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2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章~苏教版选择性必修第二册第六、七章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列0，，，…的一个通项公式为（ ）A． B． C． D．2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（ ）对称A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x3．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ）A．18 B．36 C．54 D．724．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A． B．C． D．5．已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ）A．2 B． C． D．46．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．7．若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为C．满足的点有两个 D．的面积最大值为10．设是等差数列的前项和，若，，则（ ）A． B．中最小值为C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为1511．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ）A．若平面，则B．存在点与直线，使C．存在点与直线，使平面D．第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ．13．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ．14．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.给出下列四个结论：①对任意，存在，使得；②对任意，存在，使得；③对任意，存在，使得；④对任意，存在，使得.其中所有正确结论的序号是 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列中，，且．（1）设,证明是等比数列；（2）求数列的通项公式．16．（15分）已知，与的夹角为45°.（1）求的值；（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围.17．（15分）双曲线：经过点，且渐近线方程为．(1)求的值；(2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点．18．（17分）如图，三棱锥中，棱垂直于平面，．（1）求证：；（2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值．19．（17分）已知函数，.（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围.2 / 5学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C A C A C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABC ACD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13. 14．①②四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（（1）证明：因为，（2分）又因为在数列中，，所以，（4分）所以是以为首项，公比为3的等比数列．（5分）（2）由（1）得所以①，（7分）又因为．所以，（9分）又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列．（11分）所以②，（12分）因此由①②得：=（13分）16．（15分）【解析】如图，设则，.因为，（3分），（4分）所以，（6分），则，（7分），则，（8分）所以，所以所成角的余弦值为.（9分）（2）因为，（10分）所以，即FH的长为.（15分）17．（15分）【解析】（1）由双曲线过点，有，由渐近线方程为，有，可解得.（4分）（2）由题意，抛物线与双曲线联立，，（6分）因为抛物线与双曲线的右支相交，因此要满足.（7分）设，即，且，所以有，可得.（9分）而直线的斜率为，（11分）所以直线的方程为，即，（13分）又因为，所以直线的方程化简为，所以其过定点.（15分）18．（17分）【解析】（1）因为，所以，（1分）因为平面，平面，所以， （3分）又因为，，平面，所以平面，所以.（6分）（2）如图所示，过A作于H，（7分）因为平面，平面，所以，（9分）又，，平面，所以平面，（11分）所以是直线与平面所成的角.因为平面，所以是与平面所成的角，因为，又，所以，所以在中，（15分）又，所以在中，．（16分）即直线与平面所成角的正弦值为（17分）19．（17分）【解析】（Ⅰ）.（1分）①当时，，在上单调递增，无极值. （3分）②当时，令，得.令，则；令，则.∴在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值. （5分）综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值. （6分）（Ⅱ）对任意，总存在，使得成立，等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1，（7分），当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. （9分）又，，.由（Ⅰ）知：①当时，，由得，所以.（12分）②当时，在上单调递增，在上单调递减.，又，∴当时，，由得，所以；当时，，由，得，所以.综上所述，的取值范围是.（17分）2 / 5学科网（北京）股份有限公司$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$■■■■■■2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出典区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][CD]2 [A][B][C][D]6[A[B][CD]口3[A][B][C][D]7[A[B][C[D]4[A]B][C]D]8[A][B][CD]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A][B][C][D]10 [A][B][C][D]11[A][B][C][D]三、填空题（每小题5分，共15分）12射13请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)B请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页） (………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) ( 此卷只装订不密封) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章~苏教版选择性必修第二册第六、七章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列0，，，…的一个通项公式为（ ）A． B． C． D．2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（ ）对称A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x3．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ）A．18 B．36 C．54 D．724．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A． B．C． D．5．已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ）A．2 B． C． D．46．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．7．若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为C．满足的点有两个 D．的面积最大值为10．设是等差数列的前项和，若，，则（ ）A． B．中最小值为C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为1511．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ）A．若平面，则B．存在点与直线，使C．存在点与直线，使平面D．第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ．13．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ．14．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.给出下列四个结论：①对任意，存在，使得；②对任意，存在，使得；③对任意，存在，使得；④对任意，存在，使得.其中所有正确结论的序号是 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列中，，且．（1）设,证明是等比数列；（2）求数列的通项公式．16．（15分）已知，与的夹角为45°.（1）求的值；（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围.17．（15分）双曲线：经过点，且渐近线方程为．(1)求的值；(2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点．18．（17分）如图，三棱锥中，棱垂直于平面，．（1）求证：；（2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值．19．（17分）已知函数，.（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围.试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页）试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章~苏教版选择性必修第二册第六、七章。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列0，，，…的一个通项公式为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．故选A．【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，属于基础题．2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（ ）对称A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x【答案】B【分析】将x换为﹣x，y不变，将y换为﹣y，x不变，将x换为﹣x，y换为﹣y，将x换为y，y换为x，判断变化后的方程与原方程的关系，从而得到结论.【详解】曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，所以曲线C关于y轴对称；将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于x轴对称；将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于原点对称；将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选：B．3．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ）A．18 B．36 C．54 D．72【答案】B【分析】分步计数：先确定末位数字，再确定首位数字，最后确定中间两位数字，由乘法原理可得．【详解】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间两位共种排法，因此共种情况．故选：B．4．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断．【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．故选：C．5．已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解．【详解】记抛物线的准线为，如图，作于D点，交y轴于A点，则，因为，所以为的中点，所以，，解得．故选：A．6．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建系，求出平面的法向量，再求出点到平面的距离，最后求出四棱锥的体积即可.【详解】  以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离， ，四棱锥的体积为 故选：C.7．若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,不妨设，则可证充分性；为等比数列且时得不到，可知必要性不成立【详解】不妨设，则 为等比数列；故充分性成立反之若为等比数列，不妨设公比为，， 当时，所以必要性不成立故选：A．【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.【详解】当时，单调递减，，当时，单调递减，，故在上单调递减，由，得的对称轴为，若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，故实数的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为C．满足的点有两个 D．的面积最大值为【答案】AC【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D.【详解】  圆心到直线的距离，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取得等号，所以长的取值范围为，故A正确；因为，所以四边形的面积等于，四边形的最小值为，故B错误；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，则有△，所以满足条件的点有两个，故C正确；因为，所以当，即，面积有最大值为，此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误．故选：AC10．设是等差数列的前项和，若，，则（ ）A． B．中最小值为C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15【答案】ABC【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于A，由，可得，又因为，可得，即，所以，所以，所以A正确；对于B，因为，且，所以且，所以B正确；对于C，在等差数列中，由且，则当时，可得；当时，可得，所以当取得最大值时，，所以C正确；对于D，由，且，所以使得成立的最大整数为，所以D错误.故选：ABC.11．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ）A．若平面，则B．存在点与直线，使C．存在点与直线，使平面D．【答案】ACD【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线平行于直线，时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，平面，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，平面平面，又平面，平面，，点在面上，过点的直线交，于点，，平面，又平面，平面平面，，，故A正确；对于B，设正四面体的棱长为，，故B错误；对于C，当直线平行于直线，为线段上靠近的三等分点，即，此时平面，以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为，，，，均为正三角形，点为的中心，，由正三角形中的性质，易得，在中，，，，由余弦定理得，，，则，同理，，又，平面，平面，平面，存在点S与直线MN，使平面，故C正确；对于D，设为的中点，则，又∵，，三点共线，∴，∵，，三点共线，∴，∵，，三点共线，∴，设，，，则，∵，，，四点共面，∴，又∵，∴，∴，即，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力与探究能力，属于难题.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ．【答案】【分析】令求出，分别代入、再令其相等可得答案.【详解】由，得，因为，所以，则切点A的横坐标为－1，所以，解得，所以A的坐标为．故答案为：.13．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ．【答案】【分析】设圆心坐标，根据题意列关于的方程，求出它们的值，进而求得半径，即可得答案.【详解】设圆心坐标为，由于所求圆与直线和直线都相切，故，化简为，而，则，又圆心到原点的距离为，即，解得，即圆心坐标为，则半径为，故圆的方程为，故答案为：14．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.给出下列四个结论：①对任意，存在，使得；②对任意，存在，使得；③对任意，存在，使得；④对任意，存在，使得.其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），设导数在取最大值，结合的图象可知，且当时，为增函数，在上为减函数，对于①，任意，取，则有，故①成立.对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，此时平移后的直线与图象相切，且，取，故，故②正确.对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，交的图象于，由函数的图象特征可得，取，则，故③不成立.对于④，取（为①中最大值点），则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.故答案为：①②.【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列中，，且．（1）设,证明是等比数列；（2）求数列的通项公式．15．（13分）【答案】（1）证明见解析；（2） ．【分析】（1）由等比数列的定义证明是等比数列；（2）先求出等比数列的通项公式，即,再结合可得，即可证明是以为首项，公比为的等比数列，即可求出的通项公式．【详解】（1）证明：因为，又因为在数列中，，所以，所以是以为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）得所以①，又因为．所以，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列．所以②，因此由①②得：= ．16．（15分）在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点．（1）求EF，所成角的余弦值；（2）求FH的长．16．（15分）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设于是可得，，根据，，最后结合空间向量的夹角公式和数量积运算即可求得；（2）根据，再由空间向量模的运算和数量积的运算即可得到答案.【详解】如图，设则，.因为，，所以，，则，，则，所以，所以所成角的余弦值为.（2）因为，所以，即FH的长为.17．（15分）双曲线：经过点，且渐近线方程为．(1)求的值；(2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点．17．（15分）【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由双曲线过点，且渐近线方程可求得答案；（2）抛物线与双曲线联立，并设出,求出线的方程即可证明.【详解】（1）由双曲线过点，有，由渐近线方程为，有，可解得.（2）由题意，抛物线与双曲线联立，，因为抛物线与双曲线的右支相交，因此要满足.设，即，且，所以有，可得.而直线的斜率为，所以直线的方程为，即，又因为，所以直线的方程化简为，所以其过定点.18．（17分）如图，三棱锥中，棱垂直于平面，．（1）求证：；（2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值．18．（17分）【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据，所以，再由平面，得到，然后利用线面垂直的判定定理求解.（2）过A作于H，由平面，得到，从而平面，则是直线与平面所成的角，然后在中，求得AH，在中，由求解．【详解】（1）因为，所以，因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面，所以.（2）如图所示，过A作于H，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角.因为平面，所以是与平面所成的角，因为，又，所以，所以在中，  又，所以在中，．即直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直以及线面角的求法及应用，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19．（17分）已知函数，.（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围.19．（17分）【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出的导数，讨论和两种情况利用导数正负判断单调性，求出极值；（Ⅱ）题目等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1，分别利用导数求出和的最小值即可.【详解】（Ⅰ）.①当时，，在上单调递增，无极值.②当时，令，得.令，则；令，则.∴在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值.（Ⅱ）对任意，总存在，使得成立，等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.又，，.由（Ⅰ）知：①当时，，由得，所以.②当时，在上单调递增，在上单调递减.，又，∴当时，，由得，所以；当时，，由，得，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．12 / 19学科网（北京）股份有限公司$