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2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第10章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设向量，则（    ）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件2．已知，且，则（   ）A． B． C． D．3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）  A． B． C． D．4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ）A． B． C． D．5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ）A． B． C． D．6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）A． B． C． D．7．（   ）A． B． C． D．18．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（    ）①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或A．1 B．2 C．3 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列等式成立的是（   ）A． B． C． D．10．关于平面向量，下列说法正确的是（   ）A．若，，对任意的非零实数和，则B．若，，则向量，的夹角为钝角C．若，，且和的夹角为，则D．若点在同一平面内，且，则三点共线11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．命题“”的否定是真命题第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________.13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分）14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量与的夹角，且．(1)若与垂直，求。(2)求与的夹角的余弦值。16．（15分）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线.(1)求的值：(2)若，①求向量与的夹角的余弦值；②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标.17．（15分）已知函数.(1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分，①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值.18．（17分）（新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律：据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：(1)解关于的方程：，其中；(2)猜想的值，并证明你的猜想：(3)证明：，其中.19．（17分）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数．(1)求常数的值；(2)若，使得成立，求实数的取值范围；(3)求证：方程有且只有一个根，且． / 学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C B B B B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD BCD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】13．【答案】 2（第一空2分，第二空3分）14．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【详解】（1）由已知，得，由与垂直，则，则；（5分）（2），设与的夹角为，则，与的夹角的余弦值为.（13分）16．（15分）【详解】（1）由已知得，因为三点共线，所以，即；（4分）（2）由已知得，①；（9分）②由平行四边形得，又，所以解得，即.（15分）17．（15分）【详解】（1）当时，，所以函数的最小正周期为. （2分）令，则.因为是增函数，所以当，即时，单调递减.所以函数的单调递减区间为；（6分）（2），其中.由，知当时，取得最值，所以，所以.所以.所以，所以.所以.①，且.所以.直线的方程为：，所以点到直线的距离为.所以面积为.因为，所以.所以面积的取值范围为；（15分）②由，，最大值为2，最小值为-2.令，则.所以点A的坐标为.不妨令，则.由的周期性和对称性，令是函数图象上点右侧相邻的最低点.则如图或位置时，面积最小，最小值为.（15分）  18．（17分）【详解】（1）令，则，得到，因，原方程可化为，由题意得，可得，即，则，或，① 当时，解得，因，当时，；当时，.② 当时，此时被消去，不合题意.综上可得，方程的解为或. （5分）（2）猜想：，先证明三倍角公式，由题意得，则得（*），证明：由诱导公式可得，设，可得，则，可得，将（*）代入可得，整理得，因为，所以，可得，解得（负根舍去），即，则，故.（10分）（3）设，则，由积化和差公式变形可得：，则，则，因为，所以，此时，故，即原命题得证.（17分）19．（17分）【详解】（1），因为的最小正周期为，所以，解得；（4分）（2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，当时，，则，当，，则，因为，使得成立，当时，符合题意；当时，由题意可得，则，解得，所以；当时，由题意可得，则，解得，所以；综上所述，．（10分）（3）由题意设，其定义域为．①当时，单调递增，且，，故存在，使得；②当时，由，所以，而，所以在恒成立，即此时函数无零点.综上，存在唯一的，使得，且．由题意可知，，因，要证成立，只需证（*），令，则，则（*）为，即证：，又因，显然成立，故（*）成立，也即得证.（17分）1 / 2学科网（北京）股份有限公司$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________、_________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$■■■■■2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出巢区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][C][D]2[A][B][C[D]6[AJ[B][C][D]3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]双阙4[A]B][C]D]8[A][B][C[D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A][B][C][D]10[A]B][C][D]11[A][B][C]D]三、填空题（每小题5分，共15分）121314请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页） (………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) ( 此卷只装订不密封) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第10章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设向量，则（    ）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件2．已知，且，则（   ）A． B． C． D．3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）  A． B． C． D．4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ）A． B． C． D．5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ）A． B． C． D．6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）A． B． C． D．7．（   ）A． B． C． D．18．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（    ）①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或A．1 B．2 C．3 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列等式成立的是（   ）A． B． C． D．10．关于平面向量，下列说法正确的是（   ）A．若，，对任意的非零实数和，则B．若，，则向量，的夹角为钝角C．若，，且和的夹角为，则D．若点在同一平面内，且，则三点共线11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．命题“”的否定是真命题第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________.13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分）14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量与的夹角，且．(1)若与垂直，求。(2)求与的夹角的余弦值。16．（15分）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线.(1)求的值：(2)若，①求向量与的夹角的余弦值；②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标.17．（15分）已知函数.(1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分，①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值.18．（17分）（新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律：据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：(1)解关于的方程：，其中；(2)猜想的值，并证明你的猜想：(3)证明：，其中.19．（17分）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数．(1)求常数的值；(2)若，使得成立，求实数的取值范围；(3)求证：方程有且只有一个根，且．试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第10章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设向量，则（    ）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件【答案】B【详解】当时， ，解得或，即必要性不成立，故A错误；当时，，故，所以，即充分性成立，故B正确；当时，，解得，即必要性不成立，故C错误；当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故D错误. 故选：B.2．已知，且，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，，，，由题可知，，所以.故选：C.3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）  A． B． C． D．【答案】D【详解】，即，则，即，因为，所以，.故选：D4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知单位向量、的夹角为，因此且A选项：，，，，故，A为真命题；B选项：，B为真命题；C选项：假设，则存在使，整理得：，由于与不共线（夹角为），则且，此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题；D选项：所以，D为真命题.故选：C5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又所以，化简得，可得，解得（负值舍去），所以.故选：B.6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，两边平方得，又，，，所以，令，则，所以，所以，所以，所以，解得，所以的最大值为.故选：B.7．（   ）A． B． C． D．1【答案】B【详解】. 故选：B.8．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（    ）①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由，所以的周期为，所以函数的周期为，故①错误，，所以函数的一个对称中心为，故②正确，令，解得，所以函数的单调递减区间为，故③错误，，由在区间上是单调函数，所以,又，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，所以，又，所以或，当时，，当时，，所以的值为2或，故④正确，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列等式成立的是（   ）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】因为，故A错误；因为，故B正确；因为，故C正确；因为，故D正确. 故选：BCD10．关于平面向量，下列说法正确的是（   ）A．若，，对任意的非零实数和，则B．若，，则向量，的夹角为钝角C．若，，且和的夹角为，则D．若点在同一平面内，且，则三点共线【答案】ABD【详解】对于A，因，则，故，即A正确；对于B，由，且与不共线，则向量，的夹角为钝角，故B正确；对于C，因，则，故C错误；对于D，由，可得，，即与共线，故三点共线，即D正确.故选：ABD.11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．命题“”的否定是真命题【答案】BCD【详解】对于A，B：当时，，得，则，又，故A错误，B正确；对于C：当时，，故C正确；对于D：假设，则有，则，这显然不成立，所以假设不成立，所以命题“”是假命题，从而命题“”的否定是真命题，故D正确.故选：BCD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________.【答案】【详解】由题意可得，又，，所以，所以，所以，又，所以.故答案为：.13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分）【答案】 /0.5 2【详解】设，则，所以，解得，，，，当且仅当时，即当时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：；.14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】由题可得，当时，，又，，函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为，所以，得，所以实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量与的夹角，且．(1)若与垂直，求。(2)求与的夹角的余弦值。【详解】（1）由已知，得，由与垂直，则，则；（5分）（2），设与的夹角为，则，与的夹角的余弦值为.（13分）16．（15分）设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线.(1)求的值：(2)若，①求向量与的夹角的余弦值；②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标.【详解】（1）由已知得，因为三点共线，所以，即；（4分）（2）由已知得，①；（9分）②由平行四边形得，又，所以解得，即.（15分）17．（15分）已知函数.(1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分，①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值.【详解】（1）当时，，所以函数的最小正周期为. （2分）令，则.因为是增函数，所以当，即时，单调递减.所以函数的单调递减区间为；（6分）（2），其中.由，知当时，取得最值，所以，所以.所以.所以，所以.所以.①，且.所以.直线的方程为：，所以点到直线的距离为.所以面积为.因为，所以.所以面积的取值范围为；（15分）②由，，最大值为2，最小值为-2.令，则.所以点A的坐标为.不妨令，则.由的周期性和对称性，令是函数图象上点右侧相邻的最低点.则如图或位置时，面积最小，最小值为.（15分）  18．（17分）（新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律：据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：(1)解关于的方程：，其中；(2)猜想的值，并证明你的猜想：(3)证明：，其中.【详解】（1）令，则，得到，因，原方程可化为，由题意得，可得，即，则，或，① 当时，解得，因，当时，；当时，.② 当时，此时被消去，不合题意.综上可得，方程的解为或. （5分）（2）猜想：，先证明三倍角公式，由题意得，则得（*），证明：由诱导公式可得，设，可得，则，可得，将（*）代入可得，整理得，因为，所以，可得，解得（负根舍去），即，则，故.（10分）（3）设，则，由积化和差公式变形可得：，则，则，因为，所以，此时，故，即原命题得证.（17分）19．（17分）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数．(1)求常数的值；(2)若，使得成立，求实数的取值范围；(3)求证：方程有且只有一个根，且．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1），因为的最小正周期为，所以，解得；（4分）（2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，当时，，则，当，，则，因为，使得成立，当时，符合题意；当时，由题意可得，则，解得，所以；当时，由题意可得，则，解得，所以；综上所述，．（10分）（3）由题意设，其定义域为．①当时，单调递增，且，，故存在，使得；②当时，由，所以，而，所以在恒成立，即此时函数无零点.综上，存在唯一的，使得，且．由题意可知，，因，要证成立，只需证（*），令，则，则（*）为，即证：，又因，显然成立，故（*）成立，也即得证.（17分） / 学科网（北京）股份有限公司$