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专题04立体几何中线面、面面平行与垂直问题目录A题型建模・专项突破题型01线面、面面平行与垂直小题题型02证明线面平行题型03线面平行的性质应用题型04证明面面平行题型05面面平行的性质应用题型06证明线面垂直题型07线面垂直的性质应用题型08证明面面垂直题型09面面垂直的性质应用B综合攻坚・能力跃升题型01线面、面面平行与垂直小题1．（多选）在正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）A． B．平面平面C． D．平面平面【答案】ABC【分析】求得与位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；求得与位置关系判断选项C；求得平面与平面位置关系判断选项D.【详解】在中，因为，分别为，的中点，所以．又，所以，A正确．在中，因为，分别为，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，平面，平面，所以平面．又因为，所以平面平面，B正确．因为，，所以，C正确．取的中点，连接，，则是二面角的平面角．设正方体棱长为a，则，又，则，所以平面与平面不垂直．又平面平面，所以平面与平面不垂直，D错误．故选：ABC．2．（多选）已知、是不重合直线，、、是不重合平面，则下列命题中真命题是（   ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BD【详解】对于A，若，，则或、相交，A错；对于B，若，，则，B对；对于C，若，，则或，C错；对于D，若，，则，D对.3．（多选）设为两个平面，为两条直线，且，则下列说法正确的是（   ）A．若或，则B．若，则或C．若或，则D．若，则或【答案】BC【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，利用反例法判断选项A，D；分情况讨论判断选项B；利用线面垂直推出线线垂直判断选项C．【详解】选项A：设是相邻墙面，交线为墙角线，是底面上平行于的直线，此时与可以垂直，不能推出，故A错误；选项B：，当时，；当时，，当时，，故B正确；选项C：若，则内所有直线，而，则； 若，则内所有直线，而，则，故C正确；选项D：设与成锐角，且，此时不垂直于，且不垂直于，故D错误故选：BC．4．（多选）已知三个不同的平面和三条不同的直线，下列命题中为真命题的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则【答案】AC【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解.【详解】A，根据线面垂直的性质得，若，，则，正确；B，若，，则或，错误；C，如图所示，因为是不同的直线，由题意，且，所以，又，且，所以，所以，正确；D，如图所示，在正方体中，设平面为平面，平面为平面，平面为平面，此时满足，，但与为相交平面，错误.5．（多选）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（   ）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ACD【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假.【详解】对A：因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.故A正确；对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误；对C：因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.因为，平面，且，所以平面平面.故C正确；对D：因为平面，平面，所以；又因为四边形为矩形，所以，因为，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故D正确.6．（多选）在正三棱台中，为的中点，则（   ）A． B．平面C． D．平面【答案】BD【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥，对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误；对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确；对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误；对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确.题型02证明线面平行7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC；【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证.【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点，得且，且，则，且，因此四边形为平行四边形，则，而平面平面，所以平面.8．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点，所以G是线段的中点.又因为F是线段的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.9．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面；【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的判定定理即可证得.【详解】过作与交于点，过作与交于点，连接.由已知条件，可知矩形与矩形全等.因为，且，所以，所以，又，则四边形为平行四边形，所以，因为不在平面内，平面，所以平面.10．如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，结合已知先证，再由线面平行的判定证明结论.【详解】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，，，则，且，因为，，，分别为棱，，，的中点.则，且，，，所以，，又，所以，，所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形，所以，，所以.因为平面，不包含于平面，所以平面.11．已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【分析】取PE的中点，证明平面平面，再利用面面平行的性质定理证明.【详解】取的中点，连接、，因为点为棱的中点，且，所以且，，平面，平面，所以平面，同理可得平面.因为平面，平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面.12．如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面.【答案】证明见解析【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明.【详解】因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，故平面，在直角梯形中，，因为平面，平面，故平面，又因为，平面，故平面平面，又因为平面，故平面.题型03线面平行的性质应用13．如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点.【答案】证明见解析【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证.【详解】连接，交于点，连接，由平面，平面，平面平面，得，在矩形中，点为线段的中点，所以点是的中点.14．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明．【答案】直线//平面，证明见解析【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明.【详解】直线平面，证明如下：分别是的中点，得，又平面，且平面，则平面，而平面，且平面平面，因此，又平面，平面，所以平面.15．已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：；【答案】证明见解析【分析】由题意可得平面，再由线面平行的性质定义即可得证.【详解】因为底面是平行四边形，故平面，平面可得平面，又因为平面，平面平面，所以．16．在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，．(1)求异面直线和所成角的大小；(2)若点E为棱上一点，且平面，求的值．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解；（2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解.【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即．因为是正三角形，，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以是等腰直角三角形，所以，即异面直线和所成角为．（2）因为平面，平面，平面平面，所以，所以，因为，，所以，所以．17．如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：.【答案】证明见解析【分析】设，连接交于点，连接，过点作，交于点，根据线面平行的性质证明，再利用相似比即可得出结论.【详解】如图，设，连接交于点，连接，平面，平面，平面平面，，为的中点，，过点作，交于点，则，，，，即.18．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点.【答案】证明见解析【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点，由平面，平面，平面平面，可得，又因为为的中点，所以，，又因为，所以，由平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又因为，所以，则四边形是平行四边形，故，又因为， 是的中点.，所以，结合，可得是的中位线，即为中点.题型04证明面面平行19．已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N．(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接、、、，借助中位线性质及线面平行判定定理可得平面，平面，再利用面面平行判定定理即可得证；【详解】（1）连接、、、，由线段、BD的中点分别为点M、P、N，则、，又平面，平面，平面，平面，故平面，平面，又，、平面，故平面平面；20．如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面.【答案】证明见解析【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面，又H、G分别为的中点，所以.平面，平面，所以平面，因为FD、平面，，所以平面平面.21．如图所示，四边形为菱形，平面，平面.(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明平面，再结合证明平面，从而再由面面平行知识即可求解证明；【详解】（1）由题意平面，平面，则，又因为平面，平面，所以平面，因为四边形为菱形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面.22．如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在点，满足即可，理由见解析【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行；（2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可.【详解】（1）因，，则，故，在三棱柱中，，则，因平面，平面，则平面.（2）如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下：因，则，则，因平面， 平面，故平面，由（1），因平面， 平面，故平面，又平面，故平面平面.题型05面面平行的性质应用23．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面.【答案】证明见解析【分析】取中点G，连接，通过平面，平面，得到平面平面，即可求证.【详解】证明：如下图，取中点G，连接，因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以，由在平面内，不在平面内，故平面，由在平面内，不在平面内，故平面，又且都在平面内，所以平面平面，因为平面，所以平面.24．如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面.【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面.【详解】因为底面是正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，且与相交于点，所以平面平面，又平面，所以平面.25．如图，在正方体中，(1)若，求证：平面．(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论；（2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明；【详解】（1）证明：过点作交于，则①过点作交于，则②连接EF．，，，即：，四边形MNFE是平行四边形，平面，平面平面（2）证明：正方形中，，∴四边形是平行四边形，∵平面，平面平面同理平面，平面，平面，平面平面26．如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.  (1)求证：平面平面；(2)求证：；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明；（2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明；【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面.∵平面，平面，，平面，平面，∴平面平面.（2）由（1）知：平面平面.又平面平面，平面平面，∴.题型06证明线面垂直27．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：．【答案】证明见解析【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得.【详解】取的中点，连接，在中，因为点是棱的中点，所以，又因为平面，且平面，所以，因为，所以，由底面为菱形，且，可得为等边三角形，因为是的中点，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.28．在如图的空间几何体中，，，四边形为直角梯形，，，，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，连接,可得平面平面，进而可得结论；（2）通过已知线段长度，利用勾股定理逆定理证明BM与CM、BM与MN垂直；【详解】（1）如图取中点，连接,是中点，是的中位线，故,平面，平面，所以平面，由，得，且，故四边形是平行四边形，得，同理可得平面，又，因此平面平面,平面，故平面；（2）由，得，又，故，已知，由勾股定理得，已知，故，由勾股定理逆定理得，即，又平面，故平面；29．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面.【答案】证明见解析【详解】在正方形中，由，得，，则，，因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，又平面，所以平面.30．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC；【答案】证明见解析【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证.【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得，由，得，，又，则平分，，又，则为正三角形，是其中心，于是是中点，，而平面，平面，则，又,且,平面，所以平面.31．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面．【答案】证明见解析【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面．【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示，因为，为的中点，所以，同理，，为的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，且，平面平面，所以平面．32．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，利用中位线性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）连接，利用中位线性质可得，首先证明平面，从而得到，同理得到，结合线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得到结论.【详解】（1）连接，因为为正方形，所以为中点，同理，为中点，在中，、分别为、的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）连接，中，、分别为、的中点，所以.在正方形中，，又因为为正方体，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得：，，，所以平面，所以平面；题型07线面垂直的性质应用33．如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：．【答案】证明见解析【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得．【详解】∵平面，平面，∴，又，∴，∵，是的中点，∴，又，，平面，∴平面，∵，，∴，又，，，平面，∴平面，∴．34．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证；（2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证．【详解】（1）在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，因为，，平面，平面．所以平面．（2）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，又，平面，平面．所以平面．又平面，所以．35．如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC．【答案】证明见解析【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证．【详解】取AB的中点M，连接FM和CM，在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且，由平面，而平面，得，所以，，因此四边形是平行四边形，，而平面，平面，所以平面．36．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：；【答案】证明见解析【分析】用线面垂直证明线线垂直即可.【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则，又因为为等腰直角三角形，，，又是正三角形，，又因为平面，则面，面，.37．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．(1)求证：．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得；【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，且N为PB中点，所以，又因为，所以平面ANMD，又因为平面ANMD，所以．38．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：【答案】证明见解析【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直.【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为菱形，所以，，所以在图2中，，，又平面，所以平面，因为平面，所以，又在四边形中，，，所以四边形为平行四边形，所以，所以；题型08证明面面垂直39．如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面.【答案】证明见解析【详解】因为平面平面，交线为，，平面，所以平面，又平面，故.又因为，，平面，所以平面，而平面，故平面平面.40．如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．证明：平面平面．【答案】证明见解析【分析】根据线面垂直的判定先证明平面，即可根据面面垂直的判定求证.【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面．41．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．.求证：(1)平面；(2)平面平面；(3)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】(1)三角形中位线定理可得，结合线面平行的判定定理得证.(2)推导出，，从而面，由此能证明平面平面.(3)直接由已知条件，结合棱锥体积公式求解.【详解】（1）是的中点，是的中点，，又平面，平面，平面.（2）底面，，又，且，平面，而平面，平面平面（3）面，，，是正方形，面积棱锥体积．42．如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.(1)证明：；(2)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直.（2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面.又为正三角形，为中点，所以，又平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，，分别为的中点，所以，，所以，所以，所以，由（1）可得，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.43．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面；【答案】证明见解析【分析】由，，根据线面垂直的判定定理证出平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证.【详解】∵底面ABCD，平面ABCD，∴.如图，连接AC．∵底面ABCD为正方形，∴，∵M，N分别为棱AB，BC的中点，∴，∴，又平面PBD，∴平面PBD，∵平面MNE，∴平面平面PBD．44．如图，四边形是正方形，平面，．(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的性质得，进而可得，利用正方形的性质得，再由线面垂直的判定定理，即可求解；【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为，所以，因为四边形是正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．题型09面面垂直的性质应用45．如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接.(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明；（2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解.【详解】（1）由题知，平面平面，又平面平面，平面，又，根据面面垂直的性质定理，平面，又平面，则，又，平面，，根据线面垂直的判定定理，平面46．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证.【详解】（1）依题意，，而平面，则平面，又平面，所以.47．在三棱柱中，，为的三等分点，侧面为正方形，，.(1)证明：平面平面；(2)证明：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知和正方形性质证明平面，然后由面面垂直的判定定理可证；（2）先证平面，然后可得，再根据面面垂直的性质定理即可得证.【详解】（1）由四边形是正方形，可知，又，，平面，则平面.而平面，故平面平面.（2）因为，，，平面，则平面，而平面，则.由（1）知平面平面，平面平面，平面，且，故平面.48．已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面.取中点，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，则，再由线面垂直的判定定理证明即可.【详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以，因为为正三角形，为的中点，所以，又，平面，所以平面49．如图，在四棱锥中，平面，平面平面.证明：平面PAD.【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接，先证平面，得，再结合线面垂直可得，然后由线面垂直的判定定理可证.【详解】取的中点，连接.因为，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.因为平面，所以.又平面平面，所以.又，平面所以平面.50．如图，和所在平面垂直，且，，．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得；（2）取线段的中点，求证或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，在中计算余弦值即可.【详解】（1）因和所在平面垂直，，平面平面，平面，则平面，又平面，则；1．如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处．求证：平面；【答案】证明见解析【分析】连接交于点，连接，由中位线性质可得，根据线面平行的判定定理即可得证.【详解】因为，，，所以四边形为矩形，连接交于点，连接，则点为中点，又为中点，所以是中位线，所以，又平面，平面，所以平面．2．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面；【答案】证明见解析【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直.【详解】在等腰梯形中，，，则四边形是平行四边形，则，因为，所以为等边三角形，则因为为中点，所以，在等腰梯形中，可得连接，在中，由余弦定理可得：，则，所以，则．因为、分别是、中点，所以，所以，从而可得，，因为，、平面，所以平面.3．如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面；【答案】证明见解析【分析】由余弦定理求出，，由勾股定理逆定理可得，故，从而证明出平面.【详解】，∴，，由余弦定理得，故，，即，翻折后，又平面，所以平面.4．如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．(1)证明：．(2)证明：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由正三棱柱的性质证明，进而由线面垂直的判定定理证得平面，即得；（2）由（1）的结论可得，通过计算边长，利用勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得平面．【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得.在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）得平面，因平面，则.又，则，，则由，可得，因平面，故平面.5．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为与的交点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）通过连接，利用中点条件证明 是 的中位线，得到，再根据“平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行”的判定定理，直接得出 平面；（2）先利用正方体的性质，证明平面，再根据线面垂直的性质，得到 ，再通过计算三条线段的长度，用勾股定理逆定理证明，最后根据线面垂直判定定理，可得平面.【详解】（1）连接，∵ 为与的交点，∴ 是中点，在中，是中点，是 中点，∴ 是的中位线，∴ ，又∵ 平面，平面，∴ 平面.（2）∵ 底面 ， 底面 ，∴，∵ 四边形为正方形，∴，又∵ ，平面，∴平面，∵ 平面 ，∴，因为正方体棱长为2，所以，，，，平面平面平面.6．如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．  (1)求证：直线平面；(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可；（2）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定.【详解】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以，又是的直径，点是圆周上的点，所以，因为，平面，所以平面．（2）在线段上存在点，使得平面，且，理由如下：取的三等分点为（靠近），在中过点作，，则，且，因为是中点，是中点，所以，且，又，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面,故线段上存在点，使得平面，且.  7．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：；【答案】证明见解析【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证.【详解】连接，交于点，连接．因为四边形是菱形，则，，因为为的中点，则，又，且，故得，故四边形是平行四边形，则．又平面平面，平面平面，，平面，则平面，又平面，则，故．8．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由．【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下：为的中点，为的中点，连接，易证四边形是平行四边形，则．平面，平面．平面．分别为的中点，，同理可得平面，又，∴平面平面．反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面，而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾.综上，为的中点时，平面平面.9．在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面.【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论.【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，因为，故平面平面，而平面，故平面.10．如图，在三棱锥P-ABC中，平面平面ABC，且，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点，证明：．【答案】【解析】略11．如图，在四棱锥中，底面，.设分别为的中点，为的重心，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】连接，延长交于，连接.只需证明平面及平面，进而证得平面，根据面面平行的性质，证得结果；【详解】因为分别为的中点，则.又在平面外，则平面.连接，延长交于，连接.因为为的重心，则为的中点，从而.又在平面外，则平面.因为是平面内的两条相交直线，则平面平面.因为平面，所以平面.12．如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面.【答案】证明见解析【分析】若分别是上的点，且，得到，通过平面，平面，进而可求证.【详解】若分别是上的点，且，连接，又，所以，即四点共面，由平面，平面，则平面，同理可证平面，又，且都在平面内，所以平面平面，平面，故平面.13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面平面PAD，证明：平面平面ABCD；【答案】【详解】如图，过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为底面是正方形，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面. 1 / 14学科网（北京）股份有限公司$函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课专题04立体几何中线面、面面平行与垂直问题目录A题型建模·专项突破题型01线面、面面平行与垂直小题题型02证明线面平行题型03线面平行的性质应用题型04证明面面平行题型05面面平行的性质应用题型06证明线面垂直题型07线面垂直的性质应用题型08证明面面垂直题型09面面垂直的性质应用B综合攻坚·能力跃升A题型建模·专项突破题型01线面、面面平行与垂直小题1.(多选)在正方体ABCD-ABCD中，M,N,P分别为AB,AC,AD的中点，则()A.MN∥ADB.平面MNP∥平面BC,DC.MN⊥CDD.平面MWP⊥平面A,BD2.(多选)已知m、n是不重合直线，a、B、Y是不重合平面，则下列命题中真命题是()A.若a1Y,B⊥Y,则a/BB.若aB,yIB,则y/ac.若a⊥B,m⊥B,则m/laD.若m⊥a,n⊥a,则m/n3.(多选)设a,B为两个平面，m,n为两条直线，且a∩B=m,则下列说法正确的是()A.若n/la或nB,则m/lnB.若m/1n,则n/1a或nlBC.若n⊥a或n上B,则m⊥n1/19学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课D.若m⊥n,则n⊥a或n上B4.(多选)已知三个不同的平面，F,Y和三条不同的直线m,n,1,下列命题中为真命题的是()A.若m∥n,m⊥a,则n⊥aB.若m∥n,m/1a,则n/1c.若∩B=m,nca,IcB,n/l,则m/1n/1lD.若a1y,B⊥Y,则a/Ip5.(多选)如图，在四棱锥M-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AM⊥平面ABCD,E,F,G分别是MC,MD,AD的中点，则()GBA.FG/I平面ABMB.AC⊥平面MBDC.平面EFG/I平面ABMD.平面MAD⊥平面MCD6.(多选)在正三棱台ABC-ABC中，D为BC的中点，则()A.AD∥ABB.AD∥平面ABCC.AD⊥ACD.BC⊥平面AAD题型02证明线面平行7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E,F分别为CD,PA的中点证明：EF/I平面PBC;8.如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为正方形，G,F分别是线段BD,EC的中点.求证：GF∥2/19函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课平面ABE.DGB9.如图所示，己知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线BD,AE上异于端点的动点，且BM=AN求证：直线MNII平面CDE:10.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=120°，AB=AC=4,PA=6,D,E,F,G,H分别为棱PC,PB,AB,BC,AC的中点，M,N分别为线段EF,AF上一点，且FN=2AN,FPM=FE（0≤1s1),当1=3时，证明：NH1/平面MGDE3/19函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课L.己形PRCD中，PDUBC?B为PD上的点且BE1 PD PE-B-1BC=-ED,将△PBB2沿BE翻折使得二面角P-BE-C的平面角为O,连接PC、PD,F为棱PD的中点，求证：FCII平面PBE.EB12.如图，在六面体ABCDEF中，侧面ADEF是直角梯形，AD L DE,AF∥DE,DE=2AF=2,底面ABCD是矩形，且BC+CD=3,设CD=t,二面角E-AD-C的大小为a,六面体ABCDEF的体积为'，求证：BF∥平面CDEB题型03线面平行的性质应用13.如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD,ADMN均为矩形，点E为线段AB上一点，且DM⊥平面ABCD.若BM/I平面NDE,求证：点E是AB的中点.MEB14.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，P为平面ABC外一点，E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为1，试判断直线I与平面PAC的位置关系，并加以证明.P4119函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课15.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AP=AD=4,AB=3,PA⊥平面ABCD.若平面PAD与平面PBC的交线为l,证明：BC/II;C16.在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD,△PAD是正三角形，DC∥AB,DA=DC=2ABD(1)求异面直线PC和AB所成角的大小：AE(2)若点E为棱PA上一点，且OE11平面PBC,求PE的值.17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，E,F分别是棱PD,PC上的点，BF∥平面ACE,且2PE=3ED求证：PF=)FCDA18.己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD,ABIICD,AB⊥BC,AB=BC=2CD,G是CD的中点E为pB的中点，F为PG上一点，EF∥平面PHD'证明：F为PG中点E5/19函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课题型04证明面面平行19.己知正方体ABCD-AB,CD,棱长为2，线段ADBC、BD的中点分别为点M、P、N.DABDDA(1)求证：平面MNP/平面CDD,C:20.如图，正三角形ABC'和平行四边形ABDE在同一个平面内，AB,DE的中点分别为F,G,将△ABC'沿直线AB翻折到△ABC,设CE的中点为H.求证：平面CDF∥平面AGH,G21.如图所示，四边形ABCD为菱形，DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCDECB(1)求证：平面ABF‖平面CDE;22.如图，在三棱柱ABC-4BC中，E,F分别为线段AC,AC上的点，AE=1AC,AF=元AC,元∈(0,1)66/19函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课(1)求证：EF/平面BCC,B.(2)在线段BC上是否存在一点G,使平面EFG//平面ABBA?请说明理由.题型05面面平行的性质应用23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD,E,F分别为棱BC,p1的中点，且pC=BC=CD=2∠ABc=8e0引0,2]证明：EF1平面pcDE24.如图所示，已知多面体ABCDEP的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,DE=LAP,1>0.证明：CE∥平面PAB25.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，7/19函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课DCNB1MAB(1)若DN=CM,求证：MN/平面ABB4.(2)求证：平面CDB/1平面AB,D,.26女园，三花维p-AC各校长均为1，测校上nER满是PD-D485天，线段C上的点G满足AG/I平面DEF,点Q在PC上，AQ/IDF.(1)求证：平面AQG1/平面DEF:(2)求证：QG/1EF:题型06证明线面垂直27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,点E是棱PB的中点.求证：AB⊥CE,8/19函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课B28.在如图的空间几何体CABMN中，∠ACB=90°，BC=AC,四边形ABMN为直角梯形，ABIIMN,∠MBA=90°，BM=1,AB=4,MN=2,CM=√7，D为BC的中点.D(1)证明：DM∥平面ACN;(2)证明：BM⊥平面CMN;29.如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱BC,CD上的动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF.证明：AE⊥平面PBFDB30.如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C,D为圆O上不与A,B重合的点，且PO=AB=2,BD=V3,AB⊥CD.求证：BDL平面POC;D、O==BD9119函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课31.如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD,B…C32.如图，在正方体ABCD-A'B'CD'中，E是AD的中点，BD与AC交于点O,AB与AB交于点G.D'ABCB(1)证明：OG∥平面BCCB:(2)证明：EG⊥平面ABC':题型07线面垂直的性质应用33.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点，M,N分别在AB,PC上，且MN⊥AB,MN⊥PC.证明：AE//MN.EDM34.如图所示，在正方体ABCD-A,BCD,中，EF与AC,AD都垂直相交，垂足分别是点F、点E.DCABED10/19