"本讲义聚焦“向量应用”核心知识点，前承向量加减、数乘、数量积运算，后接平面几何与物理问题解决，涵盖几何中的垂直证明、夹角计算、长度求解、最值探究及物理中的力、速度、位移合成与功的计算，构建从运算到应用的完整学习支架。\n该资料以题型为载体，融合几何与物理情境，通过典例精析与变式巩固，引导学生用数学眼光观察空间形式与物理现象，用数学思维推理解决问题（如用数量积证垂直），用数学语言表达现实关系（如力的合成向量式）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过即学即练查漏补缺，强化应用意识。"

第九章 平面向量9.4 向量应用知识点一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．即学即练（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ）A．3 B． C． D．知识点二 向量在物理中的应用在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．即学即练（25-26高一下·全国·课后作业）水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为（   ）A． B． C． D． 题型01 用向量证明线段垂直 通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：.变｜式｜巩｜固1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．  2.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直．题型02 用向量解决夹角问题 通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．典｜例｜精｜析（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.  (1)求AM的长度；(2)求∠MPB的正弦值.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ）A． B． C． D．2．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ）A．3 B． C． D．题型03 用向量解决线段的长度问题 解决与平面几何相关问题时，注意点在直线上转化为向量共线；三角形中用三角形法则、平行四边形中用平行四边形法则等解题策略的运用很重要．典｜例｜精｜析（19-20高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：(1)AD的长；(2)的大小．变｜式｜巩｜固1．（2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（）A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.42．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________．题型04 向量与几何最值 1.向量的数量积是一个数量，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0．2.通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．3.最值问题往往涉及数量积的最值、模的最值、夹角函数值的最值等，常常应用函数的单调性、值域、绝对值不等式、基本不等式等.利用函数的单调性、值域求解时，易忽视“变量”的范围.典｜例｜精｜析（2026高一·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________．变｜式｜巩｜固1．（2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ）A． B． C．或 D．或2．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）   A．1 B．2 C．3 D．4题型05 向量在几何中的其他应用 1．向量共线定理和平面向量基本定理的应用：（1）向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．（2）题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．2.解决与平面几何相关问题时，注意点在直线上转化为向量共线；三角形中用三角形法则、平行四边形中用平行四边形法则等解题策略的运用很重要．3.向量的数量积，主要应用与判断垂直关系、夹角（函数值）计算、线段长度（模）的计算等问题.典｜例｜精｜析（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）.变｜式｜巩｜固1.．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，若，，则四边形为（   ）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】B【知识点】相等向量、向量在几何中的其他应用、向量加法法则的几何应用、相反向量【分析】由可得四边形是平行四边形，又，根据矩形的判定定理可得结果.【详解】由得，所以四边形是平行四边形.因为，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形.如图，故选：B.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：．题型06 力的合成 求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为．(1)若，，，求，的大小；(2)若，求与的余弦值．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若向量，分别表示两个力，，则合力的大小是__________．2.（25-26高一下·全国·课后作业）已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力．题型07 速度、位移的合成 求速度、位移的合成，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）某人从点出发，向东行走了10m后，又向北偏东方向行走了．求此人实际行走的位移．变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？2．（25-26高一下·全国·课后作业）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，求河水的流速．题型08 功、动量的计算 功、动量的计算需要计算两向量的数量积.典｜例｜精｜析（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________.变｜式｜巩｜固1．（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ）A． B． C．17 D．102．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为_________ 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$第九章 平面向量9.4 向量应用知识点一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．即学即练（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【知识点】用基底表示向量、用向量解决夹角问题、数量积的运算律【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果.【详解】如图，所以，则，即，由，所以，所以，，可得或（舍），故，所以.故选：C.知识点二 向量在物理中的应用在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．即学即练（25-26高一下·全国·课后作业）水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为（   ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】力的合成【分析】利用力的合成结合余弦定理即可求解.【详解】由题可得两端绳子对滑轮的拉力大小为,这两个力的夹角为，所以滑轮受到绳子的作用力;故选：C 题型01 用向量证明线段垂直 通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：.【答案】证明见解析【知识点】用向量证明线段垂直【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可.【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，则，.因为是的中点，所以.又，即，即，解得，即，，，，，即.变｜式｜巩｜固1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．  【答案】证明见解析【知识点】垂直关系的向量表示、用基底表示向量、用向量证明线段垂直【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证.【详解】设，由为正方形，则有，，则，，故，故.2.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直．【答案】证明见解析【知识点】用向量证明线段垂直【分析】先得出平分，进而得出，再计算即可.【详解】证明：由题意知，所以平分，因为，所以存在实数使得，因为，所以，所以，所以四边形的两条对角线互相垂直．题型02 用向量解决夹角问题 通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．典｜例｜精｜析（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.  (1)求AM的长度；(2)求∠MPB的正弦值.【答案】(1)(2)【知识点】用向量解决夹角问题、用向量解决线段的长度问题【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：因为AM是中线，所以，所以，则；（2）由图象知：为向量的夹角，因为，所以，，则，又，，所以，因为，所以.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用向量解决线段的长度问题、用向量解决夹角问题【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值．【详解】由，则，且，得，又是的中点，即是中线，则，则，得，所以故选：D．2．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【知识点】用基底表示向量、用向量解决夹角问题、数量积的运算律【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果.【详解】如图，所以，则，即，由，所以，所以，，可得或（舍），故，所以.故选：C.题型03 用向量解决线段的长度问题 解决与平面几何相关问题时，注意点在直线上转化为向量共线；三角形中用三角形法则、平行四边形中用平行四边形法则等解题策略的运用很重要．典｜例｜精｜析（19-20高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：(1)AD的长；(2)的大小．【答案】(1)(2)【知识点】用基底表示向量、用向量解决线段的长度问题、用向量解决夹角问题【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可.（2）利用向量的夹角运算公式求解即可.【详解】（1）设，，则.， ．（2）设，则向量与的夹角为．，，即．变｜式｜巩｜固1．（2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（）A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4【答案】D【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数【分析】方法一：设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到 ，然后计算得解；方法二：设λ，得到λλ，利用三点共线性质计算即可【详解】方法一　设，则，，因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使，，所以，又，所以解得所以，所以AP.方法二　设λ，λ∈R，因为M是BC的中点，AN＝2NC，则，λλλ，又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1，解得λ，所以APAM＝4.4.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________．【答案】【知识点】用向量解决线段的长度问题【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可.【详解】设，，则，．因为，所以．所以．又．所以，即．故答案为：题型04 向量与几何最值 1.向量的数量积是一个数量，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0．2.通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．3.最值问题往往涉及数量积的最值、模的最值、夹角函数值的最值等，常常应用函数的单调性、值域、绝对值不等式、基本不等式等.利用函数的单调性、值域求解时，易忽视“变量”的范围.典｜例｜精｜析（2026高一·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________．【答案】【知识点】向量与几何最值、向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值【分析】因为，由向量的线性运算可得，又因为整理可得，由此得到的最小值为.【详解】因为如图所示设中点为，则，所以；设中点为,当且仅当，即点与点重合时，有最小值.故答案为：.变｜式｜巩｜固1．（2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【知识点】向量减法法则的几何应用、向量与几何最值【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角.【详解】令，如下图示，即为线段的长度，由对任意，的最小值为，即，而，显然时，线段最短，此时，所以，又，故或.故选：C2．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）   A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值.【详解】连接、、、，则为的中点，由正六边形性质得，，而，因此，当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值.故选：B题型05 向量在几何中的其他应用 1．向量共线定理和平面向量基本定理的应用：（1）向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．（2）题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．2.解决与平面几何相关问题时，注意点在直线上转化为向量共线；三角形中用三角形法则、平行四边形中用平行四边形法则等解题策略的运用很重要．3.向量的数量积，主要应用与判断垂直关系、夹角（函数值）计算、线段长度（模）的计算等问题.典｜例｜精｜析（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）.【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.【知识点】向量在几何中的其他应用、用向量解决线段的长度问题、用向量解决夹角问题【分析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，利用坐标运算，根据和列方程组求出点坐标，然后利用坐标运算求模和夹角可得.【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，易知A、B、C的坐标分别为，，.设点D的坐标为，则，，，.由已知，且，得解得∴，∴，∴，因为，所以.即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.  变｜式｜巩｜固1.．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，若，，则四边形为（   ）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】B【知识点】相等向量、向量在几何中的其他应用、向量加法法则的几何应用、相反向量【分析】由可得四边形是平行四边形，又，根据矩形的判定定理可得结果.【详解】由得，所以四边形是平行四边形.因为，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形.如图，故选：B.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：．【答案】证明见解析【知识点】数量积的运算律、向量在几何中的其他应用、用定义求向量的数量积【分析】首先利用中点性质将表示为，再利用向量点积公式，分别求出和的余弦值，因为，计算即可求得两个角的余弦值相等，进而可得出结果.【详解】设，．因为，．所以．因为点，分别是，的中点，所以，，所以，即．因为，所以设，再设，，，与的夹角为，则与的夹角为，与的夹角为．因为，即，所以．所以．同理可得．所以．又，，所以，即．题型06 力的合成 求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为．(1)若，，，求，的大小；(2)若，求与的余弦值．【答案】(1)，(2)，【知识点】用向量解决夹角问题、力的合成【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小；（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值．【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡，所以，所以，又，，所以与的夹角为，所以，，因为，所以．如图．易得，所以，．（2）因为，且质点处于平衡状态，所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示，则，，所以，．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若向量，分别表示两个力，，则合力的大小是__________．【答案】5【知识点】力的合成、坐标计算向量的模【分析】首先用坐标表示，再求模.【详解】，所以.故答案为；52.（25-26高一下·全国·课后作业）已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力．【答案】合力的模为，与成角竖直向上【知识点】向量加法法则的几何应用、力的合成【分析】利用平面向量的平行四边形法则求合力.【详解】如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力．在中，，，，．．与的合力的模为，与成角竖直向上．题型07 速度、位移的合成 求速度、位移的合成，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）某人从点出发，向东行走了10m后，又向北偏东方向行走了．求此人实际行走的位移．【答案】向北偏东度（其中）的方向行走了【知识点】向量的模、速度、位移的合成【分析】作出示意图，利用平面向量的意义以及直角三角形的性质计算可求得此人实际行走的位移．【详解】如图所示，设此人从点出发向东行走10m到达点，再向北偏东方向行走到达点，由点作的垂线交的延长线于点，则，即，在中，．因为，所以．故此人实际行走的位移为从点向北偏东度（其中）的方向行走了．变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？【答案】【知识点】数量积的运算律、速度、位移的合成、已知数量积求模【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解.【详解】如图所示：，设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，所以有.所以此时小货船航行速度为.2．（25-26高一下·全国·课后作业）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，求河水的流速．【答案】【知识点】速度、位移的合成【分析】画出图形，在直角三角形中，求出实际行驶方向与垂直于对岸的方向的夹角，即可求得河水的流速.【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度，则为船的实际航行速度．由题意得，直角中，，，则，所以．又，所以．即河水的流速是．题型08 功、动量的计算 功、动量的计算需要计算两向量的数量积.典｜例｜精｜析（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________.【答案】13【知识点】力的合成、功、动量的计算、数量积的坐标表示【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可.【详解】已知共点力，则合力为，又已知位移为，所以合力对物体所做的功.故答案为：13变｜式｜巩｜固1．（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ）A． B． C．17 D．10【答案】C【知识点】功、动量的计算【分析】借助功的定义计算即可得.【详解】因为，，所以，又，故力对冰球所做的功为.故选：C.2．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为_________【答案】16【知识点】功、动量的计算、数量积的坐标表示【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.【详解】由题意得：，，则合力对该质点所做的功为.故答案为：16 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$