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2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章。第一部分（选择题 共40分）1、 选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ）A． B．C． D．2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ）①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差；③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数；A．①② B．③④ C．①③ D．①④3．已知随机变量，且，则的值为（　　）A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.354．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ）A．8 B．4 C．2 D．15．在等差数列中，，则（   ）A． B． C． D．6．已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（   ）A． B． C． D．7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ）A． B． C．或 D．或8．已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ）A． B． C． D．10．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（    ）A．可能为等差数列 B．中最大的项为C．存在最大值 D．的最小值为36第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．假设，且与相互独立，则__________．12．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.413．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________．14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则___________；数列所有项的和为___________．15．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有 ①．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列②．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）③．若数列满足，则数列是有限稳定数列④．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（12分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．17．（14分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.18．（14分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．19．（15分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 20．（15分）已知数列的前项和，等差数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列前项和为，求的最大值.21．（15分）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列．(1)若数列是“”数列，求的值；(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；(3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章。第一部分（选择题 共40分）1、 选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，，可知D错误，当时，，可得A、C错误，经检验B满足数列的通项公式.2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ）①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差；③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数；A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】D【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；故选：D.3．已知随机变量，且，则的值为（　　）A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35【答案】B【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值.【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为，所以，即，故选：B4．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】由等比数列的前项和的性质可得.【详解】由题意可知，是等比数列，则，即，故.故选：A5．在等差数列中，，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可.【详解】因为数列为等差数列，则，所以.6．已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算.【详解】记“第一次取红球”，“第二次取黑球”，则，，所以第二次取出的是黑球的概率.故选：D7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】因为为，的等差中项，所以，即，显然，所以，解得或．8．已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取反例判断充分性，就、、分类讨论必要性即可得两者之间的条件关系.【详解】充分性：不妨取，所以可得,因此，即“，”成立；此时其前n项和为,因为恒成立，所以,，即“，”不成立，综上可知，充分性不成立；必要性：假设“，”成立；当时，易知，故“，”成立；当时，可知，又因为，所以异号，若，可知时，则，因此“，”成立；若，由可得，即“，”成立；当时，，因为，数列成摆动规律，若“，”成立；可得，即,当为偶数时，可知同号，若满足题意，可得，所以，此时“，”成立；当为奇数时，可知异号，若满足题意，可得，若时，可得，此时必有满足题意，若，则，若，，则必有，若，则随着的增大而趋向于无穷大，最终必有存在，综上可知，必要性成立；综上可得，“，”是“，”的必要不充分条件.9．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可.【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种；第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种；故甲被派去服务站的方法数共种；再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种；故概率为.10．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（    ）A．可能为等差数列 B．中最大的项为C．存在最大值 D．的最小值为36【答案】D【分析】对 A，找出其与题目条件的矛盾；对BC，举反例数列可得；对D，分别列举与（即）成立时的数列，求出最小值即可.【详解】对A，若为等差数列，设公差为，当时，对任意的，与均成立；当时，对任意的，与均不成立，两种情况都不满足和中有且仅有一个成立，故A错；对B，给定数列，可知对任意的，满足和中有且仅有一个成立，中最大的项为，不为，故B错；对C，给定数列，假设，则，与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故；假设，则，也与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故；当且时，数列各项满足题意，因此，在给定数列中，可取任意大的正整数，故无最大值，故C错；对D，由题意与中有且仅有一个成立，①若，则，设，则 ，则，设，则，则，设，则，则，故.即数列.故，由题意均为正整数，因此，若，则当且仅当时，即数列，取最小值；②若，则，设，则，则，设，则，则，设，则，则，，由，故，即，即数列.故，由题意均为正整数，因此，若，则当且仅当时，即数列，取最小值；综合①②比较可知，的最小值为, D正确.故选：D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．假设，且与相互独立，则__________．【答案】0.7/【分析】根据条件结合独立事件定义求，利用和事件的概率公式即可求出结论.【详解】因为与相互独立，所以，所以，故答案为：0.712．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4【答案】 /【详解】由，解得，，．13．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________．【答案】【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比.【详解】设公比为，由题意得，即，所以，故，又，解得.14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则___________；数列所有项的和为___________．【答案】 48 384【分析】首先利用后7项等比数列中和的关系求出公比和首项，再结合前3项等差数列的性质求出，进而求出，最后分别计算前两项的和与后7项等比数列的和即可.【详解】数列的后7项成等比数列，设公比为,则，因为数列从小到大排列，故，得.于是.由，得.由数列前3项成等差数列，，，得.后7项是首项为、公比为的等比数列，共7项，则后7项的和为因此数列所有项的和为.故答案为：①；②15．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有 ①．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列②．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）③．若数列满足，则数列是有限稳定数列④．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列【答案】①④【分析】对①，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对②，找出该等比数列公比为1时，也满足有限稳定数列条件，排除即可；对③，取，计算该数列是否是有限稳定数列；对④，数列是有限稳定数列，则有界，根据证明即可.【详解】对①，设，则相邻两项差的绝对值，设，则，故该数列是有限稳定数列，①对；对②，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列，因此公比的取值范围应为，故②错；对③，取，满足，但相邻两项差绝对值和，随n增大趋向于无穷大，无界，因此该数列不是有限稳定数列，③错；对④， 若数列是有限稳定数列，有界，进而有界，而，所以有界，即数列是有限稳定数列，④对.故选：①④三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（12分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率.【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为.（2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.（3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.17．（14分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用等差、等比数列的通项公式将数据代入，联立方程组即可求出答案；（2）利用分组求和法即可求出答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，解得或（舍去），所以，；（2）.18．（14分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．【答案】(1).(2)分布列见解析；期望为.【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的频率即可.（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．在200人中对饭菜质量满意的有130人，.（2）分层抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2        -                                  -                                - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望.19．（15分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,当选①②时:,解得,所以的通项公式.选①③时:,解得,所以的通项公式.选②③时:,解得,所以的通项公式.（2）由(1)知,,所以,所以.20．（15分）已知数列的前项和，等差数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列前项和为，求的最大值.【答案】(1)；. (2)544【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得，结合等差数列通项公式基本量运算可得，即可得；（2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而利用二次函数性质分析最值.【详解】（1）因为，所以当时，，两式作差得，，即，当时，，得，则由以上递推关系可知，故，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；设等差数列的公差为，因为，，所以，所以.（2）由（1）可知：，则，当或时，取到最大值为．21．（15分）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列．(1)若数列是“”数列，求的值；(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；(3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1 (2) (3)存在，．【分析】（1）根据可直接得到结果；（2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得；（3）根据题意，得，利用换元转化为方程的问题即可求得结果.【详解】（1）数列是“”数列，．（2）正项数列是“”数列，，，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，，当时，，当时，不满足，（3）由“”数列定义知：，则，，，，令，故在有解，当时，不符合；当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解；当时，对称轴，所以在上无解，即实数的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司$■■■■■■2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用n0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答好题；字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出巢区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题4分，共40分）1[A][B][C[D]5[A][B][C[D]9[A][B][CD]2[A[B][C[D]6[AB][C][D]10[A]B][C][D]3[A][B][C][D]7[A]B][C]D]双闻4[A]B][C][D]8 [A][B][C][D]二、填空题（每小题5分，共25分）12131415三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(12分)器请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(14分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(14分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]9 [A] [B] [C] [D]10[A] [B] [C] [D]二、填空题（每小题5分，共25分）11．__________ 12．_________ _________ 13．_________ 14．________ _________ 15. ___________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（14分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B A C D C B A D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11. 0.7/ 12． / 13． 14． 48 384 15①④三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（12分）【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为.（4分）（2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.（8分）（3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.（12分）17．（14分）【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，解得或（舍去），所以，；（6分）（2）.（14分）18．（14分）【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．在200人中对饭菜质量满意的有130人，.（4分）（2）分层抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2        -                                  -                                - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望.（14分）19．（15分）【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,当选①②时:,解得,所以的通项公式.选①③时:,解得,所以的通项公式.选②③时:,解得,所以的通项公式.（7分）（2）由(1)知,,所以,所以.（15分）20．（15分）【详解】（1）因为，所以当时，，两式作差得，，即，当时，，得，则由以上递推关系可知，故，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；设等差数列的公差为，因为，，所以，所以.（8分）（2）由（1）可知：，则，当或时，取到最大值为．（15分）21．（15分）【详解】（1）数列是“”数列，．（4分）（2）正项数列是“”数列，，，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，，当时，，当时，不满足，（9分）（3）由“”数列定义知：，则，，，，令，故在有解，当时，不符合；当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解；当时，对称轴，所以在上无解，即实数的取值范围为．（15分）1 / 2学科网（北京）股份有限公司$ (………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………) ( 此卷只装订不密封) (………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章。第一部分（选择题 共40分）1、 选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ）A． B．C． D．2．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ）①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差；③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数；A．①② B．③④ C．①③ D．①④3．已知随机变量，且，则的值为（　　）A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.354．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ）A．8 B．4 C．2 D．15．在等差数列中，，则（   ）A． B． C． D．6．已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（   ）A． B． C． D．7．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（    ）A． B． C．或 D．或8．已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ）A． B． C． D．10．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（    ）A．可能为等差数列 B．中最大的项为C．存在最大值 D．的最小值为36第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．假设，且与相互独立，则__________．12．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.413．记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________．14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则___________；数列所有项的和为___________．15．若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的有 ①．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列②．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）③．若数列满足，则数列是有限稳定数列④．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（12分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．17．（14分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.18．（14分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．19．（15分）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 20．（15分）已知数列的前项和，等差数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列前项和为，求的最大值.21．（15分）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列．(1)若数列是“”数列，求的值；(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；(3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$