"本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，系统梳理从基底概念、正交分解到向量坐标表示、线性运算、数量积、模与夹角及平行的坐标条件，构建从几何表示到代数运算的递进学习支架，帮助学生逐步掌握向量的双重属性。\n资料以“即学即练+题型分类”为特色，通过几何图形问题（如延长线分点、平行四边形中点）培养数学眼光，借助参数求解、平行判断等题型发展逻辑推理的数学思维，用坐标符号表达向量关系强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典例与变式巩固知识，弥补薄弱环节。"

第九章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示知识点一 平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1 ,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 .2.基底：我们把两个不共线的向量e1 ,e2叫作这个平面的一组基底.3.向量a的正交分解：由平面向量基本定理，平面内任一向量a可以用一组基底e1 ,e2表示成a=xe1+ye2的形式。我们称x,y为向量a在基底e1 ,e2下的坐标，当e1 ,e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.即学即练（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，，(1)用，表示向量，；(2)若，求实数的值．知识点二 向量坐标表示与运算1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．2.向量线性运算的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1).已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).3向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y24.平面向量的模与夹角的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则：（1）|a|2＝x＋y或|a|＝（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝（3）cosθ＝＝(a，b为非零向量)（4）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0即学即练（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量．(1)求；(2)求向量与的夹角的大小；(3)若向量满足，求实数的值．知识点三 向量平行的坐标表示已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0即学即练（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，.(1)若，求实数，的值；(2)若，求实数的值；(3)已知，求的最小值. 题型01 用基底表示向量 对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.典｜例｜精｜析（2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知中，，，对角线，交于点，则__________，__________．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，D是边的一个四等分点，用基底，表示___________．题型02 平面向量基本定理的应用 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，平行四边形中，是的中点，在线段上，且．已知，，试用，表示和．变｜式｜巩｜固1．（2026高一·全国·专题练习）设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即________.2．（2026高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则_____.题型03 利用平面向量基本定理求参数 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．常常利用相等向量建立关于参数的方程组，解方程组极易出错，应该特别注意.典｜例｜精｜析（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ）A．4 B．3 C．2 D．12．（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______.题型04 用坐标表示平面向量 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知是内一点，，，设，，，且，，，试求，，的坐标．变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ）A． B． C． D．2.（25-26高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，为坐标原点，则____________，______题型05 向量的坐标运算 (1)向量线性运算的坐标表示，包括利用加法、减法、数乘等运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．(2)进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．1. 若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．2. 求角（函数值）常见错误：①搞错向量的夹角求数量积致误；②不会用夹角公式计算向量的夹角致误．典｜例｜精｜析（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量，，且．(1)求x的值；(2)求向量与的夹角；(3)求向量在方向上的投影向量的模．变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量与同向，，．(1)求向量的坐标；(2)若，求．2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点．(1)求的大小．(2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围．题型06 由向量坐标运算求参数 典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知．(1)求与夹角的余弦值；(2)若，求实数的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值．2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量.(1)求与的夹角的余弦值；(2)求满足的实数m，n.题型07 向量坐标表示下共线（平行）的判断 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．易忽视零向量.典｜例｜精｜析（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足.(1)求点的坐标；(2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论.变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？2.（23-24高一下·湖南永州·月考）已知，，三点的坐标分别为，，，且，．(1)求点，的坐标(2)判断与是否共线．题型08 共线（平行）向量的应用 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．两个结论结构上相似，但又有本质区别，应注意对比学习.处理向量共线时，易忽视零向量的特殊情况.典｜例｜精｜析（25-26高一上·北京西城·期末）已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，．(1)若实数x，y满足，求x，y的值；(2)若单位向量与向量的方向相反，求的坐标；(3)若与平行，求实数k的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·北京·期末）已知向量．(1)分别求出的值；(2)若，求实数的值；(3)若，求实数的值．2．（23-24高一下·四川广安·月考）已知点是线段AB的中点．(1)求点和的坐标；(2)若是轴上一点，且满足，求点的坐标．(3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$第九章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示知识点一 平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1 ,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 .2.基底：我们把两个不共线的向量e1 ,e2叫作这个平面的一组基底.3.向量a的正交分解：由平面向量基本定理，平面内任一向量a可以用一组基底e1 ,e2表示成a=xe1+ye2的形式。我们称x,y为向量a在基底e1 ,e2下的坐标，当e1 ,e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.即学即练（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，，(1)用，表示向量，；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，．(2)【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；（2）利用与共线，可得存在实数m，使得，进而计算可得，进而计算可求实数的值．【详解】（1）为中点，，．．（2），．与共线，∴存在实数m，使得，即，即．，不共线，，解得．知识点二 向量坐标表示与运算1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．2.向量线性运算的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1).已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).3向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y24.平面向量的模与夹角的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则：（1）|a|2＝x＋y或|a|＝（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝（3）cosθ＝＝(a，b为非零向量)（4）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0即学即练（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量．(1)求；(2)求向量与的夹角的大小；(3)若向量满足，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】相等向量、由向量线性运算结果求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示【分析】（1）利用向量的数量积的坐标公式计算即得；（2）利用向量的夹角公式计算即得；（3）利用向量相等构造方程求得，即得结果.【详解】（1）由向量，得.（2）由向量，得，又，于是，而，所以.（3）依题意，即，于是，解得.知识点三 向量平行的坐标表示已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0即学即练（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，.(1)若，求实数，的值；(2)若，求实数的值；(3)已知，求的最小值.【答案】(1)(2)(3).【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可；（2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；（3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得.【详解】（1），又，，，即，，解得.（2）因为，，又，，即，解得.（3）因为，所以，所以当时，取最小值. 题型01 用基底表示向量 对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.典｜例｜精｜析（2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ）A． B．C． D．【答案】D【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量【分析】根据已知条件结合图像得到四边形为平行四边形，从而得到，由及得到.【详解】连接CD，OD，如图，∵点C，D是半圆弧的两个三等分点，∴，∴，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形， .∵，，∴.故选：D.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知中，，，对角线，交于点，则__________，__________．【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量【分析】利用向量的线性运算和平行四边形的性质计算即得.【详解】如图：故答案为： ； .2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，D是边的一个四等分点，用基底，表示___________．【答案】【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用基底表示向量【分析】利用向量的加减法及数乘运算即可求得.【详解】如图示：因为是边的四等分点，所以，所以即.故答案为：题型02 平面向量基本定理的应用 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，平行四边形中，是的中点，在线段上，且．已知，，试用，表示和．【答案】，．【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量基本定理的应用【分析】根据题意，得到，，再由方程组，求得方程组的解，即可得到答案.【详解】因为四边形为平行四边形，为的中点，，所以，，又因为，，所以，解得，．变｜式｜巩｜固1．（2026高一·全国·专题练习）设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即________.【答案】【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】设出以为基向量的线性组合，将代入后列方程组求解即可.【详解】设，∵，∴.∵与不共线，∴，解得，∴.2．（2026高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则_____.【答案】【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.【详解】.设，则，又，且三点共线，则共线，即，使得，即，又不共线，则有，解得，所以，.题型03 利用平面向量基本定理求参数 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．常常利用相等向量建立关于参数的方程组，解方程组极易出错，应该特别注意.典｜例｜精｜析（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.【答案】/0.25【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值．【详解】由题意及图，，又，所以，所以，又，所以，解得m，t．故答案为：．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【知识点】利用平面向量基本定理求参数【分析】利用共线定理即可求出.【详解】由题意得三点共线，则，又，，则，，.故选：D.2．（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______.【答案】/0.75【知识点】向量加法的法则、已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用【分析】由向量共线定理可得，进而可得，结合向量的线性运算可得，比较系数即可求解.【详解】三点共线，且为的中点，存在实数使，，，因为，即，，即，解得.故答案为：.题型04 用坐标表示平面向量 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知是内一点，，，设，，，且，，，试求，，的坐标．【答案】，，．【知识点】用坐标表示平面向量【分析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，根据三角函数的定义求出点的坐标即可.【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，因为，，所以，则由三角函数的定义，得，，，即，，故，，．变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用坐标表示平面向量【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可.【详解】由点，，得.故选：D2.（25-26高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，为坐标原点，则____________，______【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量【分析】由向量的坐标表示即可直接求解.【详解】因为点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所以向量，．故答案为：；题型05 向量的坐标运算 (1)向量线性运算的坐标表示，包括利用加法、减法、数乘等运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．(2)进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．1. 若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．2. 求角（函数值）常见错误：①搞错向量的夹角求数量积致误；②不会用夹角公式计算向量的夹角致误．典｜例｜精｜析（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量，，且．(1)求x的值；(2)求向量与的夹角；(3)求向量在方向上的投影向量的模．【答案】(1)1(2)(3)【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量【分析】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.（2）根据向量的夹角公式求解即可.（3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案.【详解】（1）已知非零向量，，故，而，故，解得或，由于为非零向量，故，故；（2）结合（1）可知，，则，故，故向量与的夹角为；（3）向量在方向上的投影向量为，，故向量在方向上的投影向量的模为.变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量与同向，，．(1)求向量的坐标；(2)若，求．【答案】(1)(2)【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示【分析】（1）利用两个向量平行的坐标运算求解；（2）利用向量的数量积的坐标运算求解.【详解】（1）与同向，且，∴可设，且．又由，可得，解得，．（2），由（1）知，．2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点．(1)求的大小．(2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的坐标表示【分析】（1）应用平行四边形得出，再应用平面向量夹角余弦公式计算求解；（2）设，应用平面向量的坐标运算结合数量积坐标运算求解.【详解】（1）由题意得．因为四边形是平行四边形，所以因为，所以．（2）设，其中，则．，故的取值范围是．题型06 由向量坐标运算求参数 典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知．(1)求与夹角的余弦值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)(2)【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量夹角的坐标表示【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示求解.（2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律列式求解.【详解】（1）由，得，设与的夹角为，则，所以与夹角的余弦值为.（2）由，得，即，而，则，所以．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值．【答案】【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算列式求解.【详解】设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图，则，，，于是，由点为的中点，得，因此，解得，所以.2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）平面内给定三个向量.(1)求与的夹角的余弦值；(2)求满足的实数m，n.【答案】(1)(2)【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、向量夹角的计算【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可.（2）根据向量的坐标公式求出的值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，且，所以， ，解得.题型07 向量坐标表示下共线（平行）的判断 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．易忽视零向量.典｜例｜精｜析（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足.(1)求点的坐标；(2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论.【答案】(1)(2)共线，证明见解析【知识点】由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；（2）利用向量共线定理即可证明.【详解】（1）设，因为，，则，，因为，所以，即，解得，所以；（2）向量与向量共线，证明如下：设，因为，，所以，，因为，则，即，解得，所以，所以，，所以，故与共线.变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？【答案】或11【知识点】由坐标解决三点共线问题【分析】求出，，由A，B，C三点共线得到与共线，利用向量共线的公式求解即可.【详解】，．若A，B，C三点共线，则与共线．则，即．解得或．故当的值为或11时，A，B，C三点共线．2.（23-24高一下·湖南永州·月考）已知，，三点的坐标分别为，，，且，．(1)求点，的坐标(2)判断与是否共线．【答案】(1)，(2)共线【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由坐标判断向量是否共线【分析】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标；（2）根据向量的坐标表示判断向量的共线.【详解】（1）依题意得，．设， 由，可知，即解得点的坐标为由，可知，即解得点的坐标为．（2）由（1）可知，又，，故与共线．题型08 共线（平行）向量的应用 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．两个结论结构上相似，但又有本质区别，应注意对比学习.处理向量共线时，易忽视零向量的特殊情况.典｜例｜精｜析（25-26高一上·北京西城·期末）已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，．(1)若实数x，y满足，求x，y的值；(2)若单位向量与向量的方向相反，求的坐标；(3)若与平行，求实数k的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模【分析】（1根据题意可得，，则，利用相等向量求解；（2）根据，可得，再根据求解；（3）根据平面向量共线的坐标表示求解.【详解】（1）平行四边形ABCD的三个顶点，，，向量，，由，即，所以，得；（2）设， 根据，即，所以，即，所以；（3）由于，，又与平行，所以，得.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·北京·期末）已知向量．(1)分别求出的值；(2)若，求实数的值；(3)若，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模【分析】（1）利用平面向量模的运算公式进行求解即可；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可；（3）根据平面向量线性运算和共线的坐标表示公式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，.（2）因为，所以由，所以.（3）因为，所以，，因为，所以.2．（23-24高一下·四川广安·月考）已知点是线段AB的中点．(1)求点和的坐标；(2)若是轴上一点，且满足，求点的坐标．(3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、三线能围成三角形的问题【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标；（2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案.（3）由点A，B，D能构成三角形，得到三点不共线，列不等式求解.【详解】（1）是线段AB的中点，记为坐标原点，，；（2）设，则，因为，，解得：，∴点的坐标是．（3）点A，B，D能构成三角形，则三点不共线，所以与不共线，又，，所以，解得. 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$