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112025-2026学年高二数学第一次月考卷答题卡贴条形码区考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂选择题填涂样例：正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。注意事项姓 名：__________________________准考证号：第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________ 14．____________________第Ⅱ卷请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）16.（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17. （15分）18.（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二、三册，导数+排列组合。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D． 2．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ）A．2个 B．4个 C．1个 D．12个3．已知函数，则（   ）A．2 B．1 C． D．4．已知函数，则（   ）A．0 B．64 C．-64 D．1285．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ）A． B． C． D．6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ）A．2025 B．2024 C．1013 D．10127．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．8．设，且，，，则它们的大小关系为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下面正确的是（   ）A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法；C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法；D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法．10．已知函数，则（   ）A．是函数的极小值点B．对，方程恒有两个不同的实数解C．D．存在，使得直线与曲线相切11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ）A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8B．满足，且的排法种数为20C．满足的排法种数为48D．满足的排法种数为360第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________．13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____．14．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令，求证：16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段．(1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？(2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？(3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？17．（15分）已知函数，其中为正实数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：．18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）.(1)当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程；(2)当时：（i）证明：在上有两个极值点；（ii）设极小值点是，证明：.19．（17分）已知，直线与曲线和都相切．(1)求的值；(2)若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页）试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页）学科网（北京）股份有限公司$@学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷2025-2026学年高二数学第一次月考卷(考试时间：120分钟，分值：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.测试范围：人教A版（2019)选择性必修第二、三册，导数+排列组合。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.己知函数∫(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是()1A.3)f@<f0<f'3)B.f6<3),0≤f022C.f"3)s1"1)<f3)-fD.r0<f)f0f③)22.已知集合A={-3,-1,0,2},集合B={-4,3,5},从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有()A.2个B.4个C.1个D.12个3.已知函数f(x)=x3+3x-f'(0)sin2x,则f'(0)=()A.2B.1C.-1D.-24.已知函数f(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8),则f"(4)=()A.0B.64C.-64D.1285.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1,2,3，三个黑球的编号分别为4,5,6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一1/7@学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷个为黑球的概率为()2-5B.D.56.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+'(x)=2,f'(-1)=2,2025则∑f'(2i-1)=()11A.2025B.2024C.1013D.10127.已知函数f(x)=e,g(x)=aW(a≠0)，若函数y=f(x)的图象上存在点P(x,y),使得y=f(x)在点P(x,)处的切线与y=8(x)的图象也相切，则a的取值范围是()A.(0,1]B.(0,V2e]c.1,v2e]Dπ8.设a,b,c∈0,2,且a=cosa,b=sin(cosb),c=cos(sinc),则它们的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面正确的是()A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法：B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有5种不同的放法：C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法：D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法.10.已知函数f()-点，则()A.x=e是函数f(x)的极小值点B.对k≥3，方程∫(x)-k=0恒有两个不同的实数解C.n2>2nπD.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=f(x)相切11.把数2,4,6,8,10,12按任意顺序排一列，构成数列：a,42,4,44,a,4。,则()A.满足a1,4,4与42,4，a。分别成等差数列的排法种数为8B.满足4<4<4，且a,>a>4的排法种数为20C.满足4-42+4-4+4-a。=6的排法种数为48D.满足a2-1<a(i=1,2,3)的排法种数为360217@学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1l2.函数f(x)=sinx-x COSx+二ax2+2元.若f(x)>0在区间[0，+o)上恒成立，则整数a的最小值是213.已知不等式k(x+2)e<x+1恰有两个整数解，则实数k的取值范围为14.已知斜率为-1的直线与曲线y=e-x,(x>0),y=1-x-lnx分别相交于A(x,),B(x2,y2)两点，则2x+x2的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)己知函数f(x)=anx-x-1,a∈R,(I)讨论函数f(x)的单调性：+1+子求证：gW血x(2当a=1时，令g(x)=f四+x+1+1x-1317@学科网·学易金卷www zxxk.com做好卷，就用学易金卷16.(15分)如图，己知平面图形ABCDEFG的内部连有线段，EDGCB(1)由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有多少条？(2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C,任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？(3)由点A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有多少条？417@学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷.(15分)已知国激fe)=aG-左)-2lnx,其中a为正实数.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程：(2)当x≥1时，f(x)20.(i)求a的取值范围：(ii)当a取最小值时，若，n为正实数，且m+n=2m,证明：f(m)+f(n)≥0.517@学科网·学易金卷www.zxxk.com做好卷，就用学易金卷18.(17分)已知函数f(x)=(x-m)e-x2(e是自然对数的底数).(1)当n=1时，求函数f(x)的单调区间及曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程：(2)当n≥2(neN)时：()证明：f(x)在R上有两个极值点：(i)设极小值点是y,证明：6179学科网·学易金卷做好卷，就用学易金卷19.(17分)已知$$a ， k \in R ， f \left( x \right) = x \ln x ， g \left( x \right) = \left( x + a \right) e ^ { x } ，$$，直线y=k与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切.(1)求a，k的值；(2)若，$$f \left( x _ { 1 } \right) = f \left( x _ { 2 } \right) = g \left( x _ { 3 } \right) = g \left( x _ { 4 } \right) = b ，$$，其中$$x _ { 1 } \ne { x _ { 2 } } ， x _ { 3 } \ne { x _ { 4 } } .$$(i)求实数b的取值范围；(ii)求证：$$| \frac { 1 } { x _ { 1 } } - \frac { 1 } { x _ { 2 } } | > | \frac { 1 } { x _ { 1 } } - \frac { 1 } { x _ { 4 } } |$$7/72025-2026学年高二数学第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二、三册，导数+排列组合。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D． 2．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ）A．2个 B．4个 C．1个 D．12个3．已知函数，则（   ）A．2 B．1 C． D．4．已知函数，则（   ）A．0 B．64 C．-64 D．1285．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ）A． B． C． D．6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ）A．2025 B．2024 C．1013 D．10127．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．8．设，且，，，则它们的大小关系为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下面正确的是（   ）A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法；C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法；D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法．10．已知函数，则（   ）A．是函数的极小值点B．对，方程恒有两个不同的实数解C．D．存在，使得直线与曲线相切11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ）A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8B．满足，且的排法种数为20C．满足的排法种数为48D．满足的排法种数为360第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________．13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____．14．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令，求证：16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段．(1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？(2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？(3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？17．（15分）已知函数，其中为正实数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：．18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）.(1)当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程；(2)当时：（i）证明：在上有两个极值点；（ii）设极小值点是，证明：.19．（17分）已知，直线与曲线和都相切．(1)求的值；(2)若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：． 3 / 5学科网（北京）股份有限公司$2025-2026学年高二数学第一次月考卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B B C A B A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AB BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递减；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.......................6分（2）当时，，，不等式，当时，，令函数，求导得，函数在上单调递增，则，因此；当时，，函数，求导得，函数在上单调递增，则，因此，所以.......................13分16．（15分）【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次，则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．.....................4分（2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次，则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条，其中两次向上行走连续且最近的路线有7条．故所求路线有条．.......................9分（3）设H，K的位置如图所示，则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况：①，有条最近路线；②，有条最近路线；③，有条最近路线．故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．......................15分17．（15分）【详解】（1）当时，，．所以，又．所以所求的切线方程为，即．....................3分（2）（ⅰ），因为，设二次函数的判别式为，①当，即时，，所以在单调递增，所以，所以．②，即时，设的两个根为，，且，由韦达定理，可得，即，所以，所以在单调递减，在单调递增．所以当时，有，与不符合，舍去．综上所述，的取值范围为．.......................9分（ⅱ）由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增，且，即因为，为正实数，且，所以．不妨设，则，，所以，．又，所以，即．所以，所以．所以，即．.....................15分18．（17分）【详解】（1）当时，可得，.当时；当时，则在上恒成立，故的单调递增区间为无单调递减区间.因，曲线在处的切线方程为......................4分（2）（i），令，则，再令，则，由，故在上单调递减，在上单调递增.因为，，，当时，，所以存在使得.于是在上单调递减，在上单调递增.又因为，，所以在内存在唯一零点，即在内有唯一极值点且为极小值点.又因为，当时，，于是在内存在唯一零点，即在内有唯一极值点且为极大值点.综上， 在 上有一个极大值点 和一个极小值点 ，且........................11分（ii）由（i）知，，所以.........................17分19．（17分）【详解】（1）．设与的切点为，则，解得，所以．由与相切，同理得，所以．.......................5分（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点，由（1）知，，，在上单调递减，在上单调递增；，，在上单调递减，在上单调递增，又，且；，且，作出函数和的图象，由图象知的取值范围为．......................11分（ii）不妨设，由（i）知，，显然，且，所以，同理，．要证，只需证，只需证．又，只需证．令函数，则，所以函数在（0，1）上单调递增，由得，所以显然成立，综上，．.......................17分 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$■■■■2025-2026学年高二数学第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：注意事项1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清贴条形码区楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答好题；字体工整、笔迹清晰。粉3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题缺考无效。此栏考生禁填4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。标记5.正确填涂■一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][CD]5[A][B][C[D]2[A][B][C][D]6[A][B][C[D]3[A][B][C][D]7[A][B][C[D]4[A[B][C][D]8[A][B][C[D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分)9[A[B][C]D]10 [A][B][C][D]前11[A][B][C][D]三、填空题（每小题5分，共15分）的112.13.14.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第1页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(13分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第2页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16.(15分)EDCB请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第4页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.(17分)EMFAB请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第5页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学第6页（共6页）2025-2026学年高二数学第一次月考卷答题卡姓名：准考证号：贴条形码区注意事项■▣▣■。●■▣。。■m。■=-。■=▣。▣=。■=■=■▣■■。中■1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条考生禁填：缺考标记▣形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。违纪标记☐2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔以上标志由监考人员用2B铅笔填涂答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无选择题填涂样例：效：在草稿纸、试题卷上答题无效。正确填涂■4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。错误填涂1【W1【/1第I卷（请用2B铅笔填涂）一、选择题（每小题5分，共40分）1[A[B][C][D]5[A][B][C][D]2[A[B][C]D]6[A][B][C][D]3[A][B][CD]7[A][B][C][D]4[A[B][C[D]8[A][B][C[D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9[A][B][C][D]10[A]B][CI[D]11[A][B][C]D]三、填空题（每小题5分，共15分）12.13,14请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！三、（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(13分)16.(15分)ED分CB请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17.(15分)18.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19.(17分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷答题卡 准考证号：姓 名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分）1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D]三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________ 13．____________________14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19．（17分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）学科网（北京）股份有限公司$:2025-2026学年高二数学第一次月考卷:O(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意丰项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写::在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第二、三册，导数+排列组合。OO第一部分（选择题共58分）:一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数∫(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是().::A.f3)-f@<f四<f'(3)8.3)<3,0<r02:c.f"3)sf)<3)-fD.f<)-0<f(3)2拟:2.已知集合A={-3,-1,0,2},集合B={-4,3,5},从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一:个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有()A.2个B.4个C.1个D.12个::3.已知函数f(x)=x3+3x-f'(0)sin2x,则f'(0)=():A.2B.1c.-1D.-2K4.已知函数f(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8),则f'(4)=()A.0B.64C.-64D.1285.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个:白球的编号分别为1,2,3，三个黑球的编号分别为4,5,6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少试题第1页（共4页）.:.:©学科网·学易金卷做树装：限是鲁”有一个为黑球的概率为()1A.3c6.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f(2-x)+f"(x)=2,"(-1)=2,2025则∑f'(2i-1)=()A.2025B.2024C.1013D.10127.已知函数f(x)=e,g(x)=a√x(a≠0)，若函数y=f(x)的图象上存在点P(,%),使得y=f(x)在点P(x。,)处的切线与y=8(x)的图象也相切，则a的取值范围是()A.(0,1B.(0,V2e]c.(1,V2eD8.设a,b.c∈0,2)且a=cosa,b=sim(cosb),c=cos(simc),则它们的大小关系为（)A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面正确的是()A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法：B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法：C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法：D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法.10.已知函数/()-点，则()A.x=e是函数f(x)的极小值点B.对k≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同的实数解C.n2>2lnD.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=∫(x)相切11.把数2,4,6,8,10,12按任意顺序排一列，构成数列：4,42,4,44,4,46，则()A.满足a,4,4与4,44，a。分别成等差数列的排法种数为8B.满足4<4<4，且4，>4>4。的排法种数为20C.满足a-a+a-a4+%-a。=6的排法种数为48D.满足4-1<4，(i=1,2,3)的排法种数为360试题第2页（共4页）可学科网·学易金卷做就卷：就限是普第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。112.函数f(x)=sinx-x cOsx+一ar2+2元.若f(x)>0在区间[0，+o)上恒成立，则整数a的最小值是13.已知不等式k(x+2)e<x+1恰有两个整数解，则实数k的取值范围为.14.已知斜率为-1的直线与曲线y=e-x,(x>0),y=1-x-nr分别相交于A(x1,),B(x2,y2)两点，则2x,+x,的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)己知函数f(x)=alhx-x-1,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性：2当a=1时，令g)=f)++1+,求证：g)>nNx+1 xx-116.(15分)如图，己知平面图形ABCDEFG的内部连有线段.7(1)由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有多少条？(2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C,任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？(3)由点A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有多少条？17.a5分)已知函数f)-aG-)x,共中a为正实数。(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程：(2)当x≥1时，f(x)≥0.(i)求a的取值范围；(ii)当a取最小值时，若m,n为正实数，且m+n=2,证明：f(m)+f(n)≥0.试题第3页（共4页）18.(17分)已知函数f(x)=(x-e-】x2(e是自然对数的底数).○(1)当=1时，求函数f(x)的单调区间及曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程；:(2)当n≥2(n∈N)时：(i)证明：f(x)在R上有两个极值点：(i)设极小值点是y,证明：】站张19.(17分)已知a,k∈R,f(x)=xnx,8(x)=(x+a)e*,直线y=k与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切.(1)求a,k的值：(2)若f(x)=f(x2)=8(x3)=8(x)=b,其中x≠x2,x3≠x4.滞(i)求实数b的取值范围；游()求证：传S世..0试题第4页（共4页）2025-2026学年高二数学第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二、三册，导数+排列组合第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】结合函数的图象，由导数的几何意义求解判断即可．【详解】设为点、为点．由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以．直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以．2．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ）A．2个 B．4个 C．1个 D．12个【答案】B【分析】根据第二象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.【详解】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有3，5两种选择．由分步乘法计数原理，得在第二象限的点有个．故选：B．3．已知函数，则（   ）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】求函数求导，令，可得出关于的等式，解之即可.【详解】由题意得，所以，可得．故选：B．4．已知函数，则（   ）A．0 B．64 C．-64 D．128【答案】B【分析】根据题目条件构造函数，根据函数的求导法则，求出函数导数，求出导数值即可.【详解】令，其中；则，代入，可得.故选：B.5．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，任意取的2个球共有种，再计算符合条件的情况，再求概率即可．【详解】根据题意，任意取的2个球共有种，取出的2个球的编号之和为奇数，则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种，一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种，两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为．故选：C．6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012【答案】A【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解.【详解】由，令，得，所以.由为奇函数，得， 所以，故①，又②，由①和②得，即，令，则，所以③，令，得，得；令，得，得.又④，由③-④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，故，所以，所以.故选：A7．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得的最大值．【详解】的公共切点为，设切线与的图象相切与点 由题意可得 ，解得 所以 令 则令，解得 当 时， 当 时， ，函数在上单调递增当 时， ，函数在上单调递减当t从右侧趋近于0时， 趋近于0 当t趋近于 时， 趋近于0所以 所以选B【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题．8．设，且，，，则它们的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题可通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，关键在于分析以及在上的单调性.【详解】首先比较的大小，令，求导得在上恒成立，所以在上单调递增.因为，所以.又因为在上恒成立，且，所以，所以，所以即.由于在上单调递增，则.其次比较的大小，令，求导得，因为，所以，所以且，所以，所以在上单调递减.所以又因为在上恒成立，所以，又因为在上单调递减，所以，即，由单调性可知.综合以及，所以二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下面正确的是（   ）A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法；C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法；D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法．【答案】AC【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D.【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为种，故A正确每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误；将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故C正确.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故D错误；故选：AC.10．已知函数，则（   ）A．是函数的极小值点B．对，方程恒有两个不同的实数解C．D．存在，使得直线与曲线相切【答案】AB【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项.【详解】函数​的定义域为，且，令，解得当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增；则是函数的极小值点，故A 正确；对于B，的极小值为，当时，，，当时，，结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确；对于C，由于当时，单调递增，所以，则，即,所以，故C不正确；对于D，设切点为，切线斜率为，切线方程为：，因为切线过，代入得：化简得：，整理得：，即，令，，则，所以在和上单调递增，所以当时，，当时，，则当时，无解，即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确；11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ）A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8B．满足，且的排法种数为20C．满足的排法种数为48D．满足的排法种数为360【答案】BC【分析】由排列组合逐选项分析求解即可.【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合：与，与，对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换，则共有种，故A错误；B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种，而余下三个数作为，满足的排列也只有1种，则满足，且的排法种数为种，故B正确；C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足，则只能是，对于，先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确；D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种，再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为，满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误；故选：BC.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________．【答案】【分析】利用特值法判断成立的必要条件，再根据导数判断函数单调性，即可证明其充分性.【详解】由，要使在区间上恒成立，则，当时，，此时在上恒成立，故在区间上单调递增，此时，也即在上恒成立，故整数的最小值为．13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____．【答案】【分析】原不等式化为，构造函数，利用导数研究单调性并作出大致图象，数形结合即可求出范围.【详解】原不等式等价于，设，，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取极大值1，又，且时，，在同一坐标系内作出与的图象，如图：直线恒过点，当时，显然不满足条件；当时，若0，1是原不等式的解，只需要满足，解得，的取值范围为；当的切线过点时，设切点为，则切线方程为，该直线过点，，解得，若是原不等式的解，则，解得，所以k的取值范围为.故答案为：14．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______．【答案】/【分析】利用参数来表示，从而把构造成一个关于的函数，再利用导数来研究单调性求最值即可.【详解】设斜率为的直线方程为，与交于，则有，化简得，即因为，所以，又与交于，，化简得，即.则，构造函数， 求导得： ，可知， 又由，构造函数，求导得，由，在上单调递增，由，可得在上单调递减，又因为，，所以结合单调性可知：当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，因此在处取最小值，即 ，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令，求证：【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出的单调区间.（2）把代入求出，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递减；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.......................6分（2）当时，，，不等式，当时，，令函数，求导得，函数在上单调递增，则，因此；当时，，函数，求导得，函数在上单调递增，则，因此，所以.......................13分16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段．(1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？(2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？(3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？【答案】(1)10条．(2)21条．(3)155条．【分析】（1）先求出点出发到达点需要向上和向右的次数，再根据组合数求解即可；（2）先求出点出发到达点的最近路线有多少条，再计算两次向上行走连续且最近的路线，相减即可；（3）分类讨论分别经过的情况数，结合（1）中的方法求解即可.【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次，则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．.....................4分（2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次，则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条，其中两次向上行走连续且最近的路线有7条．故所求路线有条．.......................9分（3）设H，K的位置如图所示，则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况：①，有条最近路线；②，有条最近路线；③，有条最近路线．故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．......................15分17．（15分）已知函数，其中为正实数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求导得切线斜率，代入点坐标写出切线方程即可；（2）（i）通过导数分析函数单调性，结合判别式讨论参数；（ⅱ）利用条件转化为，结合函数性质和单调性证明不等式.【详解】（1）当时，，．所以，又．所以所求的切线方程为，即．....................3分（2）（ⅰ），因为，设二次函数的判别式为，①当，即时，，所以在单调递增，所以，所以．②，即时，设的两个根为，，且，由韦达定理，可得，即，所以，所以在单调递减，在单调递增．所以当时，有，与不符合，舍去．综上所述，的取值范围为．.......................9分（ⅱ）由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增，且，即因为，为正实数，且，所以．不妨设，则，，所以，．又，所以，即．所以，所以．所以，即．.....................15分18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）.(1)当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程；(2)当时：（i）证明：在上有两个极值点；（ii）设极小值点是，证明：.【答案】(1)单调递增区间为,无单调递减区间；切线方程为(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析【分析】（1）利用不含参函数的单调区间以及切线方程的求法可得答案；（2）（i）求导，利用单调性以及零点存在定理证明导函数在上有2个变号的零点即可；（ii）放缩成等比数列，利用等比数列的前项和公式求和即可.【详解】（1）当时，可得，.当时；当时，则在上恒成立，故的单调递增区间为无单调递减区间.因，曲线在处的切线方程为......................4分（2）（i），令，则，再令，则，由，故在上单调递减，在上单调递增.因为，，，当时，，所以存在使得.于是在上单调递减，在上单调递增.又因为，，所以在内存在唯一零点，即在内有唯一极值点且为极小值点.又因为，当时，，于是在内存在唯一零点，即在内有唯一极值点且为极大值点.综上， 在 上有一个极大值点 和一个极小值点 ，且........................11分（ii）由（i）知，，所以.........................17分19．（17分）已知，直线与曲线和都相切．(1)求的值；(2)若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．【答案】(1)，；(2)（i）；（ii）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可；（ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可.【详解】（1）．设与的切点为，则，解得，所以．由与相切，同理得，所以．.......................5分（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点，由（1）知，，，在上单调递减，在上单调递增；，，在上单调递减，在上单调递增，又，且；，且，作出函数和的图象，由图象知的取值范围为．......................11分（ii）不妨设，由（i）知，，显然，且，所以，同理，．要证，只需证，只需证．又，只需证．令函数，则，所以函数在（0，1）上单调递增，由得，所以显然成立，综上，．.......................17分1 / 10学科网（北京）股份有限公司$