"本讲义聚焦“两角和与差的正切”核心知识点，承接两角和差的正弦、余弦公式，通过公式推导、定义域限制分析及角的变换技巧（如α=(α+β)-β），构建从公式理解到应用的学习支架。\n资料以“即学即练-典例精析-变式巩固”分层设计，突出公式逆用（如“1=tan45°”代换）、角的拆分等思维训练，如特殊角正切求解、折叠矩形面积问题，培养数学思维的推理与运算能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用意识。"

第十章 三角恒等变换10.1.3 两角和与差的正切知识点一 两角和与差的正切两角和的正切：tan(α＋β)＝．两角差的正切：tan(α－β)＝即学即练（25-26高一上（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，求的值；（2）．【答案】（1）；（2）【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）根据题意，利用两角和与差的余弦公式，列出方程组，求得，的值，结合三角函数的基本关系式，即可求解；（2）根据两角和的正切公式，求得，代入计算，即可求解.【详解】解：（1）因为，可得，解得，，则．（2）由，可得，所以. 题型01 求和、差角的正切 此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．（1）公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．(2)特殊情况：当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．例如化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能利用公式Tα－β，所以改用诱导公式来解．tan(－β)＝＝．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知，均为锐角，且，求的值．【答案】【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算【分析】先借助于题设化弦为切，求得，再将利用和的正切公式展开，将前式代入化简计算即得.【详解】因为,所以．变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、正、余弦齐次式的计算【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（   ）cmA． B． C． D．【答案】C【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用【分析】由题意作图，根据对称以及矩形的性质，结合正弦函数的和差公式，利用基本不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由矩形的周长为，且，则，，设，则，易知，，则，在中，，所以面积，当且仅当，等号成立，故的面积最大值为，此时.故选：C.题型02 求15°等特殊角的正切 给角求值问题的策略：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值．典｜例｜精｜析（21-22高一下·陕西咸阳·月考）______．【答案】/【知识点】求15°等特殊角的正切、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值【分析】将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得.【详解】.故答案为：. 变｜式｜巩｜固1．（23-24高一下·四川内江·月考）（    ）．A． B． C． D．【答案】D【知识点】求15°等特殊角的正切【分析】由，利用两角差的正切公式计算可得.【详解】.故选：D2.（24-25高二下·云南红河·期中）（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正切【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算.【详解】.所以.故选：D.题型03 用和、差角的正切公式化简、求值 (1)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如tan(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．(2)角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β)－β，2β＝(α＋β)－(α－β)．不能灵活进行角的变换导致错误.典｜例｜精｜析（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，其中，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值；（2）求出、的值，利用两角差的正切公式求出、的值，代入可得的值.【详解】（1）因为，，则，，因为，，所以，，，所以，.（2）因为，，所以，，因此.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）在平面直角坐标系中，角是第二象限角且终边与单位圆交于点.(1)分别求的值；(2)若角且满足，求函数的对称中心.【答案】(1)；(2).【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求正切（型）函数的对称中心、由终边或终边上的点求三角函数值【分析】（1）根据单位圆特点解出，再利用三角函数定义即可得到答案；（2）利用两角差的正切公式即可求出的大小，再利用正切函数对称性即可得到答案.【详解】（1）由题意得，且，解得，则.（2），又因为，则，则，令，解得，则其对称中心为2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求(1)的值；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）先利用三角函数的基本关系式，求得的值，得到的值，再根据，结合两角差的正切公式，即可求解；（2）根据题意，由，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，且，所以，可得，所以，又因为，可得.（2）解：由（1）知，且，可得.题型04 逆用和、差角的正切公式化简、求值 1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值【详解】（1）解：由两角和的正切公式，可得.（2）解：由，可得，所以．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则________.【答案】【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可.【详解】.故答案为：2.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为锐角三角形的内角，求证：．【答案】证明见解析【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】由三角形的内角和定理，得到，结合两角和的正切公式，进行化简，即可得证.【详解】在中，可得，所以，可得，又由，所以，可得，所以．题型05 两角和与差的三角函数公式的应用 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等．变换角的结构形式不当导致错误.典｜例｜精｜析（24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2.(1)求的最小值；(2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由；【答案】(1)(2)是定值，定值为【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦【分析】（1）设，得出，求三角函数的值域即可求出的最小值；（2）设，，利用表示的周长即可化简得出，再利用两角和差的正切公式求出即可.【详解】（1）设，则，，因的周长为，则，所以，又，得，得，当，即时，取得最小值，且的最小值；（2）设，，，则，，则，，，因的周长为，故，即，得，，又，，则，故，故，为定值；变｜式｜巩｜固1．（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解．【详解】由已知得，则，所以，故选：D．2.（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为（   ）A． B．2 C． D．【答案】A【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值【分析】由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可.【详解】由可得：，即，所以，因为，所以，所以，所以等式两边同时除以，所以，即，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故选：A.题型06 应用和差角正切公式求角 注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．由于角的范围过大致误典｜例｜精｜析（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）利用韦达定理先计算出，再由正切和角公式计算出的值；（2）分析 的范围，得到的范围，结合求解出的值.【详解】（1）因为，是方程的两根，所以；由正切和角公式：.（2）因为，，所以.又因为，所以.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且．（1）则的值为______；（2）则的值为______．【答案】 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）根据两角和的正切公式求解即可.（2）根据两角和的正切公式结合特殊角的正切值求解即可.【详解】（1）.（2）．因为，所以．因为，所以．所以．而，所以．所以．所以．故答案为：；.2.（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，， ，若，求的值．（2）已知，是方程的两根，且，，求．【答案】（1）；（2）【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】（1）利用角的变换：，然后由正弦公式展开后求得，再根据角的范围得结论；（2）利用韦达定理求得，并确定角的范围后得结论.【详解】（1）由，得，则，整理得，由，，得，，则，即，所以，又，，所以，则．（2）因为，是方程的两根，所以，，所以，，又，，所以，，所以．又，所以． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$第十章 三角恒等变换10.1.3 两角和与差的正切知识点一 两角和与差的正切两角和的正切：tan(α＋β)＝．两角差的正切：tan(α－β)＝即学即练（25-26高一上（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，求的值；（2）． 题型01 求和、差角的正切 此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．（1）公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．(2)特殊情况：当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．例如化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能利用公式Tα－β，所以改用诱导公式来解．tan(－β)＝＝．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知，均为锐角，且，求的值．变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ）A． B． C． D．2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（   ）cmA． B． C． D．题型02 求15°等特殊角的正切 给角求值问题的策略：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值．典｜例｜精｜析（21-22高一下·陕西咸阳·月考）______． 变｜式｜巩｜固1．（23-24高一下·四川内江·月考）（    ）．A． B． C． D．2.（24-25高二下·云南红河·期中）（   ）A． B． C． D．题型03 用和、差角的正切公式化简、求值 (1)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如tan(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．(2)角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β)－β，2β＝(α＋β)－(α－β)．不能灵活进行角的变换导致错误.典｜例｜精｜析（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，其中，.(1)求；(2)求.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）在平面直角坐标系中，角是第二象限角且终边与单位圆交于点.(1)分别求的值；(2)若角且满足，求函数的对称中心.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求(1)的值；(2)．题型04 逆用和、差角的正切公式化简、求值 1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）化简：(1)；(2)．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则________.2.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为锐角三角形的内角，求证：．题型05 两角和与差的三角函数公式的应用 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等．变换角的结构形式不当导致错误.典｜例｜精｜析（24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2.(1)求的最小值；(2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由；变｜式｜巩｜固1．（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ）A． B． C．2 D．2.（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为（   ）A． B．2 C． D．题型06 应用和差角正切公式求角 注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．由于角的范围过大致误典｜例｜精｜析（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，.(1)求的值；(2)求的值.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且．（1）则的值为______；（2）则的值为______．2.（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，， ，若，求的值．（2）已知，是方程的两根，且，，求． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$