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专题01复数常考题型目录A题型建模・专项突破题型01求复数的实部与虚部题型02复数的分类题型03复数的四则运算题型04复数相等求参数题型05复数中模的问题题型06复数对应复平面上的坐标题型07共轭复数的问题题型08复数模相关的轨迹(图形)问题题型09复数的三角表示B综合攻坚・能力跃升题型01求复数的实部与虚部1．若复数满足，则复数虚部为（   ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，所以复数虚部为.2．若复数满足，则的虚部是（   ）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】由，得，所以的虚部为．3．已知，则的虚部为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将直接代入求得即可.【详解】因为，代入得：，所以虚部为，故选：D.4．复数的虚部为（   ）A．2 B． C．0 D．【答案】B【分析】根据复数虚部的定义即可得解.【详解】，的虚部为，故选：B.题型02复数的分类5．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ）A． B．6 C．－6 D．【答案】C【分析】将复数化成复数的代数形式，根据纯虚数的定义即可求解.【详解】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得.故选：C.6．已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）A． B．1C．3 D．或1【答案】B【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】依题意，，解得．故选：B．7．若复数是实数，则实数（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为复数是实数，则，解得.故选：C.8．若复数是纯虚数，则实数（   ）A．2或3 B．3 C．2 D．0【答案】C【分析】根据纯虚数的概念即可求解.【详解】由题意，得，解得.故选：C.题型03复数的四则运算9．若复数，则___________．【答案】【详解】由题可得，所以．10．已知复数（为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的加法计算.【详解】，.故选：C.11．已知复数，则（    ）A．为实数 B．C．的虚部为2 D．为纯虚数【答案】D【分析】直接计算复数的和，逐项判断.【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确；，B错误.故选：D12．复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可.【详解】，所以复数在复平面内对应的点为，故选：B题型04复数相等求参数13．若，____________．【答案】【分析】由复数相等、共轭复数概念及复数的加减运算求出，再由复数模的计算公式求解.【详解】设，则，，又，则，所以，，即，，所以，则．故答案为：．14．已知复数z满足，则（   ）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】利用复数运算法则计算可得，再利用共轭复数定义计算即可得解.【详解】，则，故，故.故选：C.15．（多选）设，，为复数，，下列命题正确的有（   ）A． B．C．若，则 D．，则【答案】ABC【分析】设，，，利用复数的模的运算法则计算可判断A；利用复数的乘法法则运算可判断B；由题意可得判断C；利用赋值法可判断D.【详解】对于A，，，所以，所以，又，，所以，所以，故A正确；对于B，设，，，所以又，所以，所以，故B正确；对于C，由，可得，又因为，所以，所以，故C正确；对于D，取，则，，满足，但，故D错误.故选：ABC.16．已知，若，则（   ）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】根据相等复数建立关于的方程组，解之，结合复数的乘法运算计算即可.【详解】由条件得，解得，则.故选：B.题型05复数中模的问题17．复数（为虚数单位），则的模为_____．【答案】【分析】由复数的运算以及共轭复数的概念，结合复数的模的计算即可求解.【详解】，则，其模长为，故答案为：.18．若复数的模为，则的值为（    ）.A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】化简复数，根据复数模的几何意义列式计算即可求解.【详解】复数，由题意可得，解得.故选：B19．已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法法则求得，结合已知可得，求解即可.【详解】，又因为，所以，所以，即，所以，所以.故选：D.20．设，已知虚数满足，且，则实数的值为_____．【答案】【分析】依题意，设，利用条件，结合，推得且，再利用列方程求解即得.【详解】设，则由可得即，因，则可得且．又因，，解得（正根舍去）．故答案为：.题型06复数对应复平面上的坐标21．若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用代数形式的复数乘法计算得解.【详解】复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则，所以.故选：C22．已知复数，其中.(1)若，求的值；(2)若对应的点在第一象限，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可；（2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可.【详解】（1）由，可得，解得或；（2）由对应的点在第一象限，可得，解得且，所以的取值范围为.23．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据复数的几何意义求出，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】复数的点为，由题意得，解得，所以，.故选：A.24．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法运算，求出复数在复平面内对应点的坐标，判断结果.【详解】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.题型07共轭复数的问题25．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ）A．1 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用复数的除法计算，再利用共轭复数以及复数的定义即可.【详解】，则，则，故的虚部是.故选：A26．复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____.【答案】【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再得出共轭复数即得其虚部.【详解】由，则，故复数的虚部为.故答案为：.27．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简，求得，再根据复数乘法运算计算即可求解.【详解】，则，故，所以.故选：B28．在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法化简复数，从而由对称性得复数，再根据共轭复数的概念得所求.【详解】因为复数，所以复数，则.故选：C.题型08复数模相关的轨迹(图形)问题29．若复数满足，则的最小值为_____．【答案】【分析】由复数减法的几何意义可得点的轨迹为线段，则的最小值，即原点到线段的最短距离，结合点到直线距离公式，并验证垂足在线段上，即可求得的最小值.【详解】设复数在复平面的点为，由复数减法的几何意义可知点到定点和的距离之和等于定值，且，故点的轨迹为线段，易得线段的方程为，其中，若求的最小值，即原点到线段的最短距离，原点到直线的距离，此时过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得，则，即垂足坐标为，在线段上，故的最小值为.故答案为：．30．设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【答案】B【分析】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断．【详解】设复数，则，代入，两边平方得：，，两边除以：，以配方：，这是圆的标准方程，圆心为，半径为．∴复数z对应的点的轨迹是圆．故选：B．31．已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线【答案】B【分析】利用复数的几何意义将方程理解为动点到定点的距离为3即得其对应的点的轨迹图形.【详解】设复数在复平面内对应的点为，而复数对应的点为，则可将理解为，即动点到定点的距离为3，故动点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆.故选：B.32．复数满足，则的最大值为________．【答案】6【分析】由复数的模的几何意义确定复数对应点的轨迹，问题转化为圆上一点到点的距离最大值，即可得结果.【详解】设复数.由复数的模的几何意义可知，表示复数对应的点到点的距离.因为，所以，即，这表示点在以原点为圆心，半径的圆上.因为，所以由圆的性质可知，点到点的距离的最大值为，即的最大值为6.故答案为：6题型09复数的三角表示33．复数等于（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】令，可得，令，可得，则.故选：B.34．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.【分析】由题意可得，故，所以，故选：C.35．欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________．【答案】/【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解.【详解】由题意可得，所以的虚部为.故答案为：36．已知复数，则________.【答案】1【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模.【详解】复数，所以.故答案为：11．复数等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】由题意得：，故选：C.2．已知两复数，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊角三角函数值和复数乘法运算直接求解即可.【详解】，，.故选：B.3．设复数满足，则的实部为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数的乘法、除法运算，得到，即可求解.【详解】由，得，则的实部为，故选：D4．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数.【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则.故选：B.5．在复平面内，复数对应的点分别是，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数与复平面内点的对应关系，写出复数表达式，再根据复数除法，求出结果.【详解】复数对应的点分别是，，则，可知.故选：B.6．（多选）若复数，则（   ）A．z的实部是B．C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BCD【分析】根据复数的除法运算可得，进而可得，结合复数的相关概念和几何意义逐项分析判断.【详解】因为，则，可知z的实部是，，，故A错误，BC正确；且z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确；故选：BCD.7．（多选）已知，则（   ）A．的实部为 B．的虚部为C． D．【答案】AD【分析】根据复数的运算可得，再根据复数的概念及复数模的运算即可求解.【详解】，所以其实部为，虚部为，，.故选:AD.8．（多选）将复数化为三角形式正确的是（　   　）A．B．C．D．【答案】AD【分析】由复数的三角形式逐个判断即可.【详解】所以辅角主值为，辅角为，结合选项令，可得辅角为，BC两种情况不存在，故选：AD.9．设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据复数除法运算化简得，依题意，则得，利用二次函数的性质即可求出的取值范围.【详解】计算得．根据条件，存在实数，使得，即.故的取值范围是．故答案为：.10．若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____．【答案】【分析】设，由为负实数结合复数的运算可得，，再由为纯虚数可得，进而求得的值.【详解】设，由于为负实数，则有，解得，进而，因为为纯虚数，则有，且，解得，因为，所以，故故答案为：11．已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得；（2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得.【详解】（1）由是纯虚数，可得，由①解得或，因时，，不合题意，故的值为；（2）由在复平面内对应的点在第二象限，可得，由③解得；由④解得或，故得，即的取值范围为.12．已知复数z对应复平面内的点.(1)设，求的模；(2)如果，求实数a，b的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据复数几何意义得，再结合共轭复数概念、复数乘方运算以及复数模的计算公式即可得到答案；（2）根据复数的乘方和除法运算即可得到方程组，解出即可.【详解】（1）由题设知，则，故.（2）由，有，由题设条件，知，根据复数相等的定义，得，解得. 1 / 14学科网（北京）股份有限公司$专题01复数常考题型目录A题型建模・专项突破题型01求复数的实部与虚部题型02复数的分类题型03复数的四则运算题型04复数相等求参数题型05复数中模的问题题型06复数对应复平面上的坐标题型07共轭复数的问题题型08复数模相关的轨迹(图形)问题题型09复数的三角表示B综合攻坚・能力跃升题型01求复数的实部与虚部1．若复数满足，则复数虚部为（   ）A．1 B． C． D．2．若复数满足，则的虚部是（   ）A． B． C．2 D．3．已知，则的虚部为（   ）A． B． C． D．4．复数的虚部为（   ）A．2 B． C．0 D．题型02复数的分类5．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ）A． B．6 C．－6 D．6．已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）A． B．1C．3 D．或17．若复数是实数，则实数（   ）A． B． C． D．8．若复数是纯虚数，则实数（   ）A．2或3 B．3 C．2 D．0题型03复数的四则运算9．若复数，则___________．10．已知复数（为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．11．已知复数，则（    ）A．为实数 B．C．的虚部为2 D．为纯虚数12．复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型04复数相等求参数13．若，____________．14．已知复数z满足，则（   ）A．4 B． C．2 D．15．（多选）设，，为复数，，下列命题正确的有（   ）A． B．C．若，则 D．，则16．已知，若，则（   ）A．25 B． C． D．题型05复数中模的问题17．复数（为虚数单位），则的模为_____．18．若复数的模为，则的值为（    ）.A．1 B． C．3 D．19．已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ）A． B． C． D．20．设，已知虚数满足，且，则实数的值为_____．题型06复数对应复平面上的坐标21．若复数､在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（    ）A． B． C． D．22．已知复数，其中.(1)若，求的值；(2)若对应的点在第一象限，求的取值范围.23．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（    ）A． B． C． D．24．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题型07共轭复数的问题25．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ）A．1 B． C．1 D．26．复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____.27．已知，则（    ）A． B． C． D．28．在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ）A． B． C． D．题型08复数模相关的轨迹(图形)问题29．若复数满足，则的最小值为_____．30．设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线31．已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线32．复数满足，则的最大值为________．题型09复数的三角表示33．复数等于（   ）A． B． C． D．34．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ）A． B． C． D．35．欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________．36．已知复数，则________.1．复数等于（    ）A． B． C． D．2．已知两复数，，则（ ）A． B． C． D．3．设复数满足，则的实部为（   ）A． B． C． D．4．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ）A． B． C． D．5．在复平面内，复数对应的点分别是，，则（    ）A． B． C． D．6．（多选）若复数，则（   ）A．z的实部是B．C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限7．（多选）已知，则（   ）A．的实部为 B．的虚部为C． D．8．（多选）将复数化为三角形式正确的是（　   　）A．B．C．D．9．设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是_____．10．若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____．11．已知复数，其中i为虚数单位，．(1)若是纯虚数，求的值；(2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．12．已知复数z对应复平面内的点.(1)设，求的模；(2)如果，求实数a，b的值. 1 / 14学科网（北京）股份有限公司$