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专题2.2 平面向量的概念及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01平面向量的概念辨析题型02判定相等向量与共线向量题型03平面向量的加减运算题型04平面向量的数乘运算题型05平面向量的混合运算题型06平面向量模的几何意义题型07平面向量的数量积过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量概念的辨析 准确区分向量与数量的区别；相等向量与共线向量的概念，熟记特殊向量的定义，向量的模的概念，能判断命题真假 常在选择题第一题出现，考查对基本概念的理解，难度低，但易混淆 平面向量的运算 三角形法则、平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘的几何意义（伸缩与反向）；平面向量运算后模的几何意义。 基础题型，高频考点，与共线、三点共线结合紧密，是基底表示的基础 平面向量的数量积 熟练掌握数量积的两种计算方法；能求向量的夹角与投影；会用数量积证明垂直；处理最值问题 每年必考，是平面向量模块的核心，选择填空多考查夹角、模长。知识点01 平面向量的概念1、向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　2、特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量．④相反向量：长度相等且方向相反的向量知识点02 相等向量与共线向量 向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注意：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量知识点03 平面向量的运算1、 平面向量的加法运算三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线）2、 平面向量的减法运算三角形法则（共起点）3、 平面向量加减法运算律（1）交换律： （2）结合律：方法总结：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。4、 平面向量的数乘运算（1）定义：实数与平面向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．（2）运算律：分配律：；结合律：．知识点04 平面向量的数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．注意：数量积是数量，不是向量。2、数量积满足的运算律；（交换律）；（分配律）．3、平面数量积的性质设，是非零向量，是单位向量，则； ；或； ； 4、夹角：已知两个非零向量，，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．题型一 平面向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧对概念进行理解：1、 区别向量与数量的关键点是向量有方向，所以向量是不能比较大小的。但是可以判断相等。2、 向量是自由向量，可以自由移动，向量可以用有项线段来表示但是不能说有向线段是向量。3、 对特殊向量的认识，0向量也是向量，它的方向是任意的。单位向量是长度为1的，但是方向是不确定的，所以不是所有的单位向量都相等。4、对非零向量之间，平行是具有传递性的，若,则相等向量具有传递性。5、零向量比较特殊，规定它与任意向量都是平行的，所有这导致并不是所有的平行向量都具有传递性。6、单位向量只有方向相同的时候才能相等。模相等是向量相等的必要条件，模相等且方向相同时向量相等的充要条件。6、共线向量不一定是相等向量，但是相等向量一定是共线向量。易｜错｜点｜拨1、向量不能比较大小，但能判断是否相等。2、向量的方向任意，注意与0的区别3、向量是有大小跟方向，但是可以自由移动，没有起点跟终点，跟有向线段不一样。【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的有________．（填序号）①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；③向量可以比较大小；④体积、面积和时间都不是向量．【典例2】（25-26高一下·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ）A．向量的模都是正实数B．与表示的意义相同C．向量的大小与方向无关D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小【变式1】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列选项中，正确的是（）A．若，则能构成平行四边形B．在平行四边形中，C．若向量，满足，则或D．若非零向量与相等，则，重合【变式2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ）A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上B．若向量与平行，且，则或C．向量的长度与向量的长度相等D．单位向量都相等题型二 判定相等向量与共线向量 答｜题｜模｜板1、理解相等向量的定义，长度相等且方向相同的向量，两者都要具备。2、理解平行向量的概念，方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量都是平行的。平行向量也称共线向量，它是对方向有限制要求，对大小没有要求的。【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ）A．与 B．与C．与 D．与【典例2】（2026高一下·吉林长春·专题练习）在四边形ABCD中，，O是AC与BD的交点，则下列结论一定正确的是（   ）A． B． C．与共线 D．【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？题型三 平面向量的加减运算 答｜题｜模｜板1、 零向量与任意向量的和为该向量本身。2、 将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化。易｜错｜点｜拨1、 向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。2、 向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。3、理解向量的加减法的几何意义，所以可以用数形结合来解决平面向量的加减运算。【典例1】（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，中，等于（   ）A． B． C． D．【典例2】（25-26高一下·天津北辰·开学考试）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________．【变式1】（2026高一·全国·专题练习）设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（    ）A．向东南走 B．向西南走C．向东南走 D．向西南走【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ）A． B．C． D．题型四 平面向量的数乘运算 答｜题｜模｜板数乘运算 表示将向量伸缩变换：当 时，方向不变，长度变为原来的 倍当 时，方向相反，长度变为原来的倍当 时，结果为零向量核心：数乘本质是向量的缩放与反向，不改变向量的方向线（共线性）。【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ）①，时，与的方向一定相反；②，时，与的方向一定相同；③，时，与的方向一定相同；④，时，与的方向一定相反．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题是真命题的为（   ）A．对于实数与向量，与的和是向量B．对于非零向量，向量与向量方向相反C．对于非零向量，向量的模是向量的模的2倍D．若与共线，则存在实数，使得．【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍；(2)的方向与的方向相反，且的模是模的倍；(3)与是一对相反向量；(4)与是一对相反向量．【变式2】（25-26高一上·北京西城·期末）设，是向量，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型五 平面向量的混合运算 答｜题｜模｜板1、 熟悉向量加减法满足交换律，结合律，数乘运算的结合律、分配律。2、理解数乘运算的几何意义以及与共线之间的关系。易｜错｜点｜拨1、向量加减满足交换律，但数乘与加减混合时先算数乘2、减法运算注意指向： 指向被减向量【典例1】（25-26高一下·安徽六安·月考）（1）化简（2）设向量，，求．【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，其中，，为已知向量，则未知向量___________．【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）设，是未知向量，，为已知向量．(1)解方程；(2)解方程组.题型六 平面向量模的几何意义 答｜题｜模｜板1、 理解向量的模的定义。2、 ，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。易｜错｜点｜拨在用三角形法则理解加减运算找模之间关系的时候，不要漏了共线的情况。【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）下面命题中，正确的是（ ）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ）A．若，则与方向相同B．若，则与方向相反C．若，则与模相等D．若，则与方向相同【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各选项中，正确的是（   ）A． B． C． D．【变式2】（25-26高一下·全国·单元测试）设，是共线的单位向量，则的值（   ）A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2题型七 平面向量的数量积 答｜题｜模｜板1、 熟悉数量积公式，理解它与向量模长、夹角余弦值之间关系。2、 向量垂直与数量积之间的关系。3、模长、夹角可以通过数量积公式来求。【典例1】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）下面给出的关系式中正确的是（   ）A． B．C． D．【典例2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ）A．B．向量在方向上投影数量为C．数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积D．在中，，则的形状是钝角三角形【变式1】（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知．(1)若，求；(2)若，的夹角为，求；(3)若，求与的夹角为．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简__________．2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，且，则向量的方向（   ）A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反3．（多选）（25-26高一下·广东·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）下列选项中，错误的是（    ）A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形B．在平行四边形中，C．若向量，满足，则或D．若非零向量与相等，则B，C重合5．（2026高一下·北京·专题练习）下列命题中正确的是（   ）。A．若，则与的方向相同或相反B．若，，则C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点D．若，则期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ）A．若，则 B．，则C．若，且，则 D．若，则与不共线2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ）A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等C．与共线 D．如果与平行，那么或3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中错误的是（   ）A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量4．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）已知{与方向相同的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，下列关系中正确的是（    ）A． B．C． D．5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中．(1)与相等的向量有___________；(2)与共线的向量有___________．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ）A． B．C． D．2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的两条对角线与交于点E，O是平面内任意一点，请探究与的关系，并证明．3．（25-26高一下·重庆开州·月考）若平面向量模长相等，且，则（ ）A． B．0 C． D．4．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则_____________．5．（2026高一下·全国·专题练习）若，，，则的最大值是________． 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$ 专题2.2 平面向量的概念及运算（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01平面向量的概念辨析题型02判定相等向量与共线向量题型03平面向量的加减运算题型04平面向量的数乘运算题型05平面向量的混合运算题型06平面向量模的几何意义题型07平面向量的数量积过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量概念的辨析 准确区分向量与数量的区别；相等向量与共线向量的概念，熟记特殊向量的定义，向量的模的概念，能判断命题真假 常在选择题第一题出现，考查对基本概念的理解，难度低，但易混淆 平面向量的运算 三角形法则、平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘的几何意义（伸缩与反向）；平面向量运算后模的几何意义。 基础题型，高频考点，与共线、三点共线结合紧密，是基底表示的基础 平面向量的数量积 熟练掌握数量积的两种计算方法；能求向量的夹角与投影；会用数量积证明垂直；处理最值问题 每年必考，是平面向量模块的核心，选择填空多考查夹角、模长。知识点01 平面向量的概念1、向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　2、特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量．④相反向量：长度相等且方向相反的向量知识点02 相等向量与共线向量 向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注意：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量知识点03 平面向量的运算1、 平面向量的加法运算三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线）2、 平面向量的减法运算三角形法则（共起点）3、 平面向量加减法运算律（1）交换律： （2）结合律：方法总结：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。4、 平面向量的数乘运算（1）定义：实数与平面向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．（2）运算律：分配律：；结合律：．知识点04 平面向量的数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．注意：数量积是数量，不是向量。2、数量积满足的运算律；（交换律）；（分配律）．3、平面数量积的性质设，是非零向量，是单位向量，则； ；或； ； 4、夹角：已知两个非零向量，，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．题型一 平面向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧对概念进行理解：1、 区别向量与数量的关键点是向量有方向，所以向量是不能比较大小的。但是可以判断相等。2、 向量是自由向量，可以自由移动，向量可以用有项线段来表示但是不能说有向线段是向量。3、 对特殊向量的认识，0向量也是向量，它的方向是任意的。单位向量是长度为1的，但是方向是不确定的，所以不是所有的单位向量都相等。4、对非零向量之间，平行是具有传递性的，若,则相等向量具有传递性。5、零向量比较特殊，规定它与任意向量都是平行的，所有这导致并不是所有的平行向量都具有传递性。6、单位向量只有方向相同的时候才能相等。模相等是向量相等的必要条件，模相等且方向相同时向量相等的充要条件。6、共线向量不一定是相等向量，但是相等向量一定是共线向量。易｜错｜点｜拨1、向量不能比较大小，但能判断是否相等。2、向量的方向任意，注意与0的区别3、向量是有大小跟方向，但是可以自由移动，没有起点跟终点，跟有向线段不一样。【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的有________．（填序号）①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；③向量可以比较大小；④体积、面积和时间都不是向量．【答案】②④【分析】根据向量的定义结合温度没有方向判断命题①，根据作用力与反作用力的关系判断命题②，根据向量定义可得向量不能比较大小，判断命题③，根据向量的定义判断命题④.【详解】对于命题①，虽然温度有零上、零下之分，但不表示方向，故温度不是向量，①错误；对于命题②，作用力与反作用力是大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，②正确；对于命题③，向量既有大小又有方向，而方向没有大小之分，所以向量不能比较大小，③错误；对于命题④，体积、面积和时间都只有大小，没有方向，④正确．故说法正确的有②④．故答案为：②④.【典例2】（25-26高一下·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ）A．向量的模都是正实数B．与表示的意义相同C．向量的大小与方向无关D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小【答案】C【分析】根据向量的概念即可判断.【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误；对于B：，两个向量为相反向量，模相等，方向相反，故B错误；对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确；对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误.故选：C.【变式1】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列选项中，正确的是（）A．若，则能构成平行四边形B．在平行四边形中，C．若向量，满足，则或D．若非零向量与相等，则，重合【答案】BD【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D.【详解】若，四点可能共线，故选项A错误；在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B正确；由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误；若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确.故选：BD【变式2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ）A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上B．若向量与平行，且，则或C．向量的长度与向量的长度相等D．单位向量都相等【答案】ABC【分析】根据向量共线的定义即可判断A，B，根据模的定义即可判断C，根据单位向量的定义可判断D.【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确．对于B， ，，都是非零向量，，与的方向相同或相反，即或．故B正确．对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确．对于D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故D错误．故选：ABC．题型二 判定相等向量与共线向量 答｜题｜模｜板1、理解相等向量的定义，长度相等且方向相同的向量，两者都要具备。2、理解平行向量的概念，方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量都是平行的。平行向量也称共线向量，它是对方向有限制要求，对大小没有要求的。【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】利用相等向量的概念一一判断.【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分.对于A：与不平行，不可能相等，故A错误；对于B：与大小相同，方向相反，故B错误；对于C：与不平行，不可能相等，故C错误；对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量．故选：D【典例2】（2026高一下·吉林长春·专题练习）在四边形ABCD中，，O是AC与BD的交点，则下列结论一定正确的是（   ）A． B． C．与共线 D．【答案】AC【分析】由向量相等判定四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质判断选项即可.【详解】在四边形ABCD中，，则四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，故A正确，平行四边形对角线不一定相等，故B错误，平行四边形另一组对边也平行，故与共线，C正确；平行四边形对角线不一定相等，故D错误.【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【答案】(1)，，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；（2）根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.【详解】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，所以四边形为平行四边形，所以.所以与向量共线的向量为：，，.（2）证明：在平行四边形中，，.因为，分别是，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，，故.【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？【答案】(1)，，(2)，，，，，，，，(3)不相等【分析】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可；（2）根据共线向量的定义结合图象判断即可；（3）根据向量相等的定义判断.【详解】（1）与相等的向量：，，．（2）与共线的向量：，，，，，，，，．（3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等．题型三 平面向量的加减运算 答｜题｜模｜板1、 零向量与任意向量的和为该向量本身。2、 将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化。易｜错｜点｜拨1、 向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。2、 向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。3、理解向量的加减法的几何意义，所以可以用数形结合来解决平面向量的加减运算。【典例1】（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，中，等于（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可．【详解】从题图上可看出，，而．故选：C．【典例2】（25-26高一下·天津北辰·开学考试）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________．【答案】 【分析】根据向量的加法与减法计算即可.【详解】因为是对角线的交点，所以，.因为，所以.由向量加法的平行四边形法则可知，.所以.【变式1】（2026高一·全国·专题练习）设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（    ）A．向东南走 B．向西南走C．向东南走 D．向西南走【答案】A【分析】根据题意利用向量加法的可交换性与意义即可得解.【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，等价于向东南走.【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确，由，故D错误．故选：ABC.题型四 平面向量的数乘运算 答｜题｜模｜板数乘运算 表示将向量伸缩变换：当 时，方向不变，长度变为原来的 倍当 时，方向相反，长度变为原来的倍当 时，结果为零向量核心：数乘本质是向量的缩放与反向，不改变向量的方向线（共线性）。【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ）①，时，与的方向一定相反；②，时，与的方向一定相同；③，时，与的方向一定相同；④，时，与的方向一定相反．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据数乘向量的定义和性质进行判断.【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向，当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确．故选：D【典例2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题是真命题的为（   ）A．对于实数与向量，与的和是向量B．对于非零向量，向量与向量方向相反C．对于非零向量，向量的模是向量的模的2倍D．若与共线，则存在实数，使得．【答案】BC【分析】根据向量数乘的性质，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A, 为实数，故A错误，对于B, 向量与向量方向相反,B正确，对于C, 为非零向量，则向量的模是向量的模的2倍，C正确，对于D,若为零向量，而为非零向量，则此时不存在实数，满足，D错误，故选：BC【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍；(2)的方向与的方向相反，且的模是模的倍；(3)与是一对相反向量；(4)与是一对相反向量．【答案】(1)真命题，理由见解析(2)真命题，理由见解析(3)真命题，理由见解析(4)假命题，理由见解析【分析】（1）根据平面向量数乘的几何意义进行判断即可；（2）根据平面向量数乘的几何意义进行判断即可；（3）根据相反向量的定义进行判断即可；（4）根据相反向量的定义进行判断即可.【详解】（1）真命题．理由如下：与方向相同，且．（2）真命题．理由如下：与同方向，与同方向，由于与反方向，故与反方向，又，，所以的模是模的倍；（3）真命题．理由如下：．故与是一对相反向量；（4）假命题．理由如下：与是一对相反向量，与是一对相反向量，与是相等向量．【变式2】（25-26高一上·北京西城·期末）设，是向量，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知.【详解】由数乘定义可知，若，则；若，表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同，所以由推不出，综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A题型五 平面向量的混合运算 答｜题｜模｜板1、 熟悉向量加减法满足交换律，结合律，数乘运算的结合律、分配律。2、理解数乘运算的几何意义以及与共线之间的关系。易｜错｜点｜拨1、向量加减满足交换律，但数乘与加减混合时先算数乘2、减法运算注意指向： 指向被减向量【典例1】（25-26高一下·安徽六安·月考）（1）化简（2）设向量，，求．【答案】（1）；（2）【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式，因为，，所以原式．【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据向量加法、数乘向量的运算律化简即可.【详解】，故①正确；，故②错误；，故③正确；，故④正确.故选：C【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，其中，，为已知向量，则未知向量___________．【答案】【分析】根据向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】，，，．故答案为：【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）设，是未知向量，，为已知向量．(1)解方程；(2)解方程组.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，（2）解方程组即可得解.【详解】（1）原方程可变为．即，则．（2）把第一个方程的左、右两边乘以，可得，然后与第二个方程相减，得，从而．代入原来第二个方程得．即题型六 平面向量模的几何意义 答｜题｜模｜板1、 理解向量的模的定义。2、 ，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。易｜错｜点｜拨在用三角形法则理解加减运算找模之间关系的时候，不要漏了共线的情况。【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）下面命题中，正确的是（ ）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据向量概念，向量的模长及向量相等，相反向量的概念逐一判断各个选项即可.【详解】对于， ，故选项错误；对于，向量无法比较大小，故选项错误；对于，若，则两向量反向，且，故选项正确；对于，若，则，故选项错误.故选：C【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ）A．若，则与方向相同B．若，则与方向相反C．若，则与模相等D．若，则与方向相同【答案】ABD【分析】根据平面向量的平行四边形或三角形法则逐项判断即可.【详解】如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当，不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有．当，同向时有，，所以A,D正确，C错误．当，反向时有，，所以B正确．故选：ABD.【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各选项中，正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的定义与性质分析各选项即可.【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同，不能保证向量相等，故A错误；对于B：向量不能比较大小，故B错误；对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量，即，故C正确；对于D：向量不能等于数字0，故D错误.故选：C【变式2】（25-26高一下·全国·单元测试）设，是共线的单位向量，则的值（   ）A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2【答案】D【分析】根据题意，分两个向量同向时和反向进行讨论即可．【详解】与是共线的单位向量，∴，当两个向量同向时，，则；当两个向量反向时，，则．故选：D．题型七 平面向量的数量积 答｜题｜模｜板1、 熟悉数量积公式，理解它与向量模长、夹角余弦值之间关系。2、 向量垂直与数量积之间的关系。3、模长、夹角可以通过数量积公式来求。【典例1】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）下面给出的关系式中正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据平面向量的数量积的概念及运算对各个选项逐一分析即可求解.【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确；由平面向量的交换律可知，，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：ABC【典例2】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ）A．B．向量在方向上投影数量为C．数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积D．在中，，则的形状是钝角三角形【答案】ABCD【分析】利用垂直向量的数量积关系可判断A选项；利用平面向量数量积的几何意义可判断BC选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，向量在方向上投影数量为，B对；对于C选项，数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，C对；对于D选项，在中，，所以，又因为，故，即为钝角，故为钝角三角形，D对.故选：ABCD.【变式1】（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.【答案】【分析】由图结合数量积几何意义可得答案.【详解】 .如图，过点O作于点E，于点F.根据数量积的几何定义，得.【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知．(1)若，求；(2)若，的夹角为，求；(3)若，求与的夹角为．【答案】(1)或(2)(3)【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得；(2)根据向量模的求法及数量积计算可得；(3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角.【详解】（1）若，则与的夹角为0或．所以或．（2）因为，所以．（3）若，则，即，所以，即，所以，又，所以．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简__________．【答案】【详解】.2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，且，则向量的方向（   ）A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反【答案】A【分析】根据共线向量的方向相同或相反，结合模长即可求解.【详解】因为且，所以当，同向时，的方向与相同；当，反向时，因为，所以的方向仍与相同．故选：A.3．（多选）（25-26高一下·广东·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据向量的定义可判断A、B的正误；根据零向量的定义可判断C的正误；根据平行向量的定义可判断D的正误．【详解】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误；向量相等，长度一定相等，B正确；长度为0的向量是零向量，C正确；相反向量一定是平行向量，D正确．4．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）下列选项中，错误的是（    ）A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形B．在平行四边形中，C．若向量，满足，则或D．若非零向量与相等，则B，C重合【答案】ABC【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D.【详解】若，四点可能共线，故选项A错误；在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误；由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误；若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确.5．（2026高一下·北京·专题练习）下列命题中正确的是（   ）。A．若，则与的方向相同或相反B．若，，则C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点D．若，则【答案】D【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误；若，则，成立，但不一定成立，故B错误；若，则四点可能共线，故C错误；由相等向量的定义可知，D正确.期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ）A．若，则 B．，则C．若，且，则 D．若，则与不共线【答案】A【分析】根据向量及共线向量的定义判断.【详解】由向量相等的定义知选项A正确；向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误；当时，与不一定平行，选项C不正确；可以是但与的模不相等，选项D不正确.故选：A.2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ）A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等C．与共线 D．如果与平行，那么或【答案】AD【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可．【详解】由，为两个单位向量，，故A正确；如果与平行，则当与同向时，；则当与反向时，；即如果与平行，那么或，故B错误，D正确；，为两个单位向量，仅模长相等，但不一定共线，故C错误．故选：AD．3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中错误的是（   ）A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量【答案】ABC【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确．故选：ABC．4．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）已知{与方向相同的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，下列关系中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用向量的定义，方向相同，方向相反的向量，结合集合间的关系和集合交集运算逐项判断即可.【详解】由题意，所以A选项错误，又，故，C选项正确；因为，故B选项正确，D选项正确；故选：BCD.5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中．(1)与相等的向量有___________；(2)与共线的向量有___________．【答案】(1)、(2)、、【分析】（1）根据相等向量的定义求解；（2）根据共线向量的定义求解.【详解】（1）由向量相等的定义可得，与相等的向量有、；（2）由共线向量的定义可得，与共线的向量有、、.期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项.【详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确；对于B，根据向量减法可知，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误.故选：D2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的两条对角线与交于点E，O是平面内任意一点，请探究与的关系，并证明．【答案】，证明见解析【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质与向量的加法法则推理即得.【详解】．证明如下：是对角线和的交点，．，，，，．3．（25-26高一下·重庆开州·月考）若平面向量模长相等，且，则（ ）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】因为，则，两侧同时平方，再由平面向量模长相等求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，因为平面向量模长相等，设，所以，所以解得.4．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则_____________．【答案】/【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得.【详解】因为向量，的夹角为，，，.，，解得．故答案为：.5．（2026高一下·全国·专题练习）若，，，则的最大值是________．【答案】2【分析】解法1：化简，令，可得配方即可求解；解法2：作出示意图，结合正弦定理求解即可.【详解】解法1：由，，，得．令，则，所以．故所求最大值为2．解法2：如图，设,,则，易知，故所求最大值为2．故答案为： 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$