"本高中数学讲义聚焦复数概念核心知识点，系统梳理虚数单位i的定义与运算律，复数的形式（a+bi）、实部虚部及分类（实数、虚数、纯虚数），复数相等的充要条件，构建从基础概念到应用的递进学习支架。\n资料以知识点分块配即学即练、题型分类（典例精析+变式巩固）为特色，通过具体问题引导学生用数学眼光抽象概念，用数学思维推理参数求解（如根据复数类型求参数），课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。"

第十二章 复数12.1复数的概念知识点一 虚数单位虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起运算，服从实数的运算律.即学即练（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ）A． B．1 C． D．【答案】A【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部【分析】利用求解.【详解】，虚部为－1故选：A.知识点二 复数、复数集1.复数：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫复数.2.复数集：全体复数形成的集合角复数集．3.复数的实部、虚部：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部.4.虚数、纯虚数：z是实数⇔b＝0，z是虚数⇔b≠0，z是纯虚数⇔.5.复数的分类：即学即练（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？，，，，，.【答案】答案见解析【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析【分析】根据复数的分类及复数运算分类即可.【详解】，，是实数；，，是虚数；是纯虚数.知识点三 复数相等1.a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d.2.特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0.即学即练（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，(1)当实数m为何值时，z是纯虚数？(2)当实数m为何值时，z是实数？【答案】(1)(2)【知识点】已知复数的类型求参数【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可；（2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可.【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以，解得，所以当时，z是纯虚数．（2）因为复数是实数，所以，解得，所以当时，z是实数． 题型01 虚数单位i及其性质典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）i是虚数单位，若集合，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】虚数单位i及其性质、复数的基本概念【分析】利用复数的定义判断即可.【详解】选项 A： 是虚数，不是实数，而 中的元素都是实数，因此 ，故A错误；选项 B：，而 ，所以 成立，故B正确；选项 C：， 是虚数，不属于 ，故C错误；选项 D： 是虚数，也不属于 ，故D错误.故选：B变｜式｜巩｜固1．（25-26高三上·湖北·月考）（   ）A．1 B． C． D．【答案】C【知识点】虚数单位i及其性质【分析】根据虚数单位i的性质求解，即得答案.【详解】.故选：C2．（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【知识点】虚数单位i及其性质【分析】利用，可求值.【详解】.故选：A.题型02 复数的基本概念典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ）A．复数不是纯虚数B．若，则复数是纯虚数C．若是纯虚数，则实数D．若复数，则当且仅当时，为虚数【答案】B【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数【分析】根据复数的基本概念判断.【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误；对于B，当时，复数是纯虚数，B正确；对于C，是纯虚数，则即，C错误；对于D，复数，，未注明为实数，D错误.故选：B. 变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课后作业）设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【知识点】交并补混合运算、复数的基本概念【分析】根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．【详解】依题意，三个集合之间的关系如图所示，所以，，，．故选：C．2．（24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】复数的基本概念【分析】根据复数的概念得出的值即可.【详解】为实数，则，是纯虚数，则，则故选：D题型03 求复数的实部与虚部 解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．需要注意a，b∈R这一条件．典｜例｜精｜析（2024高一·全国·专题练习）以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ．【答案】/【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.【详解】因为的实部为，的虚部为，故所求复数为．故答案为：变｜式｜巩｜固1．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ）A．2025 B． C．1121 D．1120【答案】D【知识点】求复数的实部与虚部【分析】由虚部的概念即可求解.【详解】由可知，虚部为1120.故选：D2．．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________．【答案】【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部【分析】根据复数的概念求解即可.【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为．故答案为：题型04 根据实部、虚部关系求参数 根据复数的实部与虚部的关系列方程求解．典｜例｜精｜析（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ）A． B．2 C．1 D．【答案】B【知识点】根据相等条件求参数、求复数的实部与虚部【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果.【详解】易知复数的实部为，虚部为；所以，解得.故选：B变｜式｜巩｜固1．（20-21高二下·陕西咸阳·期末）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（    ）A．-2 B．-3 C．2 D．3【答案】B【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数【分析】由题意得，解方程即可【详解】因为的实部与虚部相等，所以，解得，故选：B2．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ）A．2 B． C． D．-2【答案】A【知识点】求复数的实部与虚部【分析】利用复数的实部和虚部求解即可.【详解】由复数的实部与虚部之和为0，得，即.故选：A.题型05 根据相等条件求参数 两个复数相等的充要条件是：两个复数的实部和虚部分别相等．典｜例｜精｜析（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案.【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得.故选：C.变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，则____________，____________．【答案】 3 【知识点】根据相等条件求参数【分析】由复数的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可【详解】，，解得.故答案为：.2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________．【答案】 2【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数【分析】根据复数相等的定义，列出方程组，即可得答案.【详解】因为，所以，解得故答案为：；2题型06 复数的分类及辨析典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________．【答案】②③④【知识点】复数的分类及辨析【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可.【详解】①为纯虚数不是实数；②为无理数是实数；③为实数；④为实数；⑤为一般虚数不是实数．故答案为：②③④变｜式｜巩｜固1．（多选）（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ）A．如果实数，那么是纯虚数．B．实数是复数．C．如果，那么是纯虚数．D．任何数的偶数次幂都不小于零．【答案】ACD【知识点】复数的基本概念【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解.【详解】对A，当时，则是实数，故A错误；对B，根据复数定义可知，故B正确；对C，，那么是实数，故C错误；对D，根据虚数，故D错误.故选：ACD2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ）A．复数不可能是纯虚数B．若复数，则当且仅当时，为虚数C．若是纯虚数，则实数D．若，则复数为纯虚数【答案】ABC【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可.【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误；对于B，当，时，，为虚数，故B错误；对于C，当时，为实数，故C错误；对于D，当时，，为纯虚数，故D正确.故选：ABC.题型07 已知复数的类型求参数 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a+bi的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可）．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数和，若，试求的取值范围．【答案】【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复数的相等【分析】利用两复数相等的定义列方程，可得答案.【详解】，，消去m得，，，，∴当时，；当时，．的取值范围为．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________．【答案】【知识点】已知复数的类型求参数【分析】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解.【详解】由题意得，解得或，且，即，故的值为，故答案为：．2．（25-26高一下·全国·单元测试）设复数，当为何值时：(1)是实数？(2)是纯虚数？【答案】(1)或．(2)【知识点】对数的概念判断与求值、已知复数的类型求参数【分析】（1）由对数的性质及复数的分类，列式求解即可；（2）由纯虚数的概念列式求解即可.【详解】（1）要使复数为实数，需满足，解得或．即当或时，是实数．（2）要使复数为纯虚数，需满足，即解得，即当时，是纯虚数． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$第十二章 复数12.1复数的概念知识点一 虚数单位虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起运算，服从实数的运算律.即学即练（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ）A． B．1 C． D．知识点二 复数、复数集1.复数：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫复数.2.复数集：全体复数形成的集合角复数集．3.复数的实部、虚部：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部.4.虚数、纯虚数：z是实数⇔b＝0，z是虚数⇔b≠0，z是纯虚数⇔.5.复数的分类：即学即练（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？，，，，，.知识点三 复数相等1.a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d.2.特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0.即学即练（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，(1)当实数m为何值时，z是纯虚数？(2)当实数m为何值时，z是实数？ 题型01 虚数单位i及其性质典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）i是虚数单位，若集合，则（   ）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26高三上·湖北·月考）（   ）A．1 B． C． D．2．（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ）A．1 B．2 C． D．题型02 复数的基本概念典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ）A．复数不是纯虚数B．若，则复数是纯虚数C．若是纯虚数，则实数D．若复数，则当且仅当时，为虚数 变｜式｜巩｜固1.（25-26高一下·全国·课后作业）设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．2．（24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ）A． B． C． D．题型03 求复数的实部与虚部 解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．需要注意a，b∈R这一条件．典｜例｜精｜析（2024高一·全国·专题练习）以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ．变｜式｜巩｜固1．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ）A．2025 B． C．1121 D．11202．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________．题型04 根据实部、虚部关系求参数 根据复数的实部与虚部的关系列方程求解．典｜例｜精｜析（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ）A． B．2 C．1 D．变｜式｜巩｜固1．（20-21高二下·陕西咸阳·期末）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（    ）A．-2 B．-3 C．2 D．32．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ）A．2 B． C． D．-2题型05 根据相等条件求参数 两个复数相等的充要条件是：两个复数的实部和虚部分别相等．典｜例｜精｜析（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）A．3 B．4 C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，则____________，____________．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________．题型06 复数的分类及辨析典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________．变｜式｜巩｜固1．（多选）（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ）A．如果实数，那么是纯虚数．B．实数是复数．C．如果，那么是纯虚数．D．任何数的偶数次幂都不小于零．2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ）A．复数不可能是纯虚数B．若复数，则当且仅当时，为虚数C．若是纯虚数，则实数D．若，则复数为纯虚数题型07 已知复数的类型求参数 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a+bi的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可）．典｜例｜精｜析（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数和，若，试求的取值范围．变｜式｜巩｜固1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________．2．（25-26高一下·全国·单元测试）设复数，当为何值时：(1)是实数？(2)是纯虚数？ 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$