"本讲义聚焦高中数学向量的数量积核心知识点，从定义、运算律等基础内容出发，逐步延伸到模长与夹角计算、垂直关系判定、向量投影等基础题型，再通过基底法、动点参数范围等能力提升题型，最后拓展至极化恒等式、奔驰定理等培优内容，构建递进式学习支架。\n资料特色在于分层设计与素养融合，基础题型夯实概念理解，能力题型培养转化与推理能力，拓展题型提升创新意识。如基底法例题结合菱形、三角形等几何情境，引导学生用数学眼光观察空间形式，通过解题思路的逻辑梳理培养数学思维，课后训练覆盖多种题型，助力学生用数学语言表达和解决问题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。"

2026年高一数学下学期常考题型归纳【6.2.4·向量的数量积】总览 题型梳理题型分类 知识讲解与常考题型【A·基础达标题型】【题型1：定义直接计算】【练方法】知识梳理1.定义：，其中为与的夹角，2.运算律：交换律：数乘结合律：分配律：3.特殊情况：，解题思路1.已知模与夹角：直接代入定义式计算2.含运算律的化简：先利用运算律展开，再代入已知条件计算3.注意：数量积的结果是数量，不是向量（24-25高一·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，计算下列各式：经典例题1例题(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算律计算可得；（2）根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为，，所以.（2）因为，，与的夹角为，所以，所以.（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ）经典例题2例题A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据数量积公式代入计算即可.【详解】因为向量与的夹角为，所以 .故选：B.（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀1A． B． C． D．2【答案】A【分析】用表示，根据数量积的定义和运算律求解.【详解】已知，因为，所以.故选：A.（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）．小试牛刀2A．7 B．1 C． D．【答案】B【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.【详解】因为.故选：B.（25-26高三上·山东淄博·期中）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ）小试牛刀3A． B． C． D．【答案】A【分析】结合向量夹角的定义，利用向量数量积的定义求解即可.【详解】由题意知，，所以.故选：A【题型2：模长与夹角计算】【练方法】知识梳理1.模长公式：，故2.夹角公式：，3.核心关系：解题思路1.求模长：先算，再开平方；或利用展开式建立方程2.求夹角：先算和，代入夹角公式求，再由确定角度3.已知：展开平方，利用建立方程求解（2026高一·全国·专题练习）（1）已知向量满足，求.经典例题1例题（2）已知向量、满足，，，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先由向量数量积的定义求出，再由向量的数量积的运算律即可求得结果. （2）根据向量的数量积的运算律即可求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，，， 所以.（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ）经典例题2例题A． B． C． D．【答案】D【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可.【详解】由单位向量，，可知，，故，设向量与向量的夹角为，则，所以，解得，由，可知，故选：D.（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ）小试牛刀1A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值.【详解】因为，所以，两式相减得：，所以；因为，所以；代入，得到；，故选：D（25-26高一上·云南·期末）已知向量，满足，且向量与的夹角为．小试牛刀2(1)若向量与向量共线，求k的值；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用共线向量的性质，若两个向量共线，则存在实数，使得一个向量等于乘以另一个向量，联立方程组求解即可；（2）利用向量的数量积公式，及向量模长的平方等于向量自身的平方，计算求解即可.【详解】（1）因为向量与向量共线，则存在实数，使得，所以，解得．（2）因为，，且向量与的夹角为，所以，则.（2026·重庆永川·模拟预测）平面向量是两两夹角相等的单位向量，则（ ）小试牛刀3A．3 B．2 C．0 D．0或3【答案】D【分析】对三个向量夹角分别为和进行分类讨论，再由数量积的运算律可求出其模长.【详解】由平面向量是单位向量可得，当它们的夹角为时，可知，所以；当它们的夹角为时，即，可知，所以.故选：D【题型3：垂直关系判定】【练方法】1.充要条件：（为非零向量）2.零向量：零向量与任意向量垂直（定义）3.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然解题思路1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值3.注意：零向量与任意向量垂直，判定时需先排除零向量情况（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ）经典例题1例题A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案.【详解】由可得，解得，因，则.故选：C.（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．经典例题2例题【答案】4【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得.【详解】由是夹角为的两个单位向量，得，由，得，即，所以.故答案为：4（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且.小试牛刀1(1)求；(2)若与垂直，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解；（2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，得，则.（2）因为与垂直，所以，即，解得.（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ）小试牛刀2A．2 B． C． D．【答案】C【分析】两边平方得到，根据向量垂直得到方程，求出，从而，得到答案.【详解】，两边平方得，所以又，故，即，所以，故，.故选：C（2025·广东肇庆·一模）已知向量，，且，则__________.小试牛刀3【答案】【分析】由，则，得到，再根据模长公式求解即可．【详解】由题意知，∴，即，∴，．故答案为：．【题型4：向量的投影】【练方法】知识梳理1.投影定义：在方向上的投影为，是一个数量2.投影的几何意义：在方向上的投影是在所在直线上的射影长度（可正可负）3.投影的性质：投影的绝对值不超过，当时投影为，当时投影为解题思路1.求投影：直接代入公式计算2.已知投影求夹角：由，解出，再确定3.几何应用：将投影转化为几何图形中的线段长度，结合图形性质求（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则在方向上的投影数量为___________．经典例题1例题【答案】4【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可.【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为．故答案为：.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）经典例题2例题A． B． C． D．【答案】C【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解.【详解】因为，所以，化简得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.（25-26高三上·山东威海·期中）已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ）小试牛刀1A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用向量数量积的运算律求出，再根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】因，由可得，则在方向上的投影向量是.故选：A.（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果.【详解】由题意可知，且，∴，∴.故选：D.（25-26高三上·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为______．小试牛刀3【答案】【分析】根据平面向量数量积的运算律计算可得，结合投影向量的概念计算即可求解.【详解】因，则，得，在方向上的投影向量为．故答案为：【B·能力提升题型】【题型1：基底法求数量积】【练方法】知识梳理1.基底定义：平面内不共线的两个向量可作为基底，任意向量可唯一表示为2.数量积计算：若，，则3.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边）解题思路1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示出来3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算4.求结果：化简得到数量积的值（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________.经典例题1例题【答案】【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可.【详解】由题意如图所示：由，，因为，所以，所以，故答案为：.（24-25高二上·湖南岳阳·期末）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（    ）经典例题2例题A．9 B．10 C．18 D．20【答案】C【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.【详解】 因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，所以，，设，则，又是的外心，所以，所以.故选：C.（25-26高三上·山东烟台·期末）已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ）小试牛刀1A． B． C． D．【答案】B【分析】以为基底，分别表示出，，利用数量积的运算律求即可.【详解】如图：  以为基底，则，.又，，所以 .故选：B（2026·河南开封·一模）菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（   ）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得.【详解】如图，连接，则，；  所以，，，；因为为的中点，为的中点，所以；所以 .故选：D.（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________.小试牛刀3【答案】【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算.【详解】已知，因此，又因为在三角形中，，所以：，等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为，则，，所以，因此，.故答案为：.【题型2：动点与参数求数量积范围】【练方法】知识梳理1.核心思想：将数量积表示为参数的函数，利用函数性质求范围2.工具：数量积定义、模长公式、三角函数值域、基本不等式3.常见场景：动点在直线/线段上运动、向量含参数解题思路1.表向量：将动点对应的向量用已知向量和参数表示（如）2.算数量积：将表示后的向量代入数量积公式，展开化简为参数的函数3.求范围：利用三角函数值域、基本不等式或函数单调性，求的取值范围4.注意：参数的取值范围（如）会影响最终结果（24-25高一下·天津滨海新·期中）在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______.经典例题1例题【答案】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解．【详解】因为，，所以，，所以，，因为点在线段上，可设，而，所以，解得，，因为点为线段上一个动点，可设，，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：，．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示_____；若点为上一动点，则的最大值为_____．经典例题2例题【答案】 【分析】（1），再根据向量之间的关系进行化简；（2）根据向量加法的三角形法则，得到，，又，可得，设，则，，    最后根据范围求解即可.【详解】因为，所以，；因为，，又，即可得，设，则，，    当时有最大值，故答案为：；.（24-25高三上·天津·月考）已知菱形的边长为2，，点在边上，，设，，在上，若，则______，若为线段上的动点，则的最大值为______．小试牛刀1【答案】 【分析】利用平面向量的加减运算法则计算可求得，可求得；设，利用向量的数量积的运算律计算可求的最大值.【详解】由题意可得，，因为，所以，所以，又，所以，所以；设，所以，又，所以，当时，.故答案为：；.（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______．小试牛刀2【答案】【分析】设 ，得， ，利用向量的数量积公式结合二次函数的性质即可求解.【详解】设 ，则，由图可得，所以，则，所以当时，的最小值为，故答案为：（24-25高一下·重庆南岸·月考）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________.小试牛刀3  【答案】【分析】运用平面向量基本定理和数量积的定义，将表示为某变量的函数，进而求出取值范围即可.【详解】因为，所以，，设，则 ， ，则 ，对于，其开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以的取值范围是. 故答案为：【C·拓展培优题型】【题型1：极化恒等式】【练方法】知识梳理1.极化恒等式：2.几何意义：在三角形中，若为中点，则3.应用场景：涉及中点、中线的数量积计算，可快速转化为模长差解题思路1.识别中点：若题目中出现中点、中线，优先考虑极化恒等式2.转化：将数量积转化为模长差的形式3.计算：利用已知的模长或几何条件计算模长差，再除以4得到数量积（25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）经典例题1例题A．1 B．4 C．9 D．15【答案】D【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解.【详解】.故选：D.（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ）经典例题2例题A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值.【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点，则，且，故是边长为的等边三角形，易知，则，当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值.故选：C.（2025高一·全国·专题练习）已知是单位圆上两点，点为圆心，且，为圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）.小试牛刀1A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设知点在弦上，根据极化恒等式得，结合圆的性质求的范围即可得.【详解】如图，因为且，所以点在弦上，由极化恒等式得，当为的中点时，，因为点在圆内，所以，所以.故选：C（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ）小试牛刀2A．9 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案.【详解】因为点与点关于点对称，所以，则．取的中点，连接，则，，则．当点与点或点重合时，取得最大值，则，从而的最大值为8．故选：D（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ）小试牛刀3A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值.【详解】连接，如图， ，根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为，所以的最小值是.故选：B【题型2：奔驰定理】【练方法】知识梳理1.奔驰定理：在内任取一点，有2.推论：若为重心，则；若为内心，则（为三角形三边）3.应用场景：三角形内点与向量的综合问题，可快速建立向量与面积的关系解题思路1.识别三角形内点：若题目中涉及三角形内一点与三个顶点的向量关系，优先考虑奔驰定理2.列等式：根据奔驰定理列出向量与面积的等式3.转化：将向量等式转化为代数方程，结合面积比求解参数或证明结论【多选题】（2025高三·全国·专题练习）以下命题正确的有（    ）经典例题1例题A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则【答案】ABD【分析】根据向量知识，结合三角函数图像与性质逐项判断即可【详解】如图所示，是内一点，延长，交于点，因为，，所以，所以，所以，对于A，如图所示，分别为的中点，连接，因为是的重心，所以，所以，同理可得，所以，所以，故A正确；对于B，设点到的距离分别为，则，因为，则，即，又，所以，所以点是的内心，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，化简得，又不共线，所以，即，所以，故C错误；对于D，因为是的外心，，所以，，.因为，则，化简得．由题意知不同时为正，记，，则，因为，所以，即，所以，故D正确．故选：ABD【多选题】（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（   ）经典例题2例题A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若为的外心，则D．若为的垂心，，则【答案】ABC【分析】对A，根据面积关系可得，再结合重心的概念即可得解；对B，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.【详解】对于A，取的中点，连接，如图所示由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确；对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示则，所以，即，故B正确；对于C ，如图所示，因为为的外心，所以，所以，即，即，所以，同理可得，所以，故C正确；对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，由为的垂心，，则，又，则， 设，则，所以，即，所以，所以，故D错误.故选：ABC.【多选题】（24-25高一下·广东佛山·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（    ）小试牛刀1A．O为的外心 B．C． D．【答案】BCD【分析】由确定出点O是三角形的垂心，判断A；利用直角三角形角的关系、边角关系计算判断B，C；由直角三角形边角关系计算判断D作答.【详解】依题意，，同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误；如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，，，，则，又，即有，又，因此，B正确；由选项B知，，同理， ，同理可得，因此，C正确； ，同理可得，所以，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.【多选题】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2A．若，则为的重心B．若，则C．若，则D．若为的内心，且，则【答案】ABD【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，取线段的中点，连接，则，所以，，即，故、、三点共线，分别取线段、的中点、，连接、，同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，因此，若，则为的重心，A对；对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，所以，，所以，，故，B对；对于C选项，若，即，即，即，又，不共线，所以，所以由“奔驰定理”可得，C错；对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，则，因为，则，故，设，则，，则，故为直角，所以，，D对.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可.【多选题】（23-24高一下·吉林通化·月考）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ）小试牛刀3A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，，为的外心，则D．若为的垂心，，则【答案】ABC【分析】对A：取边中点，连接，结合奔驰定理，可得，进而可判断A；对B：设内切圆半径为，进而用表示出，再结合奔驰定理可判断B；对C：设外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，进而可判断C；对D：延长、、交、、于点、、，根据题意，结合奔驰定理可得，.从而可设，，则，，代入即可求解，进而可判断D.【详解】对A：如图：取边中点，连接，由 ，所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确；对B：如图：因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，，所以 ，故B 正确；对C：如图：因为为的外心，设外接圆半径为，有，，所以，，故，所以 .故C正确； 对D：由为的垂心，，所以.如图：则，.设，，则，，所以 .所以 .故D错误.故选：ABC【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”：若为所在平面上一点，则（奔驰定理）（1）为的重心 .（2）为的内心 .（3）为的外心 .（4）为的垂心 .【题型3：数量积求模长夹角范围】【练方法】知识梳理1.核心工具：（柯西不等式），2.常见转化：将模长或夹角表示为数量积的函数，利用不等式求范围3.约束条件：，解题思路1.表关系：将模长或夹角用数量积表示（如，）2.用不等式：利用或其他不等式（如基本不等式）建立范围3.求范围：解不等式得到模长或夹角的取值范围，注意验证等号成立条件（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，．经典例题1例题(1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求；(2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】（1）由已知可得，∵不共线，∴，解得．∴当时，向量终点在同一直线上.（2），故当时，最小.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ）经典例题2例题A． B． C． D．【答案】B【分析】根据方程有实根及向量的数量积求解即可.【详解】因为关于的方程有实根，所以，因为，所以，，所以，即与的夹角的取值范围是．故选：B（2025高三·全国·专题练习）已知是单位向量，，若，则的最大值是_____．小试牛刀1【答案】/【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出，进而求出，再利用向量加法的三角不等式求出最大值.【详解】由及，将两边平方得，则，，而，所以，当且仅当向量与反向共线时取等号，所以的最大值是.故答案为：（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ）小试牛刀2A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】利用投影向量求出，利用求出，最后利用向量的模的计算公式即可.【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则，则，因为，所以，则的最小值为.故选：A（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．小试牛刀3【答案】【分析】根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可.【详解】因为点是圆上一点，，所以，因为，所以，设与的夹角为，，则，所以，又，所以，又点是圆内部一点，所以，综上；，因为，所以，则，所以.故答案为：.【题型4：数量积与几何最值】【练方法】知识梳理1.核心思想：将几何最值问题转化为数量积的最值问题2.常见场景：求线段长度最值、角度最值、面积最值等3.工具：数量积定义、模长公式、三角函数最值、极化恒等式解题思路1.建模：将几何量（如线段长度、面积）表示为数量积的函数2.求最值：利用数量积的性质（如）或函数方法求最值3.验证：验证最值是否满足几何约束，给出结论（25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____.经典例题1例题【答案】/【分析】由计算，代入数值计算得到二次函数，利用二次函数的图像求最小值.【详解】因为，，，，所以，所以当时，有最小值，所以的最小值为.故答案为：.（25-26高三上·河南南阳·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为上一点，且，，则的最大值是（   ）经典例题2例题A． B． C．6 D．【答案】B【分析】根据数量积的运算律求得，然后结合完全平方式，利用基本不等式求解即可.【详解】由，则，∴，即，整理得，∴，又，∴，即，∴，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：B.（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（    ）小试牛刀1A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质，结合平面向量数量积的运算性质、基本不等式进行求解即可.【详解】过点作，垂足为，和是等腰三角形，为中点，为中点，设，则，，，因为，，即，即联立解得：，，当且仅当，即时，等号成立，故选：D（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中， ，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ）小试牛刀2A．8 B．16 C． D．【答案】D【分析】根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解.【详解】要使最大，与的夹角小于，当点在弧上时，，当点在弧上时，，当点在弧上时，取线段中点为，则，所以当与同向时，，此时最大值为，故选：D.（25-26高三上·北京西城·月考）在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ）小试牛刀3A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加法及数量积的运算律化简得出，再应用平面向量的数量积定义计算得出，即可求解.【详解】在平面直角坐标系中，因为，，所以，所以，设，则 因为，所以，所以，则的取值范围是.故选：C.课后针对训练一、单选题1．（25-26高三上·安徽·期中）已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将题干条件转化为，结合单位向量的模长进行平方运算，计算可得结果.【详解】由题意可知：，平方得：，又，，是单位向量，则，故.故选：C.2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）已知向量，满足，，则（   ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】借助模长与数量积的关系计算及数量积公式计算即可得.【详解】由，得，即，又，所以，即，则，所以.故选：D.3．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知向量满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量模长公式和运算求解.【详解】,所以，解得，故选：C4．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）正方形的边长是2，若是的中点，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】，利用向量数量积公式计算出结果．【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故，．故选：B．5．（25-26高三上·湖北·期中）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可.【详解】由于，，，所以，解得，则在方向上的投影向量为.故选：D6．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值.【详解】由于，，，.如图，作，垂足为D.由，得.由题意知,且.又.∴当点均与点A重合时，最大故. 故选：A7．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算，结合夹角公式即可求解.【详解】由题意可知：，且, ,,故选：B8．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量数量积运算化简条件式可得，结合基本不等式运算得解.【详解】由，则，，即，整理得，，又，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8.故选：D.9．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果.【详解】由正八边形的性质可知为的中点，所以，当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，所以的最大值为.故选：D.10．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知平面向量和单位向量，，且对任意实数恒成立，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将已知不等式平方后，结合数量积定义可得关于的一元二次不等式，根据其对任意实数恒成立可得，进而求得结果.【详解】，，又，，，即对任意实数恒成立，，解得：.故选：B.二、多选题11．（25-26高三上·江苏盐城·期中）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．若，则 D．【答案】ABD【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用垂直的向量关系可判断C选项；利用向量模的三角不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则，所以或当时，，C错；对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对.故选：ABD.12．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）定义：平面向量，满足.若，，，则（    ）A． B．， C． D．【答案】BC【分析】A选项，根据定义得到方程，求出；B选项，利用平面向量夹角余弦公式得到B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，故，D错误.【详解】A选项，，故，A错误；B选项，，B正确；C选项，，故，C正确；D选项，，故，D错误.故选：BC13．（25-26高三上·湖北·期中）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ）A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定C．若，则 D．若，则【答案】AC【分析】设，结合二次函数的基本性质化简得出，逐项判断即可.【详解】设，则恒成立，当时，取得最小值，此时，化简得，所以当确定，唯一确定，A对；当确定时，的值不一定只有一个，B错；当时，，解得，C对；当时，因为，所以，故或，D错.故选：AC.三、填空题14．（25-26高三上·湖南·期中）已知向量满足，且，则_______【答案】【分析】根据题意得到，再由计算即可．【详解】，，又因为，所以，即，所以．故答案为：．15．（25-26高二上·河北保定·期中）在矩形中，，，则_____.【答案】【分析】利用矩形性质及平面向量数量积公式计算即可.【详解】易知,.故答案为：16．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________.【答案】/【分析】把平方，利用向量的运算法则可得答案.【详解】由于 ， ， 均为单位向量，故 ， ， .给定 ，对两边取模的平方得：代入 ，得：，解得： ，.故答案为：17．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则和的夹角为__________.【答案】【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得.【详解】，则，则，故和的夹角为.故答案为：.18．（25-26高三上·河北衡水·期中）如图，在中，且点满足，，则___________．  【答案】/【分析】根据已知及向量的加减、数乘的几何意义得，再应用数量积的运算律及已知求.【详解】由题设，所以，因为，，所以.故答案为：19．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________.  【答案】【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得.【详解】连接，则，由最小值为中以为底的高，则，经检验等号成立时满足题意.  故答案为：.四、解答题20．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量与的夹角为，且，.(1)求；(2)当为何值时？(3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？【答案】(1)(2)(3)，反向【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果；（2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果；（3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解.【详解】（1）由已知得，因为 .所以（2）若，即，所以，即，解得，即当时，.（3）若 ，即，根据平面向量基本定理可得，解得，此时与反向.21．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中.(1)当时，求的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意先求出，再结合平面向量基本定理将和用表示，然后利用向量数量积的运算律计算即可；（2）根据题意结合平面向量基本定理将和用表示，然后化简计算，再结合可求出的取值范围.【详解】（1）当时，，因为在平行四边形中，，所以，，因为，，所以；（2）因为，，所以，，所以，因为，所以，得，所以的取值范围为.22．（24-25高一下·云南曲靖·期中）在中，满足：，是的中点.(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若是线段上任意一点，且，求的最小值；(3)若点是内一点，且，，，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量数量积的变形公式直接求解即可；（2）由题得到，设，则，利用向量的数量积公式直接求解，根据二次函数求最值即可；（3）设，，则，由条件求得，，则化简所求为，即可求出最小值.【详解】（1）根据题意，在中，有，且，则，又，又，故.（2）因为，所以，.设，则，而，则，当且仅当时，的最小值是.（3）根据题意，设，，则，若，则，变形可得.同时，，则，即，则有.又由，则，由三角函数的性质，当，，，则，变形可得：，故的最小值为.1学科网（北京）股份有限公司$2026年高一数学下学期常考题型归纳【6.2.4·向量的数量积】总览 题型梳理题型分类 知识讲解与常考题型【A·基础达标题型】【题型1：定义直接计算】【练方法】知识梳理1.定义：，其中为与的夹角，2.运算律：交换律：数乘结合律：分配律：3.特殊情况：，解题思路1.已知模与夹角：直接代入定义式计算2.含运算律的化简：先利用运算律展开，再代入已知条件计算3.注意：数量积的结果是数量，不是向量（24-25高一·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，计算下列各式：经典例题1例题(1)；(2)．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ）经典例题2例题A． B． C． D．2（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ）小试牛刀1A． B． C． D．2（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）．小试牛刀2A．7 B．1 C． D．（25-26高三上·山东淄博·期中）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ）小试牛刀3A． B． C． D．【题型2：模长与夹角计算】【练方法】知识梳理1.模长公式：，故2.夹角公式：，3.核心关系：解题思路1.求模长：先算，再开平方；或利用展开式建立方程2.求夹角：先算和，代入夹角公式求，再由确定角度3.已知：展开平方，利用建立方程求解（2026高一·全国·专题练习）（1）已知向量满足，求.经典例题1例题（2）已知向量、满足，，，求.（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ）经典例题2例题A． B． C． D．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ）小试牛刀1A． B． C． D．（25-26高一上·云南·期末）已知向量，满足，且向量与的夹角为．小试牛刀2(1)若向量与向量共线，求k的值；(2)求．（2026·重庆永川·模拟预测）平面向量是两两夹角相等的单位向量，则（ ）小试牛刀3A．3 B．2 C．0 D．0或3【题型3：垂直关系判定】【练方法】1.充要条件：（为非零向量）2.零向量：零向量与任意向量垂直（定义）3.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然解题思路1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值3.注意：零向量与任意向量垂直，判定时需先排除零向量情况（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ）经典例题1例题A． B． C． D．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．经典例题2例题（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且.小试牛刀1(1)求；(2)若与垂直，求的值.（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ）小试牛刀2A．2 B． C． D．（2025·广东肇庆·一模）已知向量，，且，则__________.小试牛刀3【题型4：向量的投影】【练方法】知识梳理1.投影定义：在方向上的投影为，是一个数量2.投影的几何意义：在方向上的投影是在所在直线上的射影长度（可正可负）3.投影的性质：投影的绝对值不超过，当时投影为，当时投影为解题思路1.求投影：直接代入公式计算2.已知投影求夹角：由，解出，再确定3.几何应用：将投影转化为几何图形中的线段长度，结合图形性质求（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则在方向上的投影数量为___________．经典例题1例题（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）经典例题2例题A． B． C． D．（25-26高三上·山东威海·期中）已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ）小试牛刀1A． B． C． D．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ）小试牛刀2A． B． C． D．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为______．小试牛刀3【B·能力提升题型】【题型1：基底法求数量积】【练方法】知识梳理1.基底定义：平面内不共线的两个向量可作为基底，任意向量可唯一表示为2.数量积计算：若，，则3.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边）解题思路1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示出来3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算4.求结果：化简得到数量积的值（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________.经典例题1例题（24-25高二上·湖南岳阳·期末）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（    ）经典例题2例题A．9 B．10 C．18 D．20（25-26高三上·山东烟台·期末）已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ）小试牛刀1A． B． C． D．（2026·河南开封·一模）菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（   ）小试牛刀2A． B． C． D．（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________.小试牛刀3【题型2：动点与参数求数量积范围】【练方法】知识梳理1.核心思想：将数量积表示为参数的函数，利用函数性质求范围2.工具：数量积定义、模长公式、三角函数值域、基本不等式3.常见场景：动点在直线/线段上运动、向量含参数解题思路1.表向量：将动点对应的向量用已知向量和参数表示（如）2.算数量积：将表示后的向量代入数量积公式，展开化简为参数的函数3.求范围：利用三角函数值域、基本不等式或函数单调性，求的取值范围4.注意：参数的取值范围（如）会影响最终结果（24-25高一下·天津滨海新·期中）在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______.经典例题1例题（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示_____；若点为上一动点，则的最大值为_____．经典例题2例题（24-25高三上·天津·月考）已知菱形的边长为2，，点在边上，，设，，在上，若，则______，若为线段上的动点，则的最大值为______．小试牛刀1（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______．小试牛刀2（24-25高一下·重庆南岸·月考）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________.小试牛刀3  【C·拓展培优题型】【题型1：极化恒等式】【练方法】知识梳理1.极化恒等式：2.几何意义：在三角形中，若为中点，则3.应用场景：涉及中点、中线的数量积计算，可快速转化为模长差解题思路1.识别中点：若题目中出现中点、中线，优先考虑极化恒等式2.转化：将数量积转化为模长差的形式3.计算：利用已知的模长或几何条件计算模长差，再除以4得到数量积（25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）经典例题1例题A．1 B．4 C．9 D．15（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ）经典例题2例题A． B． C． D．（2025高一·全国·专题练习）已知是单位圆上两点，点为圆心，且，为圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）.小试牛刀1A． B． C． D．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ）小试牛刀2A．9 B．6 C．7 D．8（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ）小试牛刀3A． B．2 C． D．3【题型2：奔驰定理】【练方法】知识梳理1.奔驰定理：在内任取一点，有2.推论：若为重心，则；若为内心，则（为三角形三边）3.应用场景：三角形内点与向量的综合问题，可快速建立向量与面积的关系解题思路1.识别三角形内点：若题目中涉及三角形内一点与三个顶点的向量关系，优先考虑奔驰定理2.列等式：根据奔驰定理列出向量与面积的等式3.转化：将向量等式转化为代数方程，结合面积比求解参数或证明结论【多选题】（2025高三·全国·专题练习）以下命题正确的有（    ）经典例题1例题A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则【多选题】（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（   ）经典例题2例题A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若为的外心，则D．若为的垂心，，则【多选题】（24-25高一下·广东佛山·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（    ）小试牛刀1A．O为的外心 B．C． D．【多选题】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2A．若，则为的重心B．若，则C．若，则D．若为的内心，且，则【多选题】（23-24高一下·吉林通化·月考）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ）小试牛刀3A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，，为的外心，则D．若为的垂心，，则【题型3：数量积求模长夹角范围】【练方法】知识梳理1.核心工具：（柯西不等式），2.常见转化：将模长或夹角表示为数量积的函数，利用不等式求范围3.约束条件：，解题思路1.表关系：将模长或夹角用数量积表示（如，）2.用不等式：利用或其他不等式（如基本不等式）建立范围3.求范围：解不等式得到模长或夹角的取值范围，注意验证等号成立条件（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，．经典例题1例题(1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求；(2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ）经典例题2例题A． B． C． D．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位向量，，若，则的最大值是_____．小试牛刀1（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ）小试牛刀2A．5 B．4 C．3 D．2（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．小试牛刀3【题型4：数量积与几何最值】【练方法】知识梳理1.核心思想：将几何最值问题转化为数量积的最值问题2.常见场景：求线段长度最值、角度最值、面积最值等3.工具：数量积定义、模长公式、三角函数最值、极化恒等式解题思路1.建模：将几何量（如线段长度、面积）表示为数量积的函数2.求最值：利用数量积的性质（如）或函数方法求最值3.验证：验证最值是否满足几何约束，给出结论（25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____.经典例题1例题（25-26高三上·河南南阳·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为上一点，且，，则的最大值是（   ）经典例题2例题A． B． C．6 D．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（    ）小试牛刀1A． B． C． D．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中， ，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ）小试牛刀2A．8 B．16 C． D．（25-26高三上·北京西城·月考）在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ）小试牛刀3A． B． C． D．课后针对训练一、单选题1．（25-26高三上·安徽·期中）已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（   ）A． B． C． D．2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）已知向量，满足，，则（   ）A．2 B． C． D．3．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知向量满足，则（    ）A． B． C． D．4．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）正方形的边长是2，若是的中点，则（    ）A． B． C．1 D．25．（25-26高三上·湖北·期中）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ）A． B． C． D．6．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ）A．4 B． C． D．7．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ）A． B． C． D．8．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ）A． B． C． D．9．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ）A． B． C． D．10．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知平面向量和单位向量，，且对任意实数恒成立，则的值为（   ）A． B． C． D．二、多选题11．（25-26高三上·江苏盐城·期中）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．若，则 D．12．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）定义：平面向量，满足.若，，，则（    ）A． B．， C． D．13．（25-26高三上·湖北·期中）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ）A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定C．若，则 D．若，则三、填空题14．（25-26高三上·湖南·期中）已知向量满足，且，则_______15．（25-26高二上·河北保定·期中）在矩形中，，，则_____.16．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________.17．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则和的夹角为__________.18．（25-26高三上·河北衡水·期中）如图，在中，且点满足，，则___________．  19．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________.  四、解答题20．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量与的夹角为，且，.(1)求；(2)当为何值时？(3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？21．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中.(1)当时，求的值；(2)求的取值范围.22．（24-25高一下·云南曲靖·期中）在中，满足：，是的中点.(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若是线段上任意一点，且，求的最小值；(3)若点是内一点，且，，，求的最小值.1学科网（北京）股份有限公司$