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专题2.3 平面向量数量积与坐标表示（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01求平面向量的数量积题型02利用平面向量数量积求模长题型03平面向量模的几何意义题型04利用平面向量数量积求夹角题型05平面向量夹角与数量积关系题型06平面向量数量积与投影向量题型07平面向量的坐标运算题型08平面向量数量积的坐标运算题型09平面向量数量积的最值过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数量积的运算 熟练根据已知条件选择定义式或坐标式；掌握几何图形中利用投影求数量积的方法；能处理含参数的数量积运算 重点必考，选择填空直接考查计算，解答题作为中间步骤，难度中等 模长与夹角 能熟练运用平方技巧求模长；掌握夹角公式并注意角度范围；会用垂直关系建立方程求参数 高频考点，常与最值结合考查，夹角问题需注意的范围限制 平面向量的投影 区分投影（数量）与投影向量（向量）的本质区别；能根据几何意义快速求解；会用投影解决距离和最值问题 多在选择填空中出现，需准确理解投影的几何意义，易混淆概念 坐标表示 熟练建立坐标系将几何问题代数化；掌握坐标形式下的所有向量运算；能根据条件设未知点坐标列方程求解 贯穿所有题型，是向量运算的终极工具，选择填空题中用坐标法可大幅简化计算 数量积的最值与范围 理解数量积的几何意义（投影与模的乘积）；能灵活运用数形结合求范围；熟练掌握求数量积常用的几种方法。 难度较高，常在压轴小题出现，综合性强，需根据题目特征选择代数法或几何法知识点01 平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．注意：数量积是数量，不是向量。2、数量积满足的运算律；（交换律）；（分配律）．知识点02 平面向量数量积的应用1、利用数量积求模长如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长2、利用数量积求夹角根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角3、向量的投影：向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长：知识点03 平面向量数量积的最值与范围 1、 直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。2、 利用极化恒等式来求数量积的最值。(1) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.(2) 极化恒等式 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。知识点04 平面向量的坐标表示 1、平面向量的直角坐标运算①已知点，，则，②已知，，则，，2、已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一 求平面向量的数量积 解｜题｜技｜巧1、直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积，在计算的过程中注意向量夹角，没有注意向量方向可能会误导夹角的大小。2、基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。【典例1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________.【答案】【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可.【详解】由题意如图所示：由，，因为，所以，所以，故答案为：.【典例2】（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.【答案】【分析】由图结合数量积几何意义可得答案.【详解】 .如图，过点O作于点E，于点F.根据数量积的几何定义，得.【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，，是的中点，求的值.【答案】【详解】【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知与的夹角为，求.【答案】【详解】题型二 利用平面向量数量积求模长 答｜题｜模｜板利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ）A．10 B．100 C．11 D．121【答案】A【分析】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可.【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且，所以.故选：A.【典例2】（2026高一下·北京·专题练习）已知，，则的取值范围是________【答案】【分析】由，根据向量数量积运算律计算即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，即，故的取值范围是.【变式1】（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ）A．4 B．2 C．8 D．【答案】A【分析】由两边平方可得，，由此可求结论,【详解】由，所以，所以，，所以，又，所以．【变式2】（2026高一·全国·专题练习）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______.【答案】2【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出.【详解】，，，即，在上的投影向量为，则，整理得：，化简得：，，，由可得，因，则，由，令，时，，，，解得：.题型三 平面向量模的几何意义 答｜题｜模｜板1、 理解向量的模的定义。2、 ，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。也可以从数量积的角度去计算可得。【典例1】（2026高一·全国·专题练习）若非零不共线向量满足，则（    ）.A． B．C． D．【答案】C【分析】把，平方得，再平方作差比较各个选项即可.【详解】由已知条件，两边平方得：即，所以.对于选项A和B，，由已知条件无法确定与的关系，故无法确定正负，故AB错误；对于选项C和D，，所以，即，故选项C正确，D错误.故选：C【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求的取值范围．[思路点拨]．【答案】【分析】根据可得【详解】，，即的取值范围是．【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项.【详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确；对于B，根据向量减法可知，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误.故选：D【变式2】（25-26高三下·天津·月考）设和的夹角为，则是为锐角的（    ）条件A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】化简得到，结合模的运算公式，求得，由数量积的运算公式，求得，得到，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为，则由，可得，可得，即，所以，则，所以，因为，可得，所以为锐角或零度角，所以是为锐角的必要不充分条件.题型四 利用平面向量数量积求夹角 答｜题｜模｜板利于向量数量积公式=来计算向量的夹角。【典例1】（25-26高一下·河南许昌·月考）已知向量满足，，，，则__________.【答案】/【分析】将中的移项平方，则可求解.【详解】由得，则，又，，，则，解得.【典例2】（25-26高一下·重庆开州·月考）若平面向量模长相等，且，则（ ）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】因为，则，两侧同时平方，再由平面向量模长相等求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，因为平面向量模长相等，设，所以，所以解得.【变式1】（多选）（25-26高一上·河北唐山·月考）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（   ）A． B．C． D．与的夹角是钝角【答案】BC【分析】利用平面向量的数量积运算可判断AB选项的正误；作，，，分析得出点的轨迹，求出的最大值，可判断C；以、为邻边作平行四边形，求出取最大值时点的位置，可判断D.【详解】对于A，，故，故A错误；对于B选项，，故，故B正确；对于CD选项，作，，，则，，因为，所以，故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示：设线段的中点为点，则，，所以，，故C正确；以、为邻边作平行四边形，则，则为向量与的夹角，当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值，连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，故D错误.【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____.【答案】/【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可.【详解】因为，所以，展开整理得，由得，所以，所以，则，设向量与的夹角为，则，又，所以．题型五 平面向量夹角与数量积关系 答｜题｜模｜板1、 2、有关向量夹角的两个结论(1)若与的夹角为锐角，则；若，则与的夹角为锐角或0.(2)若与的夹角为钝角，则；若，则与的夹角为钝角或π.。【典例1】（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则_____________．【答案】/【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得.【详解】因为向量，的夹角为，，，.，，解得．故答案为：.【典例2】（多选）（25-26高一上·河北保定·期末）下列命题正确的是（   ）A．在中，，则的形状一定是直角三角形B．平行四边形中，若，则四边形是矩形C．若，，，四点在同一条直线上，且，则D．在中，若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABD【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断.【详解】对于A，由，可得，所以，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故A正确；对于B，由可得，所以，所以，所以，所以四边形是矩形，故选项B正确；对于C，依题意如图，但，故C错误；对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确.故选：ABD.【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）（1）若，试判断三角形的形状；（2）若M为所在平面内一点，且满足，试判断的形状．【答案】（1）直角三角形（2）等腰三角形【分析】（1）由题意得，即，即可判断；（2）由题意得，，所以，即可判断.【详解】（1），，即，∴三角形是直角三角形．（2）由，可得．又．，即．所以，由此可得是等腰三角形．【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，若，，则四边形为（   ）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】D【分析】由平面向量的运算性质求解．【详解】，．，，∴四边形是菱形．故选：D题型六 平面向量数量积与投影向量 答｜题｜模｜板根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。1、向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0.2、向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 3、的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积.【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为4的等边三角形，则在上的投影数量为___________．【答案】2【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义直接求解.【详解】依题意，在上的投影数量为．故答案为：2【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则在方向上的投影数量为___________．【答案】4【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可.【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为．故答案为：.【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线．求：(1)；(2)在上的投影的数量；(3)在上的投影的数量．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用菱形对角线垂直平分及边长关系，结合向量数量积公式与夹角余弦值求解；（2）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算；（3）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算；【详解】（1）根据菱形的性质得，为直角三角形，且．．（2）在上的投影的数量为．（3）在上的投影的数量为．【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且与的夹角，则向量在向量上的投影向量的长度为________．【答案】【分析】根据向量数量积的几何意义，结合题中数据，即可求出结果.【详解】由已知，，，所以向量在向量上的投影向量的长度为．故答案为：.题型七 平面向量的坐标运算 答｜题｜模｜板建立坐标系将几何问题代数化，所有向量关系均转化为坐标方程求解，是最通用、最不易出错的方法。【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，和，试用坐标来表示和．【答案】，【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意得，，，【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________．【答案】 【分析】设为坐标原点，由结合向量减法的三角形法则将用表示，将用表示，利用向量的坐标公式求解即可得到点的坐标．由且在的延长线上得到．设，利用向量的坐标公式得到的方程组，解得的值，从而得到点的坐标.【详解】设为坐标原点，，．．点的坐标为．又，且在的延长线上，．设，则，得，得，∴点的坐标为.故答案为：，.【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果.【详解】由题意可得，因为边的中线为，所以，因为P为上靠近A的三等分点，所以，所以点P的坐标为.故选：B.【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．．【答案】【分析】由与，利用向量的运算法则，即可求解.【详解】，因为点是的中点，所以，所以．因为，所以．故答案为：题型八 平面向量数量积的坐标运算 答｜题｜模｜板数量积：对应坐标乘积之和， ，用于求夹角、模长、垂直判定。【典例2】（多选）（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知向量，，则（    ）A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 【答案】AD【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出，的关系，进而可判断D.【详解】因为，，所以，，对于A选项，若，则，所以，故A正确；对于B选项，若，则，所以，又，解得或，故B错误；对于C选项，，其中，当时，取得最大值，故C错误；对于D选项，若，则，即，所以，所以，故D正确.【典例2】（多选）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知向量，，下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则在上投影向量的模为 D．若，则【答案】ACD【分析】根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；对于B选项，当时，，故B选项不正确；对于C选项，若，在上的投影向量为，于是在上的投影向量的模为，故C选项正确；对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确．【变式1】（多选）（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知向量，，，则（   ）A．B．，使得C．，使得D．，使得【答案】ABC【分析】对A，根据条件，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对B，根据条件，利用向量共线的坐标表示，即可求解；对C，根据条件，利用向量的模长计算公式，即可求解；对D，根据条件，利用向量夹角的坐标表示，即可求解.【详解】对于A，因为，，所以，则，故A正确，对于B，因为，，若，则，即，所以，使得，故B正确，对于C，因为，所以，由，整理得，解得，所以，使得，故C正确，对于D，因为，若，则，解得，不合题意，所以不存在，使，故D错误，故选：ABC.【变式2】（多选）（25-26高一下·全国·期中）已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ）A．不论取何值都有 B．存在实数，使C．存在实数，，使 D．存在实数，，使【答案】AD【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD.【详解】对于A，任意实数，，则，A正确；对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误；对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误；对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确.故选：AD题型九 平面向量数量积的最值 答｜题｜模｜板在求向量数量积最值问题时，定义法、转换基底跟极化恒等式、投影向量使用比较广泛。1、利用定义求数量积的最值，根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积2、转换基底：将要求的向量用向量基本定理、共线定理换成题目已知条件的向量，然后再求数量积。3、极化恒等式：在中，若为的中点，.4、投影向量：根据数量积公式的几何意义，利用投影向量或投影数量来处理数量积的最值问题。【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________．【答案】/0.375【分析】建立向量基底并用基底表示目标向量，计算并化简，再利用基本不等式求最大值．【详解】设，，，，，即，故，，，由基本不等式得，，故，当且仅当时取等号，，故的最大值为．【典例2】（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】在边长为2的正方形中，，设，，而，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.【变式1】（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________.【答案】【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解.【详解】 , 与所成的夹角为令，则当时，的最大值为.故答案为：.【变式2】（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ）A． B．21 C．24 D．40【答案】D【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.【详解】根据题意可得，所以，又因为，，所以，，设，则，所以，，所以令，在上单调递增，在上单调递减，故最大值为40，故选：D．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）已知平面向量，若，则（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【详解】由，可得，解得.2．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知向量，若，则_________．【答案】【详解】因为，所以，又，所以，解得．3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角为，则（   ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由数量积公式求解即可.【详解】由题意得.故选：A．4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由数量积的定义求得，再通过即可求解；（2）通过即可求解.【详解】（1）由已知，．，．（2）．4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量的投影向量公式进行求解．【详解】向量在方向上的投影向量为．故选：B5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小．【答案】【分析】通过向量垂直，数量积为0，列出等式，结合向量数量积的定义即可求解.【详解】，．即．，，设向量与的夹角为，．．又．与的夹角为．期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（多选）（河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题）已知向量，满足，，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．向量与的夹角为D．存在非零实数，使得【答案】ABC【分析】先求得向量，的坐标表示，再由向量数量积，共线，垂直的坐标运算求解即可.【详解】因为，，所以，所以，，对于A选项，， ，所以，故A正确；对于B选项，，所以，故B正确；对于C选项，，，设向量与的夹角为，则，所以向量与的夹角为，故C正确；对于D选项，若，则，，，则，解得，故D错误.2．（多选）（2026届河北省部分高中高三一模考试数学试题）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）A． B．在上的投影向量为C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 【答案】AC【详解】对A，，则，故A正确；对B，在上的投影向量为，故B错误；对C，与夹角的余弦值为，故C正确；对D，，若与垂直，则，解得，故D错误.3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知．(1)若，求；(2)若，的夹角为，求；(3)若，求与的夹角为．【答案】(1)或(2)(3)【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得；(2)根据向量模的求法及数量积计算可得；(3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角.【详解】（1）若，则与的夹角为0或．所以或．（2）因为，所以．（3）若，则，即，所以，即，所以，又，所以．4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据方程有实根及向量的数量积求解即可.【详解】因为关于的方程有实根，所以，因为，所以，，所以，即与的夹角的取值范围是．故选：B5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.【答案】4【分析】由求得，计算即可得出的结果.【详解】∵向量在向量上的投影向量为，∴，∴，，则，∴.故答案为：4期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值.【详解】平方去绝对值号，由，则，根据向量与的条件可得，化简可得，令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，即，又，则的最小值为2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（   ）A．B．向量在方向上投影数量为C．数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积D．在中，，则的形状是钝角三角形【答案】ABCD【分析】利用垂直向量的数量积关系可判断A选项；利用平面向量数量积的几何意义可判断BC选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，向量在方向上投影数量为，B对；对于C选项，数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，C对；对于D选项，在中，，所以，又因为，故，即为钝角，故为钝角三角形，D对.故选：ABCD.3．（2026高一下·全国·专题练习）已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________．【答案】/【分析】采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案.【详解】因为 ，所以 ，则，固定， 又因为，依次类推画出图象，如图所示：,,,,.则，或1，，或2，. 的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值， .故答案为：.4．（2026高一下·全国·专题练习）若向量，满足，，且对任意的单位向量满足，求的最大值和最小值．【答案】最大值为，最小值为【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果.【详解】先求最大值．由题意知，则恒成立，从而，所以．平方得，所以．再求最小值．易得，则，从而，所以．平方得，所以．综上知的最大值为，最小值为．5．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______.【答案】 1 【分析】①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值.【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得，展开化简得.因为，所以.所以，设向量的夹角为时，，所以，所以.由于取最小值时，取最大值，所以此时，所以.因为，所以.所以.令 ，则 ，令 ，则 .由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 .故答案为：①1；②. 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$函学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课专题2.3平面向量数量积与坐标表示（期中复习讲义）内容导航明。期中考清把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破。重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01求平面向量的数量积题型02利用平面向量数量积求模长题型03平面向量模的几何意义题型04利用平面向量数量积求夹角题型05平面向量夹角与数量积关系题型06平面向量数量积与投影向量题型07平面向量的坐标运算题型08平面向量数量积的坐标运算题型09平面向量数量积的最值过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效明·期中考情核心考点复习目标考情规律数量积的运算熟练根据已知条件选择定义式或坐标重点必考，选择填空直接考查计算，解答题式；掌握几何图形中利用投影求数量积的作为中间步骤，难度中等方法；能处理含参数的数量积运算模长与夹角能熟练运用平方技巧求模长；掌握夹角公高频考点，常与最值结合考查，夹角问题需式并注意角度范围；会用垂直关系建立方注意日∈[0，π]的范围限制程求参数平面向量的投影区分投影（数量）与投影向量（向量）的多在选择填空中出现，需准确理解投影的几本质区别；能根据几何意义快速求解；会何意义，易混淆概念用投影解决距离和最值问题1/12命学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课坐标表示熟练建立坐标系将几何问题代数化；掌握贯穿所有题型，是向量运算的终极工具，选坐标形式下的所有向量运算；能根据条件择填空题中用坐标法可大幅简化计算设未知点坐标列方程求解数量积的最值与理解数量积的几何意义（投影与模的乘难度较高，常在压轴小题出现，综合性强，范围积)；能灵活运用数形结合求范围；熟练需根据题月特征选择代数法或几何法掌握求数量积常用的几种方法。记·必备知识局知识点01平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a,,则cos(京，)叫做，的数量积，记作，即a6=cos(a,).零向量与任何向量的数量积为0，特别地，京·a=2注意：数量积是数量，不是向量。2、数量积满足的运算律()6=λ(ab):a6=6言（交换律）：a(6+)=京6+京：（分配律）.局知识点2平面向量数量积的应用1、利用数量积求模长如果知道京石的模长，以及京向量夹角：则可以极据|a士=a士)-=V骨士+子求a±向量的模长2、利用数量积求夹角根据C0s(司)=語可以求向量夹角的余弦值，从面可以求向量的夹角五3、向量的投影：a.b向量a在b上的投影向量：.B=lal.cose.同，其中同是与6同方向的单位向量向量ā在b上的投影向量模长：同知识点03平面向量数量积的最值与范围2/12画学科网·上好课www.zxxk.com上好每一堂课1、直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。2、利用极化恒等式来求数量积的最值。①)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：目++信-=2+的②极化恒等式a=引（京+）2（京-）]3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式A·AC=AB|川AC]cos<AB,AC>,如其中有一边AB为固定的长度，则直接根据|AC|cos<AB,AC>(可看做是AC在AB边上的投影数量)来决定数量积的范围。圆知识点04平面向量的坐标表示1、平面向量的直角坐标运算①已知点A名，y·x,y)·则丽=(x，yy),-刘+万②已=(xy方-(xy)小则士6=（土，y:±y,小痘=(xy2、已知非零向量a=(x1,y),b=(x2,y,8为向量a、b的夹角。结论几何表示坐标表示模la-aaa=vx2+y2数量积a·b=lalbcose8a·b=x12+yy2coscos0=xaty V:夹角Vityivy:a⊥b的充要条件a.b=0X1K2+yY2=0a‖b的充要条件a=b(b≠0)X12+yY2-0Xx2+yysa·b与ab的关系a·b≤abl(当且仅当a‖b时等号成立)+yV好+y3/12命学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课破·重难题型它题型一求平面向量的数量积解|题|技|巧1、直接利用平面向量数量积的定义和运算律来求平面向量数量积，在计算的过程中注意向量夹角，没有注意向量方向可能会误导夹角的大小。2、基底法求数量积：将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。【典例1】(25-26高一上河北石家庄期末)已知在矩形ABCD中，AB=2√2，点E是边BC的中点，则AE+AC.AB=【典例2】(2026高一下·广东深圳专题练习)已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则AO.BC=【变式1】(25-26高一下，全国·课堂例题)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,∠BAD=60°，E是CD的中点，求AE.BD的值【变式2】(25-26高一下·全国课堂例题)已知=2，=3，a与6的夹角为120°，求(2ā-万)a+36)☑题型二利用平面向量数量积求模长答|题模|板利用a=√a·ā及(a±)=a±2a.方+2，把向量的模的运算转化为数量积运算；利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。【典例1】(25-26高一下·全国课后作业)己知ā，6方向相同，且a=3,b=4,则12ā+6=()A.10B.100C.11D.121【典例2】(2026高一下北京专题练习)已知AB=3,4C=2,则BC的取值范围是【变式1】(2026高一下江苏南京.专题练习)已知向量ā，b满足|=3，且a+b曰ā-b=5,则b1的值为()A.4B.2C.8D.-2【变式2】(2026高一全国专题练习)若a与无是平面内的两个非零向量，a-26=a+,a-b在a上的投影向量为0，且当1eR时，后-可=5，则4/12西学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课它题型三平面向量模的几何意义答|题模|板1、理解向量的模的定义。2、川a-b川≤a士b≤a+b,对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。也可以从数量积的角度去计算可得。【典例1】(2026高一全国专题练习)若非零不共线向量ā，6满足ā+=，则().A.2a>2a+BB.2a<2a+BC.>a+28D.|25<a+2b【典例2】(25-26高一下全国课堂例题)已知d=3,=4,求a-的取值范围.[思路点拨]-sa±s+.【变式1】(25-26高一下·全国·课堂例题)在平行四边形ABCD中，下列关系式不正确的是()A.AC=AB+ADB.DB=AB-ADC.aCP+DBP=2(4BP+ADP)D.AC=D【变式2】(25-26高三下，天津·月考)设4C和BC的夹角为0，则AB+2BC>AC-BC是0为锐角的()条件A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型四利用平面向量数量积求夹角答|题模板利于向量数量积公式cos0_a·方来计算向量的夹角。【典例1】(25-26高一下河南许昌月考)已知向量a,6,c满足a+6+=0,=2,=2,l=1,则cos <a,c>=【典例2】(25-26高一下.重庆开州月考)若平面向量a,b,c模长相等，且ā+2b+√5c=0,则cos(a,c)=A.B.0C.5D.255555/12函学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课【变式1】（多选）(25-26高一上河北唐山月考)已知ā、6是平面上夹角为的两个单位向量，在该2平面上，且（ā-c)1(石-c),则下列结论中正确的有(）A.a+6=1B.a-b =1c.l<5D.a+b与c的夹角是钝角【变式2】(2026高一.全国.专题练习)已知非零向量a,b满足a+b=a-b=2a,则向量无与b-a的夹角为它题型五平面向量夹角与数量积关系答|题模|板1、a⊥b曰a:b=02、有关向量夹角的两个结论(1)若与6的夹角为锐角，则主·6>0：若a·石>0，则与6的夹角为锐角或0.(2)若a与的夹角为钝角，则·<0；若<0，则与b的夹角为钝角或π.。【典例1】(2026高一下全国专题练习)已知向量ā，6的夹角为60°，1=1，=2，若(a+ub)⊥(2a+b),则4=【典例2】（多选）(25-26高一上河北保定期末)下列命题正确的是()A.在ABC中，(BC+BAAC=AC,则ABC的形状一定是直角三角形B.平行四边形ABCD中，若AB+AD=AD-AB,则四边形ABCD是矩形C.若A,B,C,D四点在同一条直线上，且AB=CD,则AB=CDCACBD.在ABC中，若CP=入则P点的轨迹经过ABC的内心ciCB【变式1】(25-26高一下·全国课后作业)(1)若AB.BC+AB=0,试判断三角形ABC的形状：(2)若M为ABC所在平面内一点，且满足(MB-MC)·(MB+MC-2MA)=0,试判断ABC的形状.【变式2】(25-26高一下·全国课堂例题)在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC.BD=0,则四边形为()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形它题型六平面向量数量积与投影向量6/12西学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课答|题模|板b根据投影向量公式，向量ā在上的投影向量：公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。1、向量的投影数量：向量a在b方向上的投影数量为acos0,当日为锐角时，它是正数；当日为钝角时，它是负数：当日为直角时，它是02、向量的投影向量：向量a在b方向上的投影向量为cos日3、a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度a与b在a方向上射影blcose的乘积【典例1】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知ABC是边长为4的等边三角形，则AB在AC上的投影数量为【典例2】(25-26高一下·全国课堂例题)已知a=6,1b=8,且（ā，b)=60°，则在ā方向上的投影数量为【变式1】(25-26高一下·全国课后作业)如图，在菱形ABDE中，其对角线AD=6,BE=8.求：(1)AB.BC:(2)AC在AB上的投影的数量：(3)AB在BE上的投影的数量，【变式2】(25-26高一下.全国课堂例题)已知d=3,同=5，且a与的夹角0=45°，则向量a在向量飞上的投影向量的长度为立题型七平面向量的坐标运算答|题模板建立坐标系将几何问题代数化，所有向量关系均转化为坐标方程求解，是最通用、最不易出错的方法。【典例1】(25-26高一下·全国课堂例题)已知A1,-2),B(2,1,C(3,2)和D(-2,3),试用坐标来表示AD+BD+CD和AD-CD【典例2】(25-26高一下·全国课后作业)平面上有A2,-1),B(1,4),D4,-3)三点，点C在直线AB上，7/12命学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课且AC=BC,连接DC并延长至E点，使(则点C的坐标为,点E的坐标为4【变式1】(25-26高一下·全国·课后作业)在ABC中，己知4(4,1)，B(7,5),C(-4,7),BC边的中线为AD,若P为AD上靠近A的三等分点，则点P的坐标为()A(G》B./19863【变式2】(25-26高一下·全国·课后作业)在ABC中，点P在BC上，且BP=2PC,点Q是AC的中点，若PA=(4,3),P0=(1,5),则BC=立题型八平面向量数量积的坐标运算答|题模板数量积：对应坐标乘积之和，(xy,(xy)=xx2十yy2,用于求夹角、模长、垂直判定。【典例2】（多选）(25-26高一下.湖南长沙开学考试)已知向量a=(cos0,sin0),万=(-3,4)，则()A.若a/i,则tan0=-43B.若aLb,则sin6=3C.a-的最大值为20D.若aa-b)=0,则a-=2√6【典例2】（多选)(25-26高三下·浙江·开学考试)己知向量=(-1,4)，b=(3,x),下列结论正确的是()3A.若x=4则a16B.若a/b,则x=12C.若x=5,则b在a上投影向量的模为√7D.若a曰b|,则x=±2√5【变式1】（多选)（25-26高三上·西藏拉萨.月考)已知向量=(m,1,b=(-1,m,c=(1,1,则()A.VmeR,albB.3m∈R,使得a/1cC.meR,使得a+b+d=V5D.3meR,使得6，c=8/12命学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课【变式2】（多选）(25-26高一下·全国期中)己知向量ā=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中正确的是（)A.不论x取何值都有a⊥bB.存在实数x,使a+b)/aC.存在实数x,m,使ma+b/aD.存在实数x,m,使md+/b它题型九平面向量数量积的最值答|题模板在求向量数量积最值问题时，定义法、转换基底跟极化恒等式、投影向量使用比较广泛。1、利用定义求数量积的最值，根据数量积公式，数量积大小由模长、夹角来决定，如果模长都是固定的，则可以通过夹角的大小决定数量积2、转换基底：将要求的向量用向量基本定理、共线定理换成题目已知条件的向量，然后再求数量积。3、极化恒等式：在△ABC中，若M为BC的中点，.Ac=|a2-d24、投影向量：根据数量积公式的几何意义，利用投影向量或投影数量来处理数量积的最值问题。【典例1】(25-26高一下浙江宁波开学考试)在ABC中，∠ABC=牙4C=1,D在线段AB上，满足BD=BA,E在线段CD上，满足DE=DC,F为线段4C的中点，则BEBF的最大值为【典例2】(2026四川模拟预测)己知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则AE.BE的最小值为()31c.1A.B.424D.8【变式1】(2026上海·高考真题)在ABC中，D、E在边BC上，且BD=DE=EC,AD=1,AD与花所成的夹角为？，则B4C的最大值为B万【变式2】(2026湖北·二模)如图，ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若AD=8,BD=4,点M为线段CE上的动点，则(AM-BC)·MD的最大值为()9/12画学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课BC64A.B.21C.24D.409过·分层验收期中基础通关练（测试时间：10分钟）1.(25-26高二上·湖南湘潭期末)已知平面向量ā=(1，x),b=(3,-1),若a/乃，则x=()A.-3B.3D.2.(25-26高一下辽宁铁岭-月考)已知向量a=(2,-1,i=(-1,2),c=(m,3),若(a+c/6+C,则m3.(25-26高-下全国课堂例题)已知a=2,12,a与万的夹角为子则a-6=（)A.2N2B.2C.2D.54.(25-26高一下·全国课堂例题)已知|=4，|b=8,ā与6的夹角是120°.计算(1)川d+b1;(2)14a-2b|.4.(25-26高一下全国课后作业)已知向量ā=(0，-2W5),方=山，5，则向量a在方向上的投影向量为()层9B3e信5.(2526商-下全国误堂例圈)已知=2,161，a+01a-,求ā与b的夹角大小.10/12