"该高中数学复数复习讲义通过知识框架系统梳理了复数的概念、几何意义、四则运算及三角表示，用表格呈现运算律、对比不同象限复数特征，清晰展现知识内在联系，突出复数相等、模长计算等重难点。\n讲义亮点在于分层练习设计，涵盖基础巩固与能力提升，如复数分类判断题、模长最值计算题等题型，通过实例培养数学思维与运算能力，帮助学生掌握复数几何意义的应用方法，支持分层教学与自主复习，助力教师精准把握复习方向。"

第十二章 复数（复习讲义）1、理解数系的扩充与引进复数的必要性，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件及其应用.2、掌握复数的四则运算，理解复数四则运算的运算律，能在复数集内解有关方程问题.3、理解复数的几何意义，掌握复数的模的概念会求复数的模，了解复数的加法、减法的几何意义.4、通过复数的几何意义,了解复数的三角表示，理解复数的代数形式与三角形式之间的关系，理解复数乘、除运算的三角表示.一、复数的概念及其几何意义知识点一　复数的引入1.复数的引入为了使方程x2+1=0有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始.为此,我们引入一个新数i,叫作虚数单位,并规定:(1)i2=-1;(2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.在这种规定下,i可以与实数b相乘,再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成a+bi.这样,数的范围又扩充了.知识点1　复数的有关概念形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z．知识点2　复数的分类根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a＋bi(a，b∈R)知识点3　复数集全体复数构成的集合称为复数集，记作C．显然RC．知识点4　复数相等两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d．[特别提示]　当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．知识点5　复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点6　复数的几何意义[特别提示]　第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．知识点7　复数的模向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|． 由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|z|＝＝＝|a|(a的绝对值)．知识点8　共轭复数(1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi．(2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝．也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．二、复数的运算知识点1　复数的加法与减法(1)复数加法的运算法则两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i．(2)复数减法的运算法则两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．(3)复数的加法运算的运算律：结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；交换律：z1＋z2＝z2＋z1．知识点2　复数加法的几何意义如图，z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别与向量＝(a，b)，＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义知识点3　复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2) ·z3＝z1· (z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1· (z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(3)复数的指数幂的运算性质对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝．(4)虚数单位i乘方的周期性对于任意自然数n，有i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n+4＝1．(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2．(6)复数乘法的几何意义设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为．①z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长或压缩为原来的c倍得到的．②z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的．知识点4　复数的除法(1)复数的除法对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·．即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝i．(2)复数除法的运算在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝i．由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．三、复数的三角表示知识点1　复数的三角形式(1)复数的模和辐角：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模，且r＝．以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角．(2)复数的三角形式：任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．(3)辐角的主值：将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg_z<2π．(4)非零复数的相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．[特别提示]　0的模是唯一确定的，辐角的主值是任意的，非零复数的模和辐角的主值都是唯一确定的．[特别提示]设纯虚数为bi(b≠0)，当b>0时，arg(bi)＝；当b<0时，arg(bi)＝．知识点2　复数三角形式的乘法(1)定义：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin_(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和．(2)复数乘法的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1，z2的乘积．知识点3　复数三角形式的除法设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝－θ2)]．这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．题型一 利用复数的概念求实部虚部1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ）A． B．1 C． D．2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ）A． B． C．2 D．3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列四个命题，错误的是（   ）A．两个复数不能比较大小B．若复数z满足，则C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集4．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________．题型二 复数的分类1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ）A．复数不是纯虚数B．若，则复数是纯虚数C．若是纯虚数，则实数D．若复数，则当且仅当时，为虚数2．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中，①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则．真命题的序号是（   ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（25-26高三上·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________．4．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时；(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)为虚数．题型三 复数的四则运算1．（25-26高三下·青海西宁·月考）（    ）A．0 B． C． D．2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（   ）A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i3．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ）A． B．2 C． D．44．（24-25高一下·天津武清·月考）若，则_______.5．（2026高一·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．6．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型四 复数相等的问题1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）A．3 B．4 C． D．2．（21-22高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ）A． B． C． D．3．（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ）A． B．2 C．3 D．4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，则____________，____________．题型五 共轭复数的问题1．（河北邯郸市2026届高三第一次模拟检测数学试卷）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ）A． B． C． D．2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ）A． B． C． D．3．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ）A． B． C．1 D．4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知复数，则的共轭复数的虚部为（   ）A． B． C． D．5．（25-26高三下·海南·月考）已知复数的共轭复数为，则（    ）A． B． C． D．6．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）（多选），是复数，下列说法正确的是（   ）A．若，则是纯虚数B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称C．若，则D．若，则7．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）（多选）下列结论正确的是（   ）A．若复数满足，则B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为题型六 复数中坐标的问题1．（2026·河南南阳·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．2．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ）A． B． C． D．4．（25-26高三上·广西桂林·月考）若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（    ）A． B． C． D．5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线上，分别求实数的取值范围．题型七 复数中模长的计算1．（湖北黄石市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题）若复数（为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．2．（辽宁辽阳市2026届高三第一次模拟数学试卷）若复数满足（为虚数单位），则（   ）A． B． C． D．3．（25-26高一下·全国·课后作业）（   ）A． B． C． D．4．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）若复数模为，则的值为（    ）．A．1 B． C．3 D．5．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）若，则______7．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____．8．（2026高三下·广东惠州·专题练习）若复数满足，则|z|的最大值为______．9．（2025·重庆·模拟预测）（多选）已知复数 ，则下列结论正确的是（    ）A．若为纯虚数，则B．若，则C．若，则的最大值为D．若，则的取值范围是题型八 复数的三角表示1．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ）A． B． C． D．2．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若非零复数，则________.4．（25-26高一下·全国·课堂例题）把下列复数表示成代数形式：(1)；(2)；(3)；(4)．5．（24-25高一下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．基础巩固通关测1．（辽宁抚顺市2026届高三一模数学试题）若，则（   ）A．1 B． C． D．22．（广东广州市2026届高三毕业生一模数学试卷）若，则（   ）A． B． C． D．3．（河北省张家口市2026届高三下学期一模数学试题）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（    ）A．1 B． C． D．24．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ）A． B． C． D．5．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）若复数，则下列选项正确的有（   ）A． B．的共轭复数为C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限6．（2026·甘肃陇南·一模）（多选）已知复数（i为虚数单位），则（   ）A．z的虚部为 B．z的共轭复数为C． D．7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ）A． B． C． D．8．（2025高三·全国·专题练习）若是关于的方程的两个虚数根，且,则实数的值为_____．9．（25-26高一下·全国·课堂例题）___________．10．（2026·四川内江·二模）设i为虚数单位，则________．11．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式：(1)；(2)；(3).12．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，(1)当实数m为何值时，z是纯虚数？(2)当实数m为何值时，z是实数？13．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若，求实数，的值；（2）已知成立，求实数的值；（3）若关于的方程有实根，求实数的值.能力提升进阶练1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．5 D．62．（25-26高三下·重庆·月考）已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（    ）A．共线 B．关于实轴对称C．是等边三角形 D．是直角三角形3．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．4．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ）A． B． C． D．5．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ）A． B． C． D．6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ）A． B． C． D．17．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ）A． B． C． D．8．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）（多选）已知为复数，下列说法正确的是（   ）A．B．C．若是方程的两根，则D．若，则9．（25-26高三上·重庆·月考）（多选）已知、、为复数，，下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．C．若，则 D．10．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）若复数（i是虚数单位），复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是（   ）A． B． C． D．11．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________．12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________．13．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点分别为．若，则的取值范围是_____．14．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限．(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)若，且是关于的方程的一个复数根，求．15．（24-25高一下·上海·期末）已知关于的方程有两个复数根．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的值．1 / 3学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$第十二章 复数（复习讲义）1、理解数系的扩充与引进复数的必要性，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件及其应用.2、掌握复数的四则运算，理解复数四则运算的运算律，能在复数集内解有关方程问题.3、理解复数的几何意义，掌握复数的模的概念会求复数的模，了解复数的加法、减法的几何意义.4、通过复数的几何意义,了解复数的三角表示，理解复数的代数形式与三角形式之间的关系，理解复数乘、除运算的三角表示.一、复数的概念及其几何意义知识点一　复数的引入1.复数的引入为了使方程x2+1=0有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始.为此,我们引入一个新数i,叫作虚数单位,并规定:(1)i2=-1;(2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.在这种规定下,i可以与实数b相乘,再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成a+bi.这样,数的范围又扩充了.知识点1　复数的有关概念形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z．知识点2　复数的分类根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a＋bi(a，b∈R)知识点3　复数集全体复数构成的集合称为复数集，记作C．显然RC．知识点4　复数相等两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d．[特别提示]　当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．知识点5　复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点6　复数的几何意义[特别提示]　第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．知识点7　复数的模向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|． 由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|z|＝＝＝|a|(a的绝对值)．知识点8　共轭复数(1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi．(2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝．也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．二、复数的运算知识点1　复数的加法与减法(1)复数加法的运算法则两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i．(2)复数减法的运算法则两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．(3)复数的加法运算的运算律：结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；交换律：z1＋z2＝z2＋z1．知识点2　复数加法的几何意义如图，z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别与向量＝(a，b)，＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义知识点3　复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2) ·z3＝z1· (z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1· (z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(3)复数的指数幂的运算性质对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝．(4)虚数单位i乘方的周期性对于任意自然数n，有i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n+4＝1．(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2．(6)复数乘法的几何意义设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为．①z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长或压缩为原来的c倍得到的．②z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的．知识点4　复数的除法(1)复数的除法对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·．即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝i．(2)复数除法的运算在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝i．由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．三、复数的三角表示知识点1　复数的三角形式(1)复数的模和辐角：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模，且r＝．以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角．(2)复数的三角形式：任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．(3)辐角的主值：将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg_z<2π．(4)非零复数的相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．[特别提示]　0的模是唯一确定的，辐角的主值是任意的，非零复数的模和辐角的主值都是唯一确定的．[特别提示]设纯虚数为bi(b≠0)，当b>0时，arg(bi)＝；当b<0时，arg(bi)＝．知识点2　复数三角形式的乘法(1)定义：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin_(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和．(2)复数乘法的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1，z2的乘积．知识点3　复数三角形式的除法设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝－θ2)]．这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．题型一 利用复数的概念求实部虚部1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】利用求解.【详解】，虚部为－1故选：A.2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】直接利用虚部的概念求解即可.【详解】根据虚部的概念知，复数的虚部是.故选：A3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列四个命题，错误的是（   ）A．两个复数不能比较大小B．若复数z满足，则C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集【答案】ABCD【分析】根据虚数不能比大小可判断A的正误；取可判断B的正误；取可判断C的正误；根据纯虚集、虚数集、实数集三者之间的关系可判断D的正误.【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误；对于B，取，则，但，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集，若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误．故选：ABCD．4．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________．【答案】【分析】根据复数的概念求解即可.【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为．故答案为：题型二 复数的分类1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ）A．复数不是纯虚数B．若，则复数是纯虚数C．若是纯虚数，则实数D．若复数，则当且仅当时，为虚数【答案】B【分析】根据复数的基本概念判断.【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误；对于B，当时，复数是纯虚数，B正确；对于C，是纯虚数，则即，C错误；对于D，复数，，未注明为实数，D错误.故选：B.2．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中，①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则．真命题的序号是（   ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题.【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确；对于②，由是虚数，得，则，②正确；对于③，由是纯虚数，得，则，③正确，所以真命题的序号是①②③.故选：D3．（25-26高三上·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________．【答案】【分析】根据已知复数是纯虚数列式计算求解.【详解】设是虚数单位，若是纯虚数，则实数，且不是0，则．故答案为：.4．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时；(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)为虚数．【答案】(1)(2)或(3)且【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值；（2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值；（3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可.【详解】（1）当且时，复数为实数，解得，所以时，复数为实数；（2）当且且时，复数为纯虚数，解得或，所以或时，复数为纯虚数；（3）当且时，复数为虚数，解得且，所以且时，复数为虚数.题型三 复数的四则运算1．（25-26高三下·青海西宁·月考）（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的加减法运算，即可求解.【详解】．2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（   ）A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i【答案】B【分析】利用复数的除法运算得到，其中为实部，为虚部，据此求解.【详解】由题意可得，则复数z的实部和虚部分别是2，1.故选：B.3．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ）A． B．2 C． D．4【答案】D【详解】，因为为纯虚数，所以，且，所以.4．（24-25高一下·天津武清·月考）若，则_______.【答案】0【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解.【详解】已知，所以.5．（2026高一·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)13(2)(3)(4)【分析】利用复数的乘法，乘方运算以及虚数单位的性质逐一求解即得.【详解】（1）；（2）；（3）（4）.6．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)-1【分析】利用复数的运算的定义及运算性质即可求解.【详解】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）因为，所以原式题型四 复数相等的问题1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案.【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得.故选：C.2．（21-22高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数相等可得，，进而即得.【详解】因为，所以，，即，，所以．故选：D．3．（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解【详解】因为，所以，解得，所以，故选：A4．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，则____________，____________．【答案】 3 【分析】由复数的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可【详解】，，解得.故答案为：.题型五 共轭复数的问题1．（河北邯郸市2026届高三第一次模拟检测数学试卷）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，由，得，解得，结合选项可知可能为．2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可.【详解】，， 故选：D3．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知复数，则的共轭复数的虚部为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】易知复数，所以共轭复数，其虚部为.5．（25-26高三下·海南·月考）已知复数的共轭复数为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据共轭复数定义求，再求解，进而得到.【详解】由，可得.因为所以.6．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）（多选），是复数，下列说法正确的是（   ）A．若，则是纯虚数B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称C．若，则D．若，则【答案】AB【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断.【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确；对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误；对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误；故选：AB7．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）（多选）下列结论正确的是（   ）A．若复数满足，则B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为【答案】BCD【详解】对于A，也满足，A错误．对于B，因为，，所以，B正确．对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确．对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确．题型六 复数中坐标的问题1．（2026·河南南阳·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出复数，再利用复数乘法求解即得.【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，则，所以.故选：D2．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可知：，即，所以z在复平面对应的点为在第四象限.3．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ）A． B． C． D．【答案】C【详解】易知复数，其对应点的坐标为，因此，解得，即的取值范围是.4．（25-26高三上·广西桂林·月考）若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用代数形式的复数乘法计算得解.【详解】复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则，所以.故选：C5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线上，分别求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)(3)或(4)【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；（3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案；（4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.【详解】（1）复数的实部为，虚部为,由题意可得，解得或；（2）由题意可得，解得；（3）由题意可得，或；（4）由题意可得，解得．题型七 复数中模长的计算1．（湖北黄石市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题）若复数（为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得.【详解】因为，所以，所以.2．（辽宁辽阳市2026届高三第一次模拟数学试卷）若复数满足（为虚数单位），则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】因为，所以，故.3．（25-26高一下·全国·课后作业）（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数的加法、减法运算结合模长公式即可求解.【详解】，故选：D4．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）若复数模为，则的值为（    ）．A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】解法1：利用复数模的定义，；解法2：利用复数模的性质，.【详解】解法1：由，所以 ，解得.解法2：由已知，解得.5．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可.【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆，圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限，所以z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D6．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）若，则______【答案】【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解.【详解】因为，所以，所以.7．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____．【答案】或【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解.【详解】设，，则，，即，则，得，即，解得：或，所以或.故答案为：0或8．（2026高三下·广东惠州·专题练习）若复数满足，则|z|的最大值为______．【答案】/【分析】设，由可得，然后由复数模长公式结合两点间距离公式可得答案.【详解】设，，即在以为圆心，半径为的圆上.又表示到的距离，则由图可知.9．（2025·重庆·模拟预测）（多选）已知复数 ，则下列结论正确的是（    ）A．若为纯虚数，则B．若，则C．若，则的最大值为D．若，则的取值范围是【答案】BC【分析】化简，由纯虚数的定义可判断A；由相等复数和复数的模长可判断B；对于CD分别由复数的几何意义求出轨迹方程，再由圆的性质求解即可.【详解】对于A，复数 ，则，若为纯虚数，则，得，故A错误；对于B，若，则，所以，所以，故B正确；对于C，，由可得：，故点在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上一点到原点的距离，圆心到原点的距离为，则的最大值为，故C正确；对于D，由可得，故点在以为圆心，为半径的圆上，设，所以，故D错误.故选：BC.题型八 复数的三角表示1．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意结合复数的三角形式，可设，，化简整理后比较系数即可求得的值，进而可求得复数.【详解】由题意设，，所以有，即所以，即，则，故选：D.2．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】因为复数，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，又，，所以在复平面内对应的点位于第一象限.3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若非零复数，则________.【答案】【分析】由题意可得，根据复数的乘法运算即可求得答案.【详解】由于非零复数，故，故.故答案为：4．（25-26高一下·全国·课堂例题）把下列复数表示成代数形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】求出各题中的三角函数值即可求解.【详解】（1）（2）（3）（4）．5．（24-25高一下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解.【详解】（1）．（2）原式．基础巩固通关测1．（辽宁抚顺市2026届高三一模数学试题）若，则（   ）A．1 B． C． D．2【答案】B【详解】因为，所以，所以.2．（广东广州市2026届高三毕业生一模数学试卷）若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为，则，所以.3．（河北省张家口市2026届高三下学期一模数学试题）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】A【详解】由复数可得，因此，所以.4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的加法运算法则求解即可.【详解】因为，所以.故选：B5．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）若复数，则下列选项正确的有（   ）A． B．的共轭复数为C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ACD【分析】对 A ，先对复数 分母有理化化简得到标准形式，再利用复数模长公式计算模长；对 B ，根据共轭复数定义（实部不变、虚部变号），由化简后的直接写出其共轭复数，判断正误；对 C ，先代入化简后的，计算并化简，再与相加，判断结果是否为实数；对 D ，计算得到新复数，根据复数与复平面内点的一一对应关系，写出对应点坐标，判断所在象限.【详解】由题意，对于A：，故A正确；对于B： 的共轭复数为，故B错误：对于C：，为实数，故C正确；对于D：，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．6．（2026·甘肃陇南·一模）（多选）已知复数（i为虚数单位），则（   ）A．z的虚部为 B．z的共轭复数为C． D．【答案】AC【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项.【详解】由，故z的虚部为，，，，A、C对，B、D错.7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用复数的除法法则化简复数，再分别求出各选项角的范围，结合辐角主值的定义可判断.【详解】，因为，所以，则，，，因为辐角主值满足，故B不符合题意，ACD符合题意.故选：ACD8．（2025高三·全国·专题练习）若是关于的方程的两个虚数根，且,则实数的值为_____．【答案】1【分析】由题意可得二次方程的判别式，可解的取值范围，对其求虚根可求得，进而可得是共轭复数，，结合，即可求得实数的值.【详解】若方程有两个虚数根，则有，即，即，则的虚根为，即，显然是共轭复数，且，因为，所以，解得，满足判别式条件，故答案为：1.9．（25-26高一下·全国·课堂例题）___________．【答案】2【分析】根据复数的乘法法则计算.【详解】．故答案为：210．（2026·四川内江·二模）设i为虚数单位，则________．【答案】【详解】，故.11．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）.12．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，(1)当实数m为何值时，z是纯虚数？(2)当实数m为何值时，z是实数？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可；（2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可.【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以，解得，所以当时，z是纯虚数．（2）因为复数是实数，所以，解得，所以当时，z是实数．13．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若，求实数，的值；（2）已知成立，求实数的值；（3）若关于的方程有实根，求实数的值.【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）由复数相等的充要条件，比较等号两边复数的实部与虚部即可求解；（2）由题意，若复数为0，则有复数的实部和虚部都为0，由复数的运算法则求解即可；（3）由题意，不妨设关于的方程的实根为，将之代入后由复数的运算即可求解.【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得，（2）因为，，所以由，可得，解得或，所以.（3）设方程的实根为，则有，所以，解得或，即或.能力提升进阶练1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．5 D．6【答案】C【分析】复数对应的点的轨迹为为圆心，半径的圆，设为坐标原点，求得，可求的最大值.【详解】设，由，可得，所以复数对应的点的轨迹为为圆心，半径的圆，设为坐标原点，可得，所以的最大值为.故选：C.2．（25-26高三下·重庆·月考）已知为复平面的原点，非零复数，对应的点分别为，若，则（    ）A．共线 B．关于实轴对称C．是等边三角形 D．是直角三角形【答案】D【分析】依题意设出复数，根据，可得的关系，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可.【详解】设，且,不全为0，不全为0，则，即，可得，故或，即得或，故不关于实轴对称，即B错误；则或,当时，;当时，，故恒有，所以是直角三角形，故D正确；故、、三点不共线且不是等边三角形，故A，C错误.3．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解.【详解】由复数的运算性质，可得，则，所以，所以.4．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，其中，当时，最大值为.5．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.【分析】由题意可得，故，所以，故选：C.6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据复数的性质和判别式求解即可.【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b，所以，即.因为，，所以，而，所以，两边平方得，解得.故选：C.7．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案.【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为，则.又因为，所以，所以，，所以.，故选：A8．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）（多选）已知为复数，下列说法正确的是（   ）A．B．C．若是方程的两根，则D．若，则【答案】AC【分析】利用共轭复数的概念计算判断选项A、B，利用韦达定理计算判断选项C，利用反例法判断选项D．【详解】选项A、B：设，则，，，，故A正确；，，，，故B错误；选项C：已知是方程的两根，由韦达定理得，，故C正确；选项D：令，满足，但，故，不能推出，故D错误．故选：AC．9．（25-26高三上·重庆·月考）（多选）已知、、为复数，，下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】ABD【分析】选项A，将移项，提取公因式，即可得解；选项B、C、D，设，，代入已知进行计算求解即可.【详解】选项A，，，，，故选项A正确；选项B，设，，，，，故选项B正确；选项C，设，，，，，，，解此方程组不能得到，不能得到，故选项C错误；选项D，设，，，，，故选项D正确.故选：ABD.10．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）若复数（i是虚数单位），复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据复数的乘方运算可得，即可确定，，一一判断各选项即可得答案.【详解】由题意知复数，则，，．则，故ABD不正确，C正确．故选：ABD11．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________．【答案】5【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可.【详解】由已知，得，，，所以．由，可得，解得，故．故答案为：512．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________．【答案】 6 4【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可.【详解】令，则．因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图，易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为，所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4．故答案为：6；413．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点分别为．若，则的取值范围是_____．【答案】【分析】由题意可得，利用，可求的取值范围.【详解】因为，所以．因为，所以，从而，所以．故答案为：.14．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限．(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)若，且是关于的方程的一个复数根，求．【答案】(1)3(2)【分析】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可；（2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可.【详解】（1）由题意得，若复数为纯虚数，则有，且，解得.（2）方程的判别式，故有两共轭复数根，设，则另一个根为，因为对应的点在第一象限，所以，由韦达定理得，解得，且，所以有，解得，所以，则.15．（24-25高一下·上海·期末）已知关于的方程有两个复数根．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)或4【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解.（2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解.【详解】（1）已知，则.若，根为实数，虚部为0，不满足.若，根为虚数，由求根公式得：.由可知，，.所以（2）i）当，即时，由韦达定理知：，.若，两根异号，.由或（，故舍去）.若，两根同号为负，，由，矛盾，舍去.ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得，综上，或4.1 / 3学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$