A． B． C． D．4.【答案】D【解析】因为是方程的两个不同实根，所以，，所以，所以是等比数列，所以，所以，又，所以，所以.故选：D.5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ）A． B． C． D．5.【答案】D【解析】由已知得，且，，取，由得，由于为数列的前项积，所以，则，两式相除，可得，由于，化简得，即，其中所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.故选：D.6．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ）A．2025 B．2026 C．4050 D．40516.【答案】C【解析】由，所以和中一个大于1一个小于1.若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以；若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾；所以，，等比数列是单调递减数列，且，.所以当时，，当时，.由等比数列性质，，所以，.当时，，单调递增且；当时，，,单调递减且；当时，，即，所以时，单调递减,又 .所以，即时，单调递减且小于1.所以最大的自然数为.故选：C.7．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ）A．是等比数列，且公比为B．是等比数列，且公比为C．是等差数列，且公差为2D．是等差数列，且公差为47.【答案】C【解析】因为与相外切，所以，即，所以，因为每个点均在函数的图像上，可得，所以，即，所以，所以数列是等差数列，且公差为，所以，则，此时数列不是等比数列.故选：C.8．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　A． B． C． D．8.【答案】A【解析】由题数列的前项和且，对一切正整数都成立，则当 时， ①当 时，得 ②②-①得， ③结合，可解得 .可得 .则 ，它是一个等比数列，故 .当为奇数时，随的增大而增大，所以 当为偶数时，随的增大而减小，所以 综上，当时，总有 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ）A．是等比数列 B．是等差数列C．是等比数列 D．是等比数列9.【答案】ABD【解析】A选项，由题意得，故，其中，故为等比数列，A正确；B选项，，故，又，故是等差数列，B正确；C选项，，，，其中，故不是等比数列，C错误；D选项，，故，故，所以为等比数列，D正确.故选：ABD.10．已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ）A．若，则是数列中绝对值最小的项B．若则C．若为数列的前项的和，则D．若则10.【答案】ABC【解析】对于A，因为为等差数列，且，所以，即，所以且，因为，所以数列为递增数列，当时，；当时，，所以，即是数列中绝对值最小的项，故选项A正确；对于B，因为为等差数列，所以为等差数列，设，由得：，故，所以，，所以，，所以，故选项B正确；对于C，因为为等差数列，且，所以，则，则，令，得，解得，为数列的前项的和，所以，故选项C正确；对于D，因为为等差数列，且，所以，则，，即所以，故选项D错误.故选：ABC.11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或11.【答案】AD【解析】当时，，得，因①，当时，②，由①②，，即，取时，满足题意，故数列的通项公式为，又因，故.当时，；当时，，因时，符合题意 ，故，则，故A正确；对于B，由A已得，，则，因时， 时，，而，故的最大值为或，有最小值，故B错误；对于C，由，可得，易得,且，故的最大项为，故C错误；对于D，由，可得，由C项分析已得为的最大项，故得，解得或，故D正确.故选：AD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 .12.【答案】860【解析】设，由题意知，为公差为3的等差数列，则，故，故，故.故答案为：86013．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 .13.【答案】【解析】当时，，而，若是递增数列，则恒成立，得到的最小值是，解得；当时，，若是递增数列，则恒成立，即，解得，且，解得，综上，，即.故答案为：.14．已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ．14.【答案】【解析】根据题意有,令，所以，则的前 项和为，则有：故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设数列的前项的和为.(1)若是等比数列，且，，求；(2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值.15．（13分）【解析】（1）设等比数列的公比为.因为，所以，所以，，则，整理得，解得，所以.所以.（2）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，所以，因为，所以，所以.16．（15分）记数列的前项和为，已知为常数列.(1)求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.16．（15分）【解析】（1）由，可得，又为常数列，所以，即，当时，，所以，当时，，又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故.（2）因为，所以，，，，所以所以 .17．（15分）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．17．（15分）【解析】（1）因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以．所以 若对于恒成立，即，可得，即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为．18．（17分）为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为.(1)求；(2)证明为等比数列；(3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求.18．（17分）【解析】（1）由题意，，第3天跳绳有两种情况：第1天跳，第3天跳，其概率为；第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为..（2）由题意得，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，，即，.，，是以为首项，为公比的等比数列.（3），，，，，，，，，.记他前天中，第天跳绳的天数为.由题意得，服从两点分布，且，因为，所以，，，.19．（17分）已知等差数列满足，记数列的前项和为.(1)求数列的通项公式及；(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则.（i）数列的通项公式；（ii）已知为正整数，设，求.19．（17分）【解析】（1）在等差数列中，设公差为，依题意，可得，解得.故，.（2）（i）由已知，，则.于是，可得是以为首项，3为公比的等比数列.故，故.（ii）因.则.而中，共有项.注意到；∴；；…于是.∴原式，记，则，两式相减，可得，则，即，故得，即 . / 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$■■■■■2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出巢区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][C][D]2 [A][B][C][D]6[AJ[B][C][D]3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]双阙4[A]B][C]D]8[A][B][C[D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A][B][C][D]10[A]B][C][D]11[A][B][CID]三、填空题（每小题5分，共15分）12妇13请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，，则（   ）A． B． C． D．22．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）A．20 B．25 C．30 D．353．朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ）A．277Hz B．311Hz C．349Hz D．494Hz4．已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ）A． B． C． D．5．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ）A． B． C． D．6．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ）A．2025 B．2026 C．4050 D．40517．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ）A．是等比数列，且公比为B．是等比数列，且公比为C．是等差数列，且公差为2D．是等差数列，且公差为48．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ）A．是等比数列 B．是等差数列C．是等比数列 D．是等比数列10．已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（   ）A．若，则是数列中绝对值最小的项B．若则C．若为数列的前项的和，则D．若则11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 .13．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 .14．已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设数列的前项的和为.(1)若是等比数列，且，，求；(2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值.16．（15分）记数列的前项和为，已知为常数列.(1)求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.17．（15分）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．18．（17分）为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为.(1)求；(2)证明为等比数列；(3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求.19．（17分）已知等差数列满足，记数列的前项和为.(1)求数列的通项公式及；(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则.（i）数列的通项公式；（ii）已知为正整数，设，求.试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$