"本讲义聚焦高中数学三角恒等变换核心内容，系统梳理两角和与差的余弦、正弦公式，承接三角函数定义与诱导公式，为后续二倍角等公式学习搭建基础支架，包含公式推导、即学即练及综合应用。\n资料通过题型分层设计，从基础公式应用到角的变换、公式逆用等综合题型，典例与变式结合，培养数学思维中的推理与运算能力，提升数学语言表达与问题解决能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。"

第十章 三角恒等变换10.1.1&10.1.2 两角和与差的余弦、正弦知识点一 两角和与差的余弦差的余弦：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ和的余弦：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ即学即练（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则____________．【答案】【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六【分析】根据诱导公式化简已知条件得，由同角三角函数计算得，再根据两角差的余弦公式计算即可【详解】由诱导公式得．又，所以．所以．故答案为：.知识点二 两角和与差的正弦和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ即学即练（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知，则___________．【答案】【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】根据两角和差的正弦公式化简求出即可.【详解】因为，所以，则.故答案为： 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(1)公式中的α、β均为任意角．(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值；（2）已知均为锐角，求的值．【答案】（1）；（2）【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式五、六【分析】（1）先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可；（2）由，再根据两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1），又是第二象限角，．，且为第三象限角，，（2）由，为锐角可得．由和可得．于是．变｜式｜巩｜固1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ）A．或 B． C． D．【答案】B【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦【分析】由题意得，，进一步得的值为.【详解】因为，，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以的值为.故选：B.2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ）A． B． C． D．【答案】AC【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦【分析】由同角三角函数的基本关系及和差公式即可求解.【详解】由条件知，为第二或三象限角，．当为第二象限角时，，；当为第三象限角时，，．故选：AC题型02 求15°等特殊角的余弦 给角求值问题的策略：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值．典｜例｜精｜析（21-22高一·全国·课后作业）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】求15°等特殊角的余弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四【分析】（1）利用两角和的余弦公式计算可得；（2）利用两角和的余弦公式计算可得；（3）利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；（4）利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为______．【答案】【知识点】求15°等特殊角的余弦【分析】利用两角和的余弦公式化简可得结果.【详解】.故答案为：.2．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【知识点】求15°等特殊角的余弦、诱导公式一、诱导公式二、三、四【分析】（1），由两角和的余弦公式即可求解；（2）由诱导公式可得，，由两角差的余弦公式即可求解.【详解】（1）.（2）.题型03 用和、差角的余弦公式化简、求值 运用两角差的余弦公式求值的关注点(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知是第二象限角，且，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可.【详解】因为，所以，因为是第二象限角，所以,则,故选：C变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六【分析】根据三角函数的定义得，再根据同角三角函数关系得，最后结合诱导公式，正弦差角公式求解即可.【详解】根据三角函数定义，，因为，，所以所以故选：D2．（25-26高一上·河北唐山·月考）设，则__________．（用含的式子表示）【答案】【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值【分析】利用两角和差公式化简计算即可.【详解】由题知，解得，则．故答案为：题型04 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 (1)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．(2)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．不能灵活进行角的变换导致错误.典｜例｜精｜析（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________.【答案】 /【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得.【详解】因为，，两式平方相加得，，整理得，即.由，得，由，得，所以，展开化简整理得，即.故答案为：；.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：．【答案】【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值【分析】利用两角和的余弦公式计算.【详解】原式．2.（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四【分析】（1）利用诱导公式及逆用余弦的差角公式求解.（2）逆用差角的余弦公式求解.（3）利用和角的余弦公式求解.【详解】（1）原式．（2）原式．（3）原式．题型05 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等．变换角的结构形式不当导致错误.典｜例｜精｜析（25-26高一上·安徽六安·期末）已知都是锐角，，求的值.【答案】.【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、辅助角公式、给值求值型问题【分析】由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值.【详解】∵是锐角，；∵都是锐角，，所以.，，.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·广东惠州·期末）已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦【分析】应用同角三角函数关系计算得出，，再应用两角和正弦公式计算求解.【详解】因为，都是锐角，则，，则.故选:D.2.（25-26高一上·天津西青·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ）A． B． C． D．或【答案】B【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案.【详解】是锐角，，故，又，都是锐角，故，又，故，所以，所以.故选：B题型06 求15°等特殊角的正弦 “给角求值”问题，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．典｜例｜精｜析（17-18高一上·河北衡水·期末）在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________．【答案】【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、求15°等特殊角的余弦、求15°等特殊角的正弦【分析】依题意可得与轴正向的夹角为且，则与轴正向的夹角为且，设点的坐标为，根据三角函数的定义及两角和的正（余）弦公式计算可得.【详解】解：由条件可得与轴正向的夹角为且，故与轴正向的夹角为且．设点的坐标为，则，，∴点的坐标为．故答案为：变｜式｜巩｜固1．（20-21高一下·上海黄浦·月考）已知角的终边经过点，则的值为（    ）A． B． C． D．0【答案】A【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、求15°等特殊角的正弦【分析】由诱导公式可知点即为，，由三角函数定义可知，平方利用两角和的正弦计算可得结果.【详解】解：角的终边经过点，即，由三角函数的定义可得，，所以．故选：．2．（18-19高一下·浙江嘉兴·期中）____，____.【答案】 【知识点】求15°等特殊角的正弦、逆用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】利用两角差的公式的逆用可求，利用和角公式可求.【详解】,.题型07 用和、差角的正弦公式化简、求值 /给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题属于“给值求值”问题，关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．在化简、求值过程中要注意角的范围．典｜例｜精｜析（25-26高一上·江苏南通·期末）已知.(1)求的值；(2)用表示，并求的值.【答案】(1)(2)，【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解；（2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为，所以.又，所以，即，又，所以.（2）.因为，所以，故.因为，所以.所以变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则的值是____________．【答案】【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】由两角和差的正弦公式化简计算即可.【详解】因为，，所以，，两式相加得，故.故答案为：.2.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，求的值．【答案】【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式【分析】由，再结合两角差的余弦公式计算后可得.【详解】因为，所以，，又，，所以，，．题型08 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 /典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值．(1)；(2)；【答案】(1)(2)【知识点】求15°等特殊角的正弦、用和、差角的正弦公式化简、求值【详解】（1）（2）原式．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（    ）A． B．C． D．【答案】B【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】利用两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】由两角差的正弦公式得．故选：B.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：______【答案】1【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值【详解】原式．题型09 应用和差角的余弦、正弦公式求角 此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．由于角的范围过大致误典｜例｜精｜析（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦【分析】由，利用两角差的余弦公式求角.【详解】为锐角,，则，所以，又，，，，，，，，，故选：C.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦【分析】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，所以因为，所以.故选：B.2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小．【答案】60°【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦【详解】由已知得，，，则，，，又，． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$第十章 三角恒等变换10.1.1&10.1.2 两角和与差的余弦、正弦知识点一 两角和与差的余弦差的余弦：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ和的余弦：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ即学即练（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则____________．知识点二 两角和与差的正弦和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ即学即练（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知，则___________． 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(1)公式中的α、β均为任意角．(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值；（2）已知均为锐角，求的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ）A．或 B． C． D．2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ）A． B． C． D．题型02 求15°等特殊角的余弦 给角求值问题的策略：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值．典｜例｜精｜析（21-22高一·全国·课后作业）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为______．2．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值：(1)；(2)．题型03 用和、差角的余弦公式化简、求值 运用两角差的余弦公式求值的关注点(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知是第二象限角，且，则（   ）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（   ）A． B． C． D．2．（25-26高一上·河北唐山·月考）设，则__________．（用含的式子表示）题型04 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 (1)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．(2)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．不能灵活进行角的变换导致错误.典｜例｜精｜析（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：．2.（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．题型05 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等．变换角的结构形式不当导致错误.典｜例｜精｜析（25-26高一上·安徽六安·期末）已知都是锐角，，求的值.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·广东惠州·期末）已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ）A． B． C． D．2.（25-26高一上·天津西青·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ）A． B． C． D．或题型06 求15°等特殊角的正弦 “给角求值”问题，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．典｜例｜精｜析（17-18高一上·河北衡水·期末）在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________．变｜式｜巩｜固1．（20-21高一下·上海黄浦·月考）已知角的终边经过点，则的值为（    ）A． B． C． D．02．（18-19高一下·浙江嘉兴·期中）____，____.题型07 用和、差角的正弦公式化简、求值 /给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题属于“给值求值”问题，关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．在化简、求值过程中要注意角的范围．典｜例｜精｜析（25-26高一上·江苏南通·期末）已知.(1)求的值；(2)用表示，并求的值.变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则的值是____________．2.（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，求的值．题型08 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 /典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值．(1)；(2)；变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（    ）A． B．C． D．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：______题型09 应用和差角的余弦、正弦公式求角 此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．由于角的范围过大致误典｜例｜精｜析变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ）A． B． C． D．2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$