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学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．＝（    ）A． B． C． D．2．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ）A． B． C． D．3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ）A． B． C． D．4．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ）A． B． C．π D．5．已知函数，则下列结论正确的是（   ）A．的最小正周期为1 B．是偶函数C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ）A． B． C． D．7．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D．8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ）A．2026 B．4053 C．8104 D．8105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（   ）A．若是第二象限角，则是钝角 B．若，则为第三象限角或第四象限角C．角与角的终边相同 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ）A．在起始位置，扇形的面积为B．经过，点的坐标为C．经过，扇形的弧长为D．经过，点在单位圆上第二次重合11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ）A．若，则B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个C．若，则的取值范围是D．若，则的取值范围是第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．求函数的定义域为 ．13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 .14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数 .(1)化简；(2)若，求的值.16．（15分）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则  (1)求关于x的函数关系式；(2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.17．（15分）已知函数的最小正周期为，且．(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)设函数，若，求t的最小值．18．（17分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0(1)求实数的值和函数的解析式；(2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．（i）求的单调递减区间；（ii）当时，方程有解，求的取值范围．19．（17分）设为非空数集，实数满足以下两个条件：（i）；（ii）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界．(1)直接写出集合的上确界．(2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．①求；②求集合的上确界，并证明你的结论．试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．＝（    ）A． B． C． D．1.【答案】A【解析】.故选：A.2．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ）A． B． C． D．2.【答案】B【解析】设扇形的半径为r，由题意圆心角为，所以弧长，解得，则该扇形的面积.故选：B.3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ）A． B． C． D．3.【答案】D【解析】因为是第二象限角，所以，即．又，解得（舍去），所以．故选：.4．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ）A． B． C．π D．4.【答案】D【解析】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即，因为，所以令，即，故选：D.5．已知函数，则下列结论正确的是（   ）A．的最小正周期为1 B．是偶函数C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增5.【答案】D【解析】因为函数，对于选项A：的最小正周期为，故A错误；对于选项B：为奇函数，故B错误；对于选项C：因为，不为最值，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于选项D：因为，则，且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：D.6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ）A． B． C． D．6.【答案】C【解析】的图象向右平移个单位长度，可得，因为函数的对称中心为，若平移后的图象关于原点对称，则，得，因为，故当时，取得最小值.故选：C.7．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D．7.【答案】B【解析】设函数的最小正周期为，结合图象可知，则，即，且，则，解得，所以，令，解得，可知的一个对称中心为.对于选项A：令，解得，故A错误；对于选项B：令，解得，故B正确；对于选项C：令，解得，故C错误；对于选项D：令，解得，故D错误；故选：B.8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ）A．2026 B．4053 C．8104 D．81058.【答案】D【解析】易知函数关于点成中心对称，又函数满足；因此函数也关于点成中心对称，易知函数的最小正周期为，其值域为因为函数在上单调递减，且当时，，当，；可知的值域为；画出两函数在同一坐标系下的图象如下图：根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点，且这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足，再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点，结合对称性可知.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（   ）A．若是第二象限角，则是钝角 B．若，则为第三象限角或第四象限角C．角与角的终边相同 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角9.【答案】CD【解析】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故B错误；对于C，∵，故C正确；对于D，若为第二象限角，则，，所以，，若为偶数时，为第一象限角；若为奇数时，则，，为第三象限角.综上，为第一象限或第三象限角，故D正确.故选：CD.10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ）A．在起始位置，扇形的面积为B．经过，点的坐标为C．经过，扇形的弧长为D．经过，点在单位圆上第二次重合10.【答案】BD【解析】对于A，由点，可知，扇形的面积，故A错误；对于B，经过1s，点转过了2rad，所以点的坐标为，故B正确；对于C，经过1s，点在的终边上，点在2rad的终边上，所以扇形的弧长为，故C错误；对于D，要使得点第二次重合，则点走过的弧长减去点走过的弧长等于，设经过了，则，解得，故D正确．故选：BD．11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ）A．若，则B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个C．若，则的取值范围是D．若，则的取值范围是11.【答案】ABD【解析】对于A，由及在上单调递减，得的图象关于点对称，因此，A正确；对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，即，解得，，而周期，则，又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确；对于C，，取，函数在上单调递减，即也满足要求，C错误；对于D，依题意，为单调递减区间的子集，则，其中，解得，，当时，，当时，，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．求函数的定义域为 ．12.【答案】【解析】函数有意义，则，即，解，得，解，得，于是，所以所求定义域为.故答案为：.13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 .13.【答案】【解析】第一次是以B为旋转中心， 以为半径旋转90°,此次点A走过的路径是第二次是以C为旋转中心，以为半径旋转90°,此次点A走过的路径是第三次是以D为旋转中心，以 为半径旋转60°,此次点A走过的路径是∴点A三次共走过的路径是故答案为：14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 .14.【答案】【解析】作出时函数的图象，再根据函数为偶函数得到上的函数图象：  令，方程化为，由题意得方程有个不相等的实数根，且，有以下两种情况符合题意：①当时，，故，②当时，，故，综上可知实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数 .(1)化简；(2)若，求的值.15．（13分）【解析】（1）.（2）因为，所以 , .因此 .16．（15分）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则  (1)求关于x的函数关系式；(2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.16．（15分）【解析】（1）由题意可知：，则，即，又，所以即，所以；（2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：，所以扇环的面积为，结合（1）得，则砖雕面积与雕刻费用之比为，整理得，当且仅当时等号成立，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.17．（15分）已知函数的最小正周期为，且．(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)设函数，若，求t的最小值．17．（15分）【解析】（1）因为最小正周期．所以，解得．因为，所以，则．解得．由，得，从而.（2）因为，所以，所以，即在上的值域．（3）由（1）知．因为，所以，所以，解得，因为，所以当时，的最小值为．18．（17分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0(1)求实数的值和函数的解析式；(2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．（i）求的单调递减区间；（ii）当时，方程有解，求的取值范围．18．（17分）【解析】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为2，故可得，由，解得，故，所以，解得：，，解得：，，解得：．综上，，，，；（2）（i），令，解得：，即，所以的单调递减区间为；（ii）当，使得方程有解，即有解，即，因为，所以，所以当，即时，，当，即时，，所以，解得：．故的取值范围为.19．（17分）设为非空数集，实数满足以下两个条件：（i）；（ii）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界．(1)直接写出集合的上确界．(2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．①求；②求集合的上确界，并证明你的结论．19．（17分）【解析】（1）由于，进而，故的上确界为3.（2）由可得，故，则,设距离最短的两个交点为，则，因此，即，,得，则，解得，②由题意可得，由得，所以故，接下来证明是的上确界，，对任意给定的，若，可取使得，若,可取，使得，综上可得的上确界是. / 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$■■2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出巢区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][C][D]2 [A][B][C][D]6[AJ[B][C][D]3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]双阙4[A]B][C]D]8[A][B][C[D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A][B][C][D]10[A]B][C][D]11[A][B][CID]三、填空题（每小题5分，共15分）12妇13请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页）2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．＝（    ）A． B． C． D．2．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ）A． B． C． D．3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ）A． B． C． D．4．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ）A． B． C．π D．5．已知函数，则下列结论正确的是（   ）A．的最小正周期为1 B．是偶函数C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ）A． B． C． D．7．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D．8．函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ）A．2026 B．4053 C．8104 D．8105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（   ）A．若是第二象限角，则是钝角 B．若，则为第三象限角或第四象限角C．角与角的终边相同 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ）A．在起始位置，扇形的面积为B．经过，点的坐标为C．经过，扇形的弧长为D．经过，点在单位圆上第二次重合11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ）A．若，则B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个C．若，则的取值范围是D．若，则的取值范围是第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．求函数的定义域为 ．13．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 .14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数 .(1)化简；(2)若，求的值.16．（15分）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则  (1)求关于x的函数关系式；(2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.17．（15分）已知函数的最小正周期为，且．(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)设函数，若，求t的最小值．18．（17分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0(1)求实数的值和函数的解析式；(2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．（i）求的单调递减区间；（ii）当时，方程有解，求的取值范围．19．（17分）设为非空数集，实数满足以下两个条件：（i）；（ii）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界．(1)直接写出集合的上确界．(2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为．①求；②求集合的上确界，并证明你的结论． / 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D D D C B D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 CD BD ABD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）.（6分）（2）因为，所以 , .因此 .（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意可知：，则，即，（5分）又，所以即，所以；（7分）（2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：，所以扇环的面积为，结合（1）得，则砖雕面积与雕刻费用之比为，整理得，当且仅当时等号成立，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.（15分）17．（15分）【解析】（1）因为最小正周期．所以，解得．（1分）因为，所以，则．解得．（3分）由，得，从而.（5分）（2）因为，所以，所以，即在上的值域．（9分）（3）由（1）知．因为，所以，所以，解得，因为，所以当时，的最小值为．（15分）18．（17分）【解析】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为2，故可得，由，解得，故，（3分）所以，解得：，，解得：，，解得：．综上，，，，；（6分）（2）（i），令，解得：，即，所以的单调递减区间为；（10分）（ii）当，使得方程有解，即有解，即，因为，所以，所以当，即时，，当，即时，，所以，解得：．故的取值范围为.（17分）19．（17分）【解析】（1）由于，进而，故的上确界为3.（4分）（2）由可得，故，则,设距离最短的两个交点为，则，因此，即，（7分）,得，（9分）则，解得，（10分）②由题意可得，由得，所以故，（14分）接下来证明是的上确界，，对任意给定的，若，可取使得，若,可取，使得，综上可得的上确界是.（17分）1 / 2学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$