"本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，系统梳理复平面（复数与点、向量的对应关系）、复数的模（定义及与共轭复数关系）、加减法几何意义（向量运算及模的几何含义），构建从代数形式到几何表示的学习支架。\n资料通过12类题型（如复数坐标表示、象限特征、模的最值等），结合典例精析与变式巩固，培养学生几何直观（数学眼光）和逻辑推理（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后便于学生自主练习，强化知识应用与查漏补缺。"

第十二章 复数12.3复数的几何意义知识点一 复平面1.复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2.复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系：即学即练（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求：(1)向量对应的复数；(2)向量对应的复数；(3)点对应的复数．知识点二 复数的模1.向量的模：向量的模叫作复数z=a+bi的模（或绝对值），记作∣z∣或 ∣a+bi∣。若b=0，则z=a+bi就是实数a，它的模等于∣a∣（即实数a的绝对值）。由模的定义可知：∣z∣=∣a+bi∣= 2.z、与∣z∣之间的关系：设 z=a+bi，则其共轭复数 =a−bi，于是：z·=(a+bi)(a−bi)=a2+b2=∣z∣2即：z·=∣z∣2，同时 ∣∣=∣z∣。即学即练（多选）（25-26高二上·山东日照·期中）已知复数，，则（    ）A．B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为C．D．若，则的最大值为3知识点三 复数加法、减法的几何意义z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线1.复数加法的几何意义：复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应.2.复数减法的几何意义：复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应.3.复数模的几何意义：复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.4.两个复数差模的几何意义：|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.即学即练（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ）A． B．点位于第二象限C． D． 题型01 复数的坐标表示 复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识.典｜例｜精｜析（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；（2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是，求点D对应的复数．变｜式｜巩｜固1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ）A． B． C． D．2.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ）A． B． C． D．题型02 在各象限内点对应复数的特征 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值.(1)点在第二象限；(2)点在直线上. 变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）复数，，则在复平面内表示的点在（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（24-25高一下·天津武清·月考）已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．题型03 根据复数对应坐标的特点求参数 根据复数特征或点的坐标特征，建立方程或方程（不等式）组求解.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，求实数a的取值范围．变｜式｜巩｜固1．（2025高三上·湖北随州·专题练习）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（    ）A． B． C． D．2．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ）A．4 B． C．3 D．题型04 实轴、虚轴上点对应的复数 有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.典｜例｜精｜析（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，.(1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？(2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________．2．（25-26高三下·重庆渝中·月考）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______．题型05 判断复数对应的点所在的象限 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.．典｜例｜精｜析（2026·北京朝阳·模拟预测）已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变｜式｜巩｜固1．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2026·四川成都·二模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型06 根据复数的坐标写出对应的复数 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.典｜例｜精｜析（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；（2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是，求点D对应的复数．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________．题型07 根据复数对应坐标的特点求参数 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.据此建立方程或不等式（组）求解.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围．(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线上.变｜式｜巩｜固1．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线上，分别求实数的取值范围．题型08 复数加减法几何意义及其应用 1.复数加法的几何意义：复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应.2.复数减法的几何意义：复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应.典｜例｜精｜析（多选）（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数，下列结论正确的是（    ）A．B．C．若，则的最小值为4D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______.2．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”）题型09 求复数的模 1.复数模的几何意义：复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.2.两个复数差模的几何意义：|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模．变｜式｜巩｜固1．（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（   ）A．1 B． C．2 D．42．（2026高三下·天津·专题练习）若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 _____；题型10 由复数模求参数 两种方法：代数法、几何法．典｜例｜精｜析（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则=___________．变｜式｜巩｜固1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ）A．3 B．4 C．5 D．-42．（2025高三上·湖南衡阳·专题练习）已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ）A． B． C． D．题型11 与复数模相关的轨迹（图形）问题 复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？变｜式｜巩｜固1．（多选）（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）A．若，则B．若，则或C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限D．若，则点的集合所构成的图形的面积为2.（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的最小值为_____．题型12 与复数模相关的最值问题 根据复数几何意义，看点的坐标满足的条件，结合图形特征“数形结合”确定最值．典｜例｜精｜析（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，.(1)求的值；(2)求的值；(3)若复数满足，求的最大值.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数满足，则的最小值为________．2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求：(1)．(2)若，且，求的最大值． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$第十二章 复数12.3复数的几何意义知识点一 复平面1.复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2.复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系：即学即练（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求：(1)向量对应的复数；(2)向量对应的复数；(3)点对应的复数．【答案】(1)(2)(3)．【知识点】复数的坐标表示【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数；（2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数；（3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数.【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，，∴向量对应的复数，向量对应的复数为．，∴向量对应的复数为．（2），∴向量对应的复数为．（3），∴向量对应的复数为，∴点对应的复数为．知识点二 复数的模1.向量的模：向量的模叫作复数z=a+bi的模（或绝对值），记作∣z∣或 ∣a+bi∣。若b=0，则z=a+bi就是实数a，它的模等于∣a∣（即实数a的绝对值）。由模的定义可知：∣z∣=∣a+bi∣= 2.z、与∣z∣之间的关系：设 z=a+bi，则其共轭复数 =a−bi，于是：z·=(a+bi)(a−bi)=a2+b2=∣z∣2即：z·=∣z∣2，同时 ∣∣=∣z∣。即学即练（多选）（25-26高二上·山东日照·期中）已知复数，，则（    ）A．B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为C．D．若，则的最大值为3【答案】BCD【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算【分析】根据复数的几何意义，共轭复数及复数的模的定义可得.【详解】对于A：由，得，所以A错误；对于B：对应的向量为，对应的向量为，，所以，故B正确；对于C：由，，，，得，所以C正确；对于D：由，即，所以复数z在复平面内对应的点表示以点为圆心，以2为半径的圆上.所以的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值为3，如图：故D正确.  故选：BCD.知识点三 复数加法、减法的几何意义z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线1.复数加法的几何意义：复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应.2.复数减法的几何意义：复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应.3.复数模的几何意义：复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.4.两个复数差模的几何意义：|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.即学即练（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ）A． B．点位于第二象限C． D．【答案】ACD【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用、求复数的模【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可.【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 题型01 复数的坐标表示 复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识.典｜例｜精｜析（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；（2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是，求点D对应的复数．【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析；（3）【知识点】复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数【分析】（1）由复数的向量表示可得；（2）由复数的坐标表示可得；（3）设，由复数的向量和坐标表示计算可得.【详解】（1）表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为．（2）设复数1对应的向量为，其中；复数对应的向量为，其中；复数对应的向量为，其中；复数对应的向量为，其中．如图所示：（3）记为复平面的原点，由题意得．设，则，．由题意知，，所以即故点D对应的复数为．变｜式｜巩｜固1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解.【详解】根据题意，则.故选：D.2.（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算【详解】因为，故复数在复平面内所对应的点的坐标为，因为在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，故复数在复平面内所对应的点的坐标为，即.题型02 在各象限内点对应复数的特征 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）设复数，对应的点满足下列关系，求的范围或取值.(1)点在第二象限；(2)点在直线上.【答案】(1)(2)或【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】（1）根据复数对应的点坐标在第二象限解不等式可得结果；（2）由点在直线上解方程，可得或.【详解】（1）复数对应的点坐标为，如满足点在第二象限，则须有解得.（2）如点在上，则有，即或. 变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课堂例题）复数，，则在复平面内表示的点在（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置.【详解】由题意得，对应的点在第一象限．故选：A2．（24-25高一下·天津武清·月考）已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得；（2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得.【详解】（1）由是纯虚数，可得，由①解得或，因时，，不合题意，故的值为；（2）由在复平面内对应的点在第二象限，可得，由③解得；由④解得或，故得，即的取值范围为.题型03 根据复数对应坐标的特点求参数 根据复数特征或点的坐标特征，建立方程或方程（不等式）组求解.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，求实数a的取值范围．【答案】【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算【分析】化简复数，得，由复数z对应的点在复平面内位于第四象限，得关于的不等式，求解可得实数a的取值范围．【详解】.所以复数z对应的点为.若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则解得．所以实数a的取值范围是．变｜式｜巩｜固1．（2025高三上·湖北随州·专题练习）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】先根据复数的几何意义求出，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】复数的点为，由题意得，解得，所以，.故选：A.2．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ）A．4 B． C．3 D．【答案】A【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】利用复数的除法将整理为，则在复平面内对应的点为，故有，解出的值即可.【详解】，，在复平面内对应的点为，在复平面内对应的点的横坐标为3，，.故选：A.题型04 实轴、虚轴上点对应的复数 有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.典｜例｜精｜析（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，.(1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？(2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？【答案】(1)10个(2)10个【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可.（2）利用点的特征确定复数个数即可.【详解】（1）若点在实轴上，则，此时，均满足题意，故共有10个这样的复数.（2）若点在虚轴上，则，此时，均满足题意，故共有10个这样的复数.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________．【答案】或.【知识点】复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解.【详解】由复数表示的点的坐标为：，又该复数对应的点在虚轴上，所以，解得或，故答案为：或.2．（25-26高三下·重庆渝中·月考）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______．【答案】【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、复数代数形式的乘法运算【分析】借助复数运算法则与虚轴上的点的性质计算即可得.【详解】，由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则其实部为，即有，解得.题型05 判断复数对应的点所在的象限 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.．典｜例｜精｜析（2026·北京朝阳·模拟预测）已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得，则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.变｜式｜巩｜固1．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可.【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆，圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限，所以z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2．（2026·四川成都·二模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限.题型06 根据复数的坐标写出对应的复数 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.典｜例｜精｜析（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；（2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是，求点D对应的复数．【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析；（3）【知识点】复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数【分析】（1）由复数的向量表示可得；（2）由复数的坐标表示可得；（3）设，由复数的向量和坐标表示计算可得.【详解】（1）表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为．（2）设复数1对应的向量为，其中；复数对应的向量为，其中；复数对应的向量为，其中；复数对应的向量为，其中．如图所示：（3）记为复平面的原点，由题意得．设，则，．由题意知，，所以即故点D对应的复数为．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________．【答案】【知识点】复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数、复数的向量表示【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解.【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则，设，则，由，得，则，解得，所以点D表示的复数为.故答案为：2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________．【答案】【知识点】复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数、复数的向量表示【分析】设，根据列方程组即可求解.【详解】记为复平面的原点，由题意得，，．设，则，．由题意知，，所以，解得，故点对应的复数为．故答案为：.题型07 根据复数对应坐标的特点求参数 复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.据此建立方程或不等式（组）求解.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围．(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线上.【答案】(1)或(2)(3)或(4)【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案；（2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；（3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可；（4）由实部等于虚部，列式即可解出答案.【详解】（1）复数的实部为，虚部为．由题意得，解得或．（2）由题意，，．（3）由题意，，或．（4）由已知得，故．变｜式｜巩｜固1．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数【详解】由复数的乘法可得，而复数对应的点在第三象限，故，所以即实数的取值范围是.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线上，分别求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)(3)或(4)【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；（3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案；（4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.【详解】（1）复数的实部为，虚部为,由题意可得，解得或；（2）由题意可得，解得；（3）由题意可得，或；（4）由题意可得，解得．题型08 复数加减法几何意义及其应用 1.复数加法的几何意义：复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应.2.复数减法的几何意义：复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应.典｜例｜精｜析（多选）（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数，下列结论正确的是（    ）A．B．C．若，则的最小值为4D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则【答案】BD【知识点】复数的向量表示、复数代数形式的乘法运算、复数加减法几何意义的运用、求复数的模【分析】A,C通过举例进行判断，B由复数模及复数的乘法进行判断，D由向量加法和减法的几何意义进行判断.【详解】对于A，设，则，，因此选项A错误；对于B，设，则，又，则，因此选项B正确；对于C，设，则，此时，因此选项C错误；对于D，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确.故选：BD.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______.【答案】1+i【知识点】复数加减法几何意义的运用【分析】，代入条件求解即可.【详解】由已知.故答案为：2．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”）【答案】外心【知识点】复数的向量表示、根据向量关系判断三角形的心、复数加减法几何意义的运用、求复数的模【分析】设对应点为，根据复数的向量表示及向量减法的几何意义得，即可得结论.【详解】设对应点为，且，根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等，所以在复平面内对应的点为的外心.故答案为：外心题型09 求复数的模 1.复数模的几何意义：复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.2.两个复数差模的几何意义：|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模．【答案】作图见解析，，，.【知识点】复数的坐标表示、求复数的模【分析】根据复数的几何表示方法和复数的模的计算公式，结合图象，即可求解.【详解】三个复数对应的向量，，，如图所示．，，．变｜式｜巩｜固1．（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（   ）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【知识点】求复数的模、复数的除法运算【详解】由，则，所以.2．（2026高三下·天津·专题练习）若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 _____；【答案】【知识点】求复数的模、复数的除法运算【分析】先根据复数的除法及乘法计算化简，再应用模长公式计算求解.【详解】由复数 满足 ，可得 ，所以 ．故答案为：.题型10 由复数模求参数 两种方法：代数法、几何法．典｜例｜精｜析（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则=___________．【答案】【知识点】复数的基本概念、由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】利用待定系数法，设，根据题意列出相关方程即可求出答案.【详解】设，由题意得，且为纯虚数，则，解得，代入，解得，又因为复数在复平面上所对应的点位于第二象限，则，则，所以.故答案为：.变｜式｜巩｜固1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ）A．3 B．4 C．5 D．-4【答案】B【知识点】由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数【详解】因为，所以，解得．因为在复平面内对应的点在第一象限，所以．2．（2025高三上·湖南衡阳·专题练习）已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求复数的模、由复数模求参数、复数的除法运算【分析】利用复数的除法法则求得，结合已知可得，求解即可.【详解】，又因为，所以，所以，即，所以，所以.故选：D.题型11 与复数模相关的轨迹（图形）问题 复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？【答案】复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆．【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题【分析】由可得，且，进而有，则有，由复数的模的几何意义知，复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆．【详解】设，因为，所以，所以．由得，即，所以．因为，所以．因为等价于，且，所以，即，即，即，所以复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆．变｜式｜巩｜固1．（多选）（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）A．若，则B．若，则或C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限D．若，则点的集合所构成的图形的面积为【答案】ACD【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD.【详解】对于A，，故A正确；对于B，因为当时，满足，故B错误；对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确；对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确.故选：ACD.2.（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的最小值为_____．【答案】【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题【分析】由复数减法的几何意义可得点的轨迹为线段，则的最小值，即原点到线段的最短距离，结合点到直线距离公式，并验证垂足在线段上，即可求得的最小值.【详解】设复数在复平面的点为，由复数减法的几何意义可知点到定点和的距离之和等于定值，且，故点的轨迹为线段，易得线段的方程为，其中，若求的最小值，即原点到线段的最短距离，原点到直线的距离，此时过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得，则，即垂足坐标为，在线段上，故的最小值为.故答案为：．题型12 与复数模相关的最值问题 根据复数几何意义，看点的坐标满足的条件，结合图形特征“数形结合”确定最值．典｜例｜精｜析（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，.(1)求的值；(2)求的值；(3)若复数满足，求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【知识点】已知复数的类型求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的乘方【分析】（1）根据条件，得，即可求解；（2）利用虚数单位的性质，即可求解；（3）设，根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解.【详解】（1）因为复数是纯虚数，则，解得，所以的值为.（2）由（1）知，又，则，所以.（3）设，由（1）知，又，即，所以，即，所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上，又，其表示点到点的距离，又，所以的最大值为.变｜式｜巩｜固1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数满足，则的最小值为________．【答案】/【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题【分析】根据复数差的模的几何意义可得的最小值，【详解】因为，故对应的点的轨迹为点和点为端点的线段中垂线，故对应的点的轨迹方程为直线，而，故对应的点的轨迹为圆，其圆心为，半径为，两个轨迹曲线如图所示：圆心到轨迹直线的距离为，故圆上的动点到轨迹直线的距离的最小值为，而的几何意义即为对应的点与对应的点的连线段的长度，故其最小值即为，故答案为：2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求：(1)．(2)若，且，求的最大值．【答案】(1)(2)2【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算【分析】（1）使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值；（2）由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解.【详解】（1）因为，所以．（2）设在复平面上的点为，因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上，即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即，在复平面内对应的点为，在圆上，如图：若要取的最大值，则动点与定点的距离最大，所以当对应的点为时，的最大值为． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$