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专题02 三角函数的图象和性质考点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．考点二：三角函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无考点三：正弦型函数的性质（1）最小正周期：.（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值（4）单调性（5） 奇偶性函数是奇函数；函数是偶函数；（6）对称轴与对称中心.正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.考点四：函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.题型一：三角函数的定义域问题 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解。解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的定义域为_____________．【答案】【详解】要使函数有意义，需使所以所以，即函数的定义域为．2．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为______．【答案】【详解】由，得，解得3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【详解】（1）由知定义域为．（2）要使函数有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为．（3）因为，所以，所以函数定义域为．（4）要使函数有意义，则，解得，所以函数定义域为题型二：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的值域（最值）问题 三角函数的值域求法（1）一次型：形如，结合的范围和一次函数的单调性求解。（2）二次型：形如，可利用换元思想，设，转化为二次函数求最值，的范围需要根据定义域来确定．（3）分式型：形如（不同时为），可通过分离常数法进行变形，变形为，再结合三角函数有界性求值域．⑷型：①若，则值域为；②若，求值域的步骤为：的范围的范围的范围值域⑴求值域时注意三角函数和的有界性．⑵求的值域时，由的范围得到的范围时，注意结合正弦函数的图像求解，不能带端点.1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （     ）A． B． C．0 D．【答案】B【详解】由函数的最小正周期为，可得，解得，所以，因为，可得，当时，即时，函数取得最小值，最小值为.故选：B2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【详解】由题意，解得，，所以的最大值为3.故选：D.3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数，当_____________时，y有最大值等于_____________.【答案】， 5【详解】令，则.因为函数是减函数，所以当，时，取得最小值，此时取得最大值.4．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的定义域是_____________，值域是_____________．【答案】 【详解】，即，结合正弦函数的图象，得，．的定义域为，，，即值域为.5．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）函数在区间上的最大值为__________．【答案】【详解】函数，因为，则所以当时，取得最大值，最大值为1.6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数，则的最小值等于_____________，当函数取得最小值时，此时x的取值集合为_____________．且的单调增区间为_____________，在区间上的单调减区间是_____________．【答案】 【详解】由，，可得，，所以当，时，，此时取最小值，的最小值是，此时的取值集合是．由，得，，的单调增区间为．由，解得，因为，所以函数的单调减区间为．7．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)求函数的值域．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）由知，的值域为．（2）法一：．，．当时，，故该函数的值域为．法二：由，得，即，显然．，，解得，即函数的值域为．（3）将函数配方得．，当时，；当时，．函数的值域为．题型三：已知函数的值域（最值）求参数 （1）一次型：已知函数的值域，需利用的有界性和的正负求解；（2）型：根据x的定义域确定的取值范围，结合已知最值列关于参数的方程然后求解.1．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ）A． B．1 C．2 D．3【答案】AC【详解】因为，所以当时，，解得，所以；当时，，解得，所以.综上，或.故选：AC2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】因为，，所以， 函数在区间内既有最大值又有最小值，则函数的最大值为，最小值为或函数的最大值为1，最小值为，故或，所以或，所以的值不可能为.故选：D.3．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，由，得：，原题转化为在上的值域为，作出的图象，由，结合图象，可得：，解得：.故选：C4．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得函数的最小正周期为，最大值点满足，解得，最小值点满足，解得，因为函数在区间上既有最大值1又有最小值，且区间的长度为8，对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为，由于，满足要求；对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为，由于，满足要求；对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为，由于，满足要求；对于D，若，当时，最大值点为，最小值点为，当时，最大值点为2038，显然，内只包含最小值点，不包含最大值点，不满足要求.故选：D5．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】D【详解】由题意可知函数的周期，最大值点满足，解得，最小值点满足，解得，因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9，对A，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确；对B，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确；对C，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确；对D，若，当时，最大值点为2026，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误．故选：D6．（多选）（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】因为，当时，，所以，，解得，，由，解得，且，当时，由可得，A选项合乎要求；当且时，，则，由可得，，CD选项合乎要求.故选：ACD.题型四：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的周期性 函数和（是常数，），周期T＝；函数的周期为.是周期函数，不是周期函数；和都是周期函数；是周期函数，不是周期函数1．（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的最小正周期为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，故选：B．2．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的最小正周期为：.3．（25-26高一上·河南三门峡·期末）与函数的周期相同的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的周期为，对于选项A，的图象是将的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方得到，如图，翻折后周期不变，所以的周期为，故选项A正确；  对于选项B，函数的图象如图，所以函数的周期为，故选项B错误；  对于选项C，，所以周期为，故选项C错误；对于选项D，的周期为，故选项D错误.故选：A4．（2026高三·北京·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】画的图象，如图，由图可知函数的最小正周期为，故A正确；对于B，函数周期为，故B错误；对于C，设，则，，所以，故C错误；对于D，对于函数，当时，，当时，，所以，其最小正周期为，故D错误.故选：A.5．（多选）（25-26高一上·河南洛阳·期末）下列函数中，最小正周期为的是（   ）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】作的图象，如图，由图可知函数的最小正周期为，故A错误； ，周期为，故B正确.由于的周期为，周期为，故C正确；由于的周期为，则根据对称性，周期为，故D正确；故选：BCD6．（2026·河南南阳·模拟预测）设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为__________．【答案】3【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，所以，解得.题型五：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的单调性 求的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．余弦和正切类似处理.求的单调区间时，注意要先把ω化为正数．1．（25-26高一上·陕西西安·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】周期是，且在区间上为先减后增，A错误；周期为，B错误；周期是，且在区间上为减函数，C错误；周期是，在区间上为增函数，D正确.故选：D2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列函数中，在上为减函数的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，，，.在上递减，在上单调递增.所以在上递减．故选：D.3．（25-26高一上·山东淄博·期末）函数的单调递增区间是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】由得单调递增区间为，可得，，解得：，故函数的单调递增区间是，.故选：C4．（25-26高一上·江苏常州·月考）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，函数；由，，得，，所以函数的单调递增区间是；当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确；函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误.故选：B.5．（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】令 ，得 ，故 的单调递增区间为 ，令,则函数 的一个单调递增区间是.故选：B6．（25-26高一上·云南楚雄·期末）下列区间中，函数是单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，可得，所以；当时，可得，所以；当时，可得，所以，画出函数的部分图像，如图所示，结合图像，可得函数在区间上单调递增.故选：A.7．（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，.由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意；由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意；当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意；当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意.故选：B.8．（25-26高一上·山东淄博·月考）函数的单调递增区间为_____.【答案】【详解】设，则在上是单调递减的，因为，所以，即①.要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间.当时，单调递减，此时，结合①式，可得.所以原函数的单调递增区间为.题型六：已知函数的单调性求参数 已知函数的单调性求参数的范围一般采用子集法，步骤为：①将给定区间映射到内层函数：若，则；②要求该区间是基本单调区间的子集，列不等式组：（增函数）。注意的符号，若，需调整不等号的方向．1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，因为函数在区间上单调递增，所以，所以.2．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数，因为，可得，又因为在上单调递增，可得，解得，因为，所以，可得，所以的最大值为．故选：B．3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意得，在区间上不存在最值，若，则区间的长度大于函数半个周期，此时函数在区间内必然存在最值，故必有，又函数的最值满足，即，若，则，因为，故，则时，，时，，结合得，由于在区间上不存在最值，故在的范围内去除和，则，故选：D4．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ）A． B．2 C． D．【答案】ACD【详解】当，时，，由于在上单调递减，故应有，故，且，解得，故只能为0，则．故选：ACD5．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ）A． B．1 C． D．4【答案】B【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，又因为函数在区间上单调递减，所以函数在处取得最大值，所以，所以,解得，解得. 又因为.故选：B.6．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为_____.【答案】【详解】已知，，那么，所以，因为余弦函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，所以，由此可得不等式组，可得，则的最大值为1.7．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______．【答案】2【详解】令，，可得，．因为在区间上单调递增，所以，，解得，，由，得，当时，可得，故的最大值为2．8．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则______.【答案】【详解】因为，则，且，则，，若函数在上单调递增，注意到函数的最小正周期，且，则，解得.题型七：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．2、函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数；研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（   ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，可得，所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项，当时，可得，可排除B项，所以选项A符合题意.故选：A.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）设函数，则是（   ）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】B【详解】因为，所以该函数的最小正周期为，因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以为偶函数，故选:B3．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ）A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【详解】令，，又，所以函数是偶函数.故选：A.4．（多选）（25-26高一上·山西太原·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，函数是偶函数，且最小正周期为，A是；对于B，函数是偶函数，且最小正周期为，B是；对于C，函数不具有周期性，C不是；对于D，函数是偶函数，且最小正周期为，D是.故选：ABD5．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称，因，则是偶函数，即充分性成立；若函数为偶函数，，则，，即必要性不成立.所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件.故选：A．6．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ）A．的最小正周期为1 B．是偶函数C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增【答案】D【详解】因为函数，对于选项A：的最小正周期为，故A错误；对于选项B：为奇函数，故B错误；对于选项C：因为，不为最值，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于选项D：因为，则，且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：D.题型八：已知函数的奇偶性求参数 已知函数的奇偶性求参数的方法(1)使用恒等式法：奇函数，偶函数．(2)特殊值法：奇函数，或；偶函数.⑶熟记和的奇偶性的性质：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数；部分题目会限定参数的范围，如，此时需在通解中筛选符合条件的具体值．1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）若函数为奇函数，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】由题意可得，即，化简可得，解得.故选：A.2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，则，显然时，而、、均不可能.故选：C3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为奇函数，则，则.故选：D4．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（   ）A．1 B．-2 C．-1 D．2【答案】C【详解】函数为R上的偶函数，得，，则，，即，而不恒为0，于是，而，所以.故选：C5．（25-26高三上·湖北·期末）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】平移后的图象对应的函数为.因为是奇函数，所以，即，又，所以.故选：D6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】的图象向右平移个单位长度，可得，因为函数的对称中心为，若平移后的图象关于原点对称，则，得，因为，故当时，取得最小值.故选：C.题型九：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的对称性 对于函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的一条对称轴是（   ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】D【详解】对于正弦型函数，其对称轴满足：，所以对于函数，令，解得对称轴方程为：.验证选项：当时，.2．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，，所以，故.令，，则，，所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合.3．（25-26高一下·全国·单元测试）若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】结合正余弦函数的图象可知，的对称中心和的对称轴在一条直线上，所以若的对称中心为，则函数的一条对称轴为．故选：B.4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）函数的一个对称中心是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据正切函数图象性质令,解得，若，不满足题意，A错误；若，可得时，此时的对称中心为，B正确；若，不满足题意，C错误；若，不满足题意，D错误.故选：B5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数距离轴最近的对称中心为__________．【答案】【详解】因，由可得，即函数的对称中心为，故当时，点为函数距离轴最近的对称中心.6．（2026·湖南长沙·三模）函数的一个对称中心为___________．【答案】（不唯一）【详解】令（），解得，当时，，所以的一个对称中心为.题型十：已知函数的对称中心或对称轴求参数 解题策略：方法一：代入对称条件：若已知对称轴，则令（正弦型）或（余弦型），解出参数关系。方法二：赋值法：选取特定值（通常或），结合参数范围快速锁定解.方法三：数形结合：画出函数的草图，标出对称轴位置，辅助理解参数影响．注意参数范围限制，如，等隐含条件，避免多解或无效解．1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，令，则，容易验证当时，最小，此时.故选：A2．（25-26高三上·广东深圳·期末）若是函数的图象的一条对称轴，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】是函数的图象的一条对称轴，所以，则，因为，所以当时，的最小值为.故选：A.3．（25-26高三上·河南驻马店·期末）“，”是“函数关于直线对称”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由关于对称， 代入可得，解得，即与是等价的，所以必要性成立.反之，若，当时，，故函数关于对称，所以充分性成立.综上，两者互为充要条件.故选：4．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的对称轴为，则函数的对称轴为，当时，，因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，所以，解得，则的取值范围是.故选：A5．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】函数的图象关于直线对称，所以，，得，，因为，所以当时，取最小值，为，故选：A.6．（26-27高二上·云南·期末）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由点是函数图象的一个对称中心得，则，又，所以当时，取得最小值为.故选：A．7．（25-26高一上·福建厦门·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，令，解得，即的对称中心为；因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且函数与函数图象的对称中心完全一致，所以函数与的最小正周期相等，又函数的最小正周期，所以，所以，则，令，则，故，解得，因为，所以．故选：C．8．（多选）（25-26高一上·广东东莞·期末）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【详解】因为函数的图象关于点对称，则，解得，令可得，令可得，令可得，令可得，BC选项符合题意.故选：BC.9．（河南驻马店市第二高级中学等校2025-2026学年高三下学期开考试学数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______．【答案】4【详解】因为的图象关于直线对称，所以，，解得，，则的最小值为4．题型十一：五点作图法画函数的图像 “五点法”作函数的图象的步骤：①列表.令，依次得出相应的值；②描点；③连线得函数在一个周期内的图象；④左右平移得到的图象.⑴五点的选取核心是让取特殊角，而非直接让取这些值；⑵作图时坐标刻度要均匀，关键点的位置要准确.1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数在区间上的简图是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，可排除BD；由，可排除C.故选：A2．（25-26高一上·山东德州·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】与在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个.故选：B.3．（25-26高一下·全国·课堂例题）作函数在上的图象.【答案】图象见解析【详解】列表： 0 0 0 2 0 描点连线得：4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数． 0 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象；(2)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到.【详解】（1） 0 x 0 2 0 -2 0（2）方法1：将函数向左移个单位，得到，再将函数图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的倍，得到.方法2：函数图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的倍，得到函数，再将函数向左移个单位，得到，即得到．5．（25-26高一上·福建泉州·期末）已知函数.(1)用“五点法”填写下面表格，并画出在区间上的简图；(2)若，求的值域. 0 0 1 0 -1 0【答案】(1)答案见解析；(2)【详解】（1） 0 0 1 0 -1 0（2）由题意可知：，，，所以的值域为6．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知函数.(1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像；(2)求出函数的对称轴､对称中心：(3)当时，求曲线与的交点个数.（请直接写出答案）【答案】(1)答案见解析(2)对称轴是，对称中心是(3)2【详解】（1）列表： 0 1 2 0 -2 0 1描点，连线，画出在上的大致图象如图：（2）根据题意，函数，由得得所以函数的对称轴是，对称中心是；（3）在同一坐标系内作出函数与在的图象，如图：观察图象，曲线与的交点个数为2.题型十二：函数的图像的应用 角度1：利用函数的图像解不等式用三角函数图象解三角不等式的步骤：①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解角度2：利用函数的图像解决函数的零点个数问题解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决。注意画图要准确．1．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知，不等式的解集为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】不等式，即，可得，又因为，所以不等式的解集是，故选：B．2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是三角形的一个内角，可得，又因为，可得，即不等式的解集为.故选：C.3．（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数，使成立的x的取值集合是（   ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，得，所以，所以，即.所以使成立的x的取值集合是.故选：B.4．（25-26高一下·全国·课后作业）若方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】在同一坐标系中作出函数的图象与的图象，易知，当，即时，两图象有两个不同的交点，即方程在上有两个不同的实根．故选：C5．（25-26高一上·江苏·期末）函数的零点个数为（   ）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】画出函数和的图象，其中，如图，由图可知，当时，，两函数图象没有交点，当时，两函数图象有3个交点，当时，，两函数图象没有交点，综上，函数和的图象有3个交点，所以，函数零点的个数为3.故选：D6．（25-26高一上·湖北黄冈·月考）方程的实数解的个数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】在同一坐标系中作余弦函数与直线的图象，由图可知余弦函数与直线在内有四个交点，即方程的实数解的个数是个．故选：D7．（25-26高三上·云南保山·期末）已知函数在区间上有一个极值点和两个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，可得，由题意，要使在有一个极值点和两个零点，则需使，即，故选：B.8．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，由函数的零点等价于的零点结合正弦函数在区间上恰有3个零点，则，解得，故选：C．题型十三：函数图像变换 1.探索对函数的图像的影响函数 的图象可以看作是把正弦曲线 上的所有点向左（当 时）或向右 （当 时）平移 个单位长度而得到的（可简记为＂左加右减＂）．2.探索对函数的图像的影响一般地，函数 ，且 的周期是 ，把 图象上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图像.3.探索对函数的图象的影响一般地，函数 ，且 的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到⑴左右平移是对 本身而言的，如果 前面有系数，那么应提取系数，然后进行左右平移．⑵伸缩变换推广到一般：函数的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标缩短 （当 时）或伸长（当时） 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到。1．（25-26高一上·安徽六安·期末）为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】C【详解】把的图象上所有的点先向右平移个单位长度，得，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得.故选：C2．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ）A． B．C． D．【答案】B【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得.故选：B3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ）A． B．C． D．【答案】A【详解】把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变）得到函数，再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数．4．（25-26高一下·湖南岳阳·开学考试）为了得到函数的图象，只需将的图象（   ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】C【详解】，将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对.5．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得：，此函数图象关于点中心对称，所以，即，因为，所以，.故选：C6．（25-26高三下·河南·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得的图象.故选：A.7．（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【详解】因为函数，又函数，所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象.故选：D题型十四：由图像确定的解析式 已知函数（)的图象，确定其解析式的步骤：(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，；(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；(3)求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间．如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解在确定时，为避免多解，通常代入最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必注意零点所在的单调区间，如果忽视其所在的单调区间，直接根据公式求，则容易错选．1．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】由图象可知，所以，所以，，由，，可得，，又，所以，所以，由，，可得，，所以的单调递增区间，．故选：D2．（多选）（25-26高一上·安徽黄山·期末）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．C．取得最小值时，D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称【答案】AC【详解】由图象得：，解得，故A正确；由，，得，又由图象知，将点 代入中得： ，即 ，解得 ，又因为 ，所以 ，故选项 B 错误；因为函数 ，令 ，即 ，解得 ，故选项 C 正确；将图象向左平移 个单位，得 ，，图象不关于原点对称，故选项 D 错误.故选：AC3．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数部分图象如图所示，则（    ）A．B．点是图象的一个对称中心C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到D．若，则或【答案】ABD【详解】由图知，，即，解得，所以，将代入得，所以，解得又，所以，故A正确；由上知，所以，所以点是图象的一个对称中心，故B正确；将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到图象的函数解析式为，与的解析式不同，所以C错误；由得，所以或，解得或，故D正确.4.（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（   ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由图可知函数的最小正周期满足，所以最小正周期，故.将最低点代入可得，即，所以，可得.又，所以，所以，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，由三角函数图象伸缩变换的规律可知．故选：D.5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．在区间恰有一个零点D．将图象向左移个单位后关于轴对称【答案】ACD【详解】因为，又，所以，故B错误；因为，由图可知，，所以，故A正确；所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确；将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.6．（25-26高一下·全国·月考）已知函数在一个周期内的图象如图．(1)求的解析式(2)若函数与的图象关于直线对称，求的解析式．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）由图象知，的最大值为2，最小值为，，最小正周期，，故，此时，图象过点，，故，，所求的函数解析式为．（2）与的图象关于直线对称，的图象是由沿轴平移得到的，找出上的点关于直线的对称点，代入得，，，，，的解析式为．7．（24-25高一下·四川资阳·月考）函数（，）的部分图象如图所示，(1)求函数的解析式;(2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由函数的图象，得，的最小正周期，由，得，由，得，而，则，所以函数的解析式为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得，由，得，则，，所以不等式的解集为.题型十五：已知三角函数值求角 已知三角函数值求角的一般步骤：⑴确定所求角的范围；⑵关键已知的三角函数值，结合三角函数的图像求出对应的锐角（参考角或主值角）；⑶结合所求角的范围和三角函数的周期性、奇偶性、象限特征等确定满足条件的角.易错之处在于忽略周期性和象限特征，导致求出的角不完整或错误．1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则的值为（   ）A． B． C．或 D．或【答案】B【详解】由，得，而，因此，解得，所以.2.（25-26高一上·四川成都·期末）设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，得；反之，由，则或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．（25-26高三上·甘肃白银·月考）若，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，而，所以.故选：B4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）若，且，则x等于（    ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【详解】所对锐角，由，得是第三或第四象限角，而，所以或.故选：A5．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）若，则等于（   ）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由，根据正弦曲线可得或所以或．因为，所以或．故选：AC6．（25-26高三上·上海·期末）方程的解集为__________．【答案】【详解】由，化简得，根据正弦函数的性质，时，（）或（），即（）或（），因为，所以，当时，或；当时，或；当时，（超出范围，舍去），同理时也超出范围，故舍去.题型十六：函数性质的综合应用 探究函数或的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令)，将看作一个整体，结合，的性质求解．1．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以，，而令，解得，结合，可得，由正弦函数的性质得的最大值为2，令，得到，则在上取得的第一个最大值的横坐标为，而取得的第二个最大值的横坐标为，可得，解得，综上所述，得到，即，故D正确.故选：D2．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，．要存在使得，只需．该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即．因此的取值范围是．故选：B.3．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵满足，∴，即，而，∵在上单调，∴，即，而，且，解得，即，当时，，当时，，故当时，ω最大，最大值为.4．（多选）（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数的最大值为3，且的一个零点为，则（       ）A． B．C． D．在上的值域为【答案】ABC【详解】对于A，由的最大值为3，得，则，A正确；对于B，由的一个零点为，得，又，则，B正确；对于C，由B知，，直线为图象的一条对称轴，则，C正确；对于D，当时，，当时，的值域为，当时，则的值域为，D错误.故选：ABC5．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知曲线，则（    ）A．关于直线对称 B．关于点对称C．在区间上单调递增 D．与曲线重合【答案】ABD【详解】对于A，当时，，所以曲线关于直线对称，故A正确；对于B，当时，，所以曲线关于点对称，故B正确；对于C，令，，得，所以曲线的增区间为，所以曲线在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，因为曲线，所以曲线与曲线重合，故D正确.故选：ABD.一、单选题1．（25-26高一上·山西忻州·期末）“”是“函数的最小正周期为”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数的最小正周期为，则，解得，所以“”时，可得“函数的最小正周期为”，“函数的最小正周期为”，不能推出“”.所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.故选：A.2．（25-26高一上·安徽宣城·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，因为的最小正周期为，又当时，，由正弦函数的性质知在区间上不单调，故A错误，对于B，因为的最小正周期为，又当时，，由余弦函数的性质知在区间上单调递增，故B错误，对于C，的图象如图所示，由图可知的最小正周期为，且在区间上单调递减，所以C正确，    对于D，令，因为，所以是的一个周期，故最小正周期不是，所以D错误，故选：C.3．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最小正周期为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知画出函数图像如图所示，由图可知最小正周期为．4．（25-26高一下·全国·月考）函数的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】．，．故选：B.5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是偶函数，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数是偶函数，则，所以，又因为，故，故选：D.6．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ）A． B．1 C． D．4【答案】B【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，又因为函数在区间上单调递减，所以函数在处取得最大值，所以,所以,解得，解得.又因为.故选：B.7．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由条件，因为，则，又在上单调递增，于是，则，解得.故选：A.8．（2026·福建泉州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称【答案】D【详解】观察图象，得，则，而，解得，，由，得，解得，令函数的最小正周期为，由，得，因此，，对于A，当时，，而当，即时，函数取到最小值，A错误；对于B，，而当时，函数取到最小值，B错误；对于C，是奇函数，图象关于原点对称，C错误；对于D，是奇函数，图象关于原点对称，D正确.故选：D2、 多选题9．（25-26高一上·四川泸州·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】A：函数周期为，在上，单调递减，故A满足题意；B：函数周期为，故B不满足题意；C：函数周期为，由，，，所以函数单调递减区间为，.所以函数在上单调递减，故C满足题意；D：函数的周期为，且，由，，.所以函数 单调递减区间为，.所以函数在上单调递减.故D满足题意.故选：ACD10．（2025·河南新乡·三模）已知函数，则（    ）A．的值域是 B．C．在区间上单调递增 D．是奇函数【答案】ABD【详解】对于A，因为的值域为，所以的值域为，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，当时，，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上不单调，故C错误；对于D，，为奇函数，故D正确.故选：ABD.11．（25-26高一上·安徽合肥·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上的值域为D．若在时有且只有一个最小值点，则的范围为【答案】AC【详解】由图象可知，所以，则，因为图象过，所以，,又因为，所以，函数表达式为.对于选项A：显然，所以图象关于点对称，故A正确；对于选项B：令，得，所以的对称轴为，令，得，故B错误；对于选项C：，在时，，所以在时取到最小值，在时取到最大值，所以，故C正确．对于选项D：当时，，因为在上有且只有一个最小值点，则，所以且，即，故D错误．故选：AC3、 填空题12．（25-26高一下·全国·课后作业）把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________．【答案】【详解】把函数的图象向右平移个单位，则得到的图象，即解析式为，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即函数的解析式为：，13．（25-26高三上·上海·期末）若直线是函数的一条对称轴，则__________．【答案】【详解】因为，所以的最大值为，最小值为.又直线是函数的一条对称轴，所以在时取得最值，即.14．（25-26高一上·甘肃天水·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围为________.【答案】【详解】由，得，又因为函数在上单调递增，由余弦函数的性质可知，在上单调递增，则，解得.因为，所以的取值范围为.4、 解答题15．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数．(1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x 0 0    (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标．【答案】(1)表格见解析，函数图象见解析(2)的单调递增区间为，对称中心的坐标为【详解】（1） 0 x 0 1 0 0  （2）易知令，解得，所以的单调递增区间为令，解得，所以对称中心的坐标为16．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数，最小正周期是．(1)求函数在的单调递减区间；(2)解不等式【答案】(1)和；(2)【详解】（1）因为，最小正周期是，所以，即，所以，所以函数的单调递减区间为解得，当时；当时，又因为，所以函数在的单调递减区间为和.（2）因为,所以,即,所以,由正弦函数的图像可知,解得,因此不等式的解集为17．（25-26高一上·福建莆田·期末）设函数.(1)求的最小正周期和对称中心；(2)求的单调递减区间.(3)求函数在上的值域【答案】(1)，函数的对称中心为；(2)(3)【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期是，令，解得，所以函数的对称中心为；（2）由，解得，所以函数的单调递减区间为.（3）因为，所以，令，则，此时，根据正弦函数的单调性可得，在上单调递增，在上单调递减，所以当时， 有最小值，且为，此时，当时，有最大值，且为1，此时，所以在的值域为.18．（25-26高一下·山西临汾·开学考试）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求关于的方程在上所有的实数根之和；(3)当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）由图可得最大值为，，则，，令，则有，解得，又，故，即；（2）令，则，当时，，由，则，则有四个不同的根，设这四个根从小到大分别为，由有对称轴与，则，，即有，，故实数根之和为；（3）当时，，则，故，其中及有且仅有一根，有且有两个不同的根，令，则，则或，若，即时，有且仅有一根，则需要有两根，则，解得.学科网（北京）股份有限公司$专题02 三角函数的图象和性质考点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．考点二：三角函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无考点三：正弦型函数的性质（1）最小正周期：.（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值（4）单调性（5） 奇偶性函数是奇函数；函数是偶函数；（6）对称轴与对称中心.正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.考点四：函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.题型一：三角函数的定义域问题 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解。解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的定义域为_____________．2．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为______．3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域(1)；(2)；(3)；(4)．题型二：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的值域（最值）问题 三角函数的值域求法（1）一次型：形如，结合的范围和一次函数的单调性求解。（2）二次型：形如，可利用换元思想，设，转化为二次函数求最值，的范围需要根据定义域来确定．（3）分式型：形如（不同时为），可通过分离常数法进行变形，变形为，再结合三角函数有界性求值域．⑷型：①若，则值域为；②若，求值域的步骤为：的范围的范围的范围值域⑴求值域时注意三角函数和的有界性．⑵求的值域时，由的范围得到的范围时，注意结合正弦函数的图像求解，不能带端点.1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （     ）A． B． C．0 D．2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ）A．1 B． C．2 D．33．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数，当_____________时，y有最大值等于_____________.4．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的定义域是_____________，值域是_____________．5．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）函数在区间上的最大值为__________．6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数，则的最小值等于_____________，当函数取得最小值时，此时x的取值集合为_____________．且的单调增区间为_____________，在区间上的单调减区间是_____________．7．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)求函数的值域．题型三：已知函数的值域（最值）求参数 （1）一次型：已知函数的值域，需利用的有界性和的正负求解；（2）型：根据x的定义域确定的取值范围，结合已知最值列关于参数的方程然后求解.1．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）若函数的最大值是4，最小值是，则（ ）A． B．1 C．2 D．32．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间内既有最大值又有最小值，则的值不可能为（    ）A．1 B． C．2 D．3．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ）A． B． C． D．5．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）A．2024 B．2025 C．2026 D．20276．（多选）（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在区间有且只有一个最大值点，则的取值可以是（       ）A． B． C． D．题型四：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的周期性 函数和（是常数，），周期T＝；函数的周期为.是周期函数，不是周期函数；和都是周期函数；是周期函数，不是周期函数1．（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的最小正周期为（   ）A． B． C． D．2．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·河南三门峡·期末）与函数的周期相同的是（   ）A． B． C． D．4．（2026高三·北京·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ）A． B．C． D．5．（多选）（25-26高一上·河南洛阳·期末）下列函数中，最小正周期为的是（   ）A． B． C． D．6．（2026·河南南阳·模拟预测）设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为__________．题型五：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的单调性 求的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．余弦和正切类似处理.求的单调区间时，注意要先把ω化为正数．1．（25-26高一上·陕西西安·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ）A． B． C． D．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列函数中，在上为减函数的是（   ）A． B．C． D．3．（25-26高一上·山东淄博·期末）函数的单调递增区间是（    ）A．， B．，C．， D．，4．（25-26高一上·江苏常州·月考）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ）A． B． C． D．5．（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ）A． B． C． D．6．（25-26高一上·云南楚雄·期末）下列区间中，函数是单调递增的是（    ）A． B． C． D．7．（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ）A． B．C． D．8．（25-26高一上·山东淄博·月考）函数的单调递增区间为_____.题型六：已知函数的单调性求参数 已知函数的单调性求参数的范围一般采用子集法，步骤为：①将给定区间映射到内层函数：若，则；②要求该区间是基本单调区间的子集，列不等式组：（增函数）。注意的符号，若，需调整不等号的方向．1．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．2．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ）A． B．C． D．4．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ）A． B．2 C． D．5．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ）A． B．1 C． D．46．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为_____.7．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______．8．（25-26高三上·河南·期末）若函数在上单调递增，则______.题型七：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．2、函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数；研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）函数的图象大致为（   ）A． B．C． D．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）设函数，则是（   ）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数3．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ）A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数4．（多选）（25-26高一上·山西太原·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ）A． B．C． D．5．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ）A．的最小正周期为1 B．是偶函数C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增题型八：已知函数的奇偶性求参数 已知函数的奇偶性求参数的方法(1)使用恒等式法：奇函数，偶函数．(2)特殊值法：奇函数，或；偶函数.⑶熟记和的奇偶性的性质：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数；部分题目会限定参数的范围，如，此时需在通解中筛选符合条件的具体值．1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）若函数为奇函数，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．32．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ）A． B． C． D．3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（   ）A． B． C． D．4．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（   ）A．1 B．-2 C．-1 D．25．（25-26高三上·湖北·期末）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（    ）A． B． C． D．6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ）A． B． C． D．题型九：sinx(型）、cosx(型）、tanx(型）函数的对称性 对于函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的一条对称轴是（   ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线2．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ）A． B． C． D．3．（25-26高一下·全国·单元测试）若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ）A． B． C． D．4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）函数的一个对称中心是（   ）A． B． C． D．5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）函数距离轴最近的对称中心为__________．6．（2026·湖南长沙·三模）函数的一个对称中心为___________．题型十：已知函数的对称中心或对称轴求参数 解题策略：方法一：代入对称条件：若已知对称轴，则令（正弦型）或（余弦型），解出参数关系。方法二：赋值法：选取特定值（通常或），结合参数范围快速锁定解.方法三：数形结合：画出函数的草图，标出对称轴位置，辅助理解参数影响．注意参数范围限制，如，等隐含条件，避免多解或无效解．1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（）A． B． C． D．2．（25-26高三上·广东深圳·期末）若是函数的图象的一条对称轴，则的最小值为（    ）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河南驻马店·期末）“，”是“函数关于直线对称”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．26．（26-27高二上·云南·期末）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ）A． B． C． D．7．（25-26高一上·福建厦门·期末）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ）A． B． C． D．8．（多选）（25-26高一上·广东东莞·期末）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（    ）A． B． C． D．9．（河南驻马店市第二高级中学等校2025-2026学年高三下学期开考试学数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______．题型十一：五点作图法画函数的图像 “五点法”作函数的图象的步骤：①列表.令，依次得出相应的值；②描点；③连线得函数在一个周期内的图象；④左右平移得到的图象.⑴五点的选取核心是让取特殊角，而非直接让取这些值；⑵作图时坐标刻度要均匀，关键点的位置要准确.1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数在区间上的简图是（    ）A． B．C． D．2．（25-26高一上·山东德州·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ）A．3 B．4 C．6 D．83．（25-26高一下·全国·课堂例题）作函数在上的图象.4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数． 0 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象；(2)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到.5．（25-26高一上·福建泉州·期末）已知函数.(1)用“五点法”填写下面表格，并画出在区间上的简图；(2)若，求的值域. 0 0 1 0 -1 06．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知函数.(1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像；(2)求出函数的对称轴､对称中心：(3)当时，求曲线与的交点个数.（请直接写出答案）题型十二：函数的图像的应用 角度1：利用函数的图像解不等式用三角函数图象解三角不等式的步骤：①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解角度2：利用函数的图像解决函数的零点个数问题解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决。注意画图要准确．1．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知，不等式的解集为（   ）A． B． C． D．2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ）A． B． C． D．3．（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数，使成立的x的取值集合是（   ）A． B．C． D．4．（25-26高一下·全国·课后作业）若方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．5．（25-26高一上·江苏·期末）函数的零点个数为（   ）A．4 B．1 C．2 D．36．（25-26高一上·湖北黄冈·月考）方程的实数解的个数是（    ）A． B． C． D．7．（25-26高三上·云南保山·期末）已知函数在区间上有一个极值点和两个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．题型十三：函数图像变换 1.探索对函数的图像的影响函数 的图象可以看作是把正弦曲线 上的所有点向左（当 时）或向右 （当 时）平移 个单位长度而得到的（可简记为＂左加右减＂）．2.探索对函数的图像的影响一般地，函数 ，且 的周期是 ，把 图象上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图像.3.探索对函数的图象的影响一般地，函数 ，且 的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到⑴左右平移是对 本身而言的，如果 前面有系数，那么应提取系数，然后进行左右平移．⑵伸缩变换推广到一般：函数的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标缩短 （当 时）或伸长（当时） 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到。1．（25-26高一上·安徽六安·期末）为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变2．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ）A． B．C． D．3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ）A． B．C． D．4．（25-26高一下·湖南岳阳·开学考试）为了得到函数的图象，只需将的图象（   ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度5．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ）A． B． C． D．6．（25-26高三下·河南·开学考试）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ）A． B． C． D．7．（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位题型十四：由图像确定的解析式 已知函数（)的图象，确定其解析式的步骤：(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，；(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；(3)求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间．如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解在确定时，为避免多解，通常代入最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必注意零点所在的单调区间，如果忽视其所在的单调区间，直接根据公式求，则容易错选．1．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）A．， B．，C．， D．，2．（多选）（25-26高一上·安徽黄山·期末）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．C．取得最小值时，D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称3．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数部分图象如图所示，则（    ）A．B．点是图象的一个对称中心C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到D．若，则或4.（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（   ）A． B．C． D．5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．在区间恰有一个零点D．将图象向左移个单位后关于轴对称6．（25-26高一下·全国·月考）已知函数在一个周期内的图象如图．(1)求的解析式(2)若函数与的图象关于直线对称，求的解析式．7．（24-25高一下·四川资阳·月考）函数（，）的部分图象如图所示，(1)求函数的解析式;(2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集.题型十五：已知三角函数值求角 已知三角函数值求角的一般步骤：⑴确定所求角的范围；⑵关键已知的三角函数值，结合三角函数的图像求出对应的锐角（参考角或主值角）；⑶结合所求角的范围和三角函数的周期性、奇偶性、象限特征等确定满足条件的角.易错之处在于忽略周期性和象限特征，导致求出的角不完整或错误．1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则的值为（   ）A． B． C．或 D．或2.（25-26高一上·四川成都·期末）设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（25-26高三上·甘肃白银·月考）若，则（   ）A． B． C． D．4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）若，且，则x等于（    ）A．或 B．或 C．或 D．或5．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）若，则等于（   ）A． B． C． D．6．（25-26高三上·上海·期末）方程的解集为__________．题型十六：函数性质的综合应用 探究函数或的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令)，将看作一个整体，结合，的性质求解．1．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ）A． B． C． D．2．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．3．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ）A． B． C． D．4．（多选）（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数的最大值为3，且的一个零点为，则（       ）A． B．C． D．在上的值域为5．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知曲线，则（    ）A．关于直线对称 B．关于点对称C．在区间上单调递增 D．与曲线重合一、单选题1．（25-26高一上·山西忻州·期末）“”是“函数的最小正周期为”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（25-26高一上·安徽宣城·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）A． B． C． D．3．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最小正周期为（   ）A． B． C． D．4．（25-26高一下·全国·月考）函数的最小值为（   ）A． B． C． D．5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是偶函数，则的值为（    ）A． B． C． D．6．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ）A． B．1 C． D．47．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．（2026·福建泉州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称2、 多选题9．（25-26高一上·四川泸州·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ）A． B． C． D．10．（2025·河南新乡·三模）已知函数，则（    ）A．的值域是 B．C．在区间上单调递增 D．是奇函数11．（25-26高一上·安徽合肥·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上的值域为D．若在时有且只有一个最小值点，则的范围为3、 填空题12．（25-26高一下·全国·课后作业）把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________．13．（25-26高三上·上海·期末）若直线是函数的一条对称轴，则__________．14．（25-26高一上·甘肃天水·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围为________.4、 解答题15．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数．(1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x 0 0    (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标．16．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数，最小正周期是．(1)求函数在的单调递减区间；(2)解不等式17．（25-26高一上·福建莆田·期末）设函数.(1)求的最小正周期和对称中心；(2)求的单调递减区间.(3)求函数在上的值域18．（25-26高一下·山西临汾·开学考试）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求关于的方程在上所有的实数根之和；(3)当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围．学科网（北京）股份有限公司$