""

考点01 余弦定理 考点一：余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：余弦定理的变形公式：考点二：利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角．知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．考点三：解三角形我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．题型一：已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．已知两边及一角解三角形时，核心易错点是忽略角的位置与解的个数，易直接套用公式导致漏解、错解。若已知角为两边夹角，用余弦定理可唯一确定第三边，三角形唯一。1．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ）A．2或4 B．3 C．5 D．【答案】A【解析】因为，，，由余弦定理可得，即，可得，解得或．故选：A.2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ）A．5 B． C．4 D．3【答案】D【解析】，，，，，．故选：D.3．在中，已知，，，则（   ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根据余弦定理得.由于，所以.故选：D.4．在中，若，，，则等于（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去），故.故选：D.5．在中，已知，则（    ）A．3 B． C． D．1【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得，所以，即，解得或（舍去），故选：A题型二：已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．已知三边解三角形，核心依据是余弦定理，步骤清晰且解唯一，易错点集中在公式应用与角的判断上。首先，用余弦定理计算最大边所对的角，可快速判断三角形是锐角、直角还是钝角（最大边对最大角，若其平方小于另两边平方和，为锐角三角形；等于则为直角；大于则为钝角）。1．在中，，则最大的内角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为三条边中最大，所以最大的内角为，由余弦定理得，由，所以.故选：C2．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据余弦定理得.故选：C3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由及余弦定理，得，而，所以.故选：C4．在中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理得．因为为的内角，所以．故选：C5．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由余弦定理结合得：，当且仅当，即时等号成立，由此可知A为锐角，而在上单调递减，故，所以的最大值为.故选：D题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论①为直角三角形或或．②为锐角三角形，且，且．③为钝角三角形或或．④若，则或．利用余弦定理判断三角形形状，核心是通过边与角的余弦值符号确定角的类型，关键看最大边所对的角。1．在中，，则的形状是（    ）.A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形【答案】B【解析】由余弦定理可得，整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形.故选：B.2．在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】C【解析】由，，,可知，由余弦定理，，所以为钝角，则为钝角三角形.故选：C3．若，则三角形的形状为（   ）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】若，则由余弦定理得，整理得，即，所以三角形的形状为直角三角形.故选：A4．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】因为，由余弦定理知，所以，整理得，即的形状是直角三角形.故选：B.5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】由，设，所以C是的最大内角．因为，所以，所以C是锐角，则是锐角三角形．故选：A.题型四：余弦定理在实际问题中的应用 解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语．余弦定理解决实际问题时，易错点集中在模型转化、公式误用、计算与验证四方面。一是建模错误，将实际问题抽象为三角形时，误判边角对应关系，或遗漏关键约束条件（如方向角、仰角）；二是定理混用，遇到已知两边及夹角的问题，误用正弦定理，导致计算偏差；三是计算失误，平方、开方及分式运算易出错，尤其涉及多位数或小数时；四是结果验证缺失，忽略实际问题的几何意义与合理性检验，得出不符合现实的解（如距离为负、角度超出范围）。1．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m．【答案】500【解析】设塔高，在中，，则，在中，，则，在中，，，由余弦定理可得，即，解得或（不符合题意舍去），故答案为：500.2．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____．【答案】【解析】如图，过点A作于点，由题可知，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以．3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距__________m．【答案】30【解析】设炮台顶部为点，炮台底部（在水面上）为点，水面上的两条船分别为点、；由题意：炮台高度，且水面（即，）；由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）；由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）；两船与炮台底部的夹角；中，，代入已知条件：，因，故：，在中，，代入已知条件：，因，故：，在中，已知，，，由余弦定理：，代入数值计算：，因距离为正，故：，两条船之间的距离为.故答案为：4．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.【答案】389【解析】由题意可知，，设，在中，，所以，同理在中，，在中，由余弦定理得，即，所以.故紫峰大厦主体的高度约为米.故答案为：5．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为______．（结果精确到）【答案】4.1【解析】如图所示，设圆心为，的中点为，则，由题意易知，则，，，，，由余弦定理知，所以.故答案为：.题型五：利用余弦定理求最值问题 利用余弦定理求三角形边长、角度或面积的最值，核心是结合余弦定理与基本不等式、二次函数等工具，将边角关系转化为代数表达式后求解。利用余弦定理求最值时，易错点集中在范围限制、公式应用、方法误用三大类，易导致结果偏离实际。1．分别为内角的对边．已知，则的最小值为________．【答案】/0.6【解析】由余弦定理得．当且仅当时，取等号.所以的最小值为故答案为：2．在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为__________.【答案】【解析】由余弦定理可得当且仅当时，即取等号，所以.故答案为：.3．在中，已知为的中点．(1)求；(2)当时，求的最大值．【解析】（1）在中，已知，即，则有，得，所以或，时，，由，，有，即时，.当时，，不合题意舍去..（2）设，由（1）及余弦定理有，即，，即，当且仅当时等号成立.由D为边的中点有，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.即的最大值为.4．在中，内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求周长的最大值．【解析】（1）在中，，故，将其代入等式得，即，整理得，由，得，解得，又，故．（2）由余弦定理代入可得，则，由基本不等式，可得，则，由可得，当且仅当时等号成立，所以，则周长的最大值为.5．在中，角的对边分别为，若：(1)求的大小；(2)求的最大值.【解析】（1）因为，所以，即，又，所以.（2）由（1）可知，所以，则又，则，所以当时，即时，有最大值为1.1．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图：因为平分，所以，又，所以.在中，根据余弦定理，可得，在中，根据余弦定理，，所以.2．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角.由余弦定理得，∴，解得.又中，两边之和大于第三边，即，∴.综上，实数k的取值范围是，故D正确.3．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，由余弦定理得，，即，整理得，解得或，∵为中最大角，∴，又∵，∴，在中，由余弦定理得，，即，∴.4．在中，的平分线交BC于点，若，则（   ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】如图，设，由AD是的角平分线，可得，则，由，可知，由余弦定理得，解得或，当时，，则，因，产生矛盾，故.故选：D5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，整理得，则，解得.因为，所以，取等条件为，则的面积.故选：A6．（多选题）在中，已知，则角的可能值为（   ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，即，所以，或.故选：AC7．（多选题）下列命题中， p是q的充要条件的有（   ）A．设是的三条边，，为直角三角形，B．设是的三条边，，为钝角三角形，C．设是的三条边，，为锐角三角形，D．两个三角形全等，两个三角形面积相等【答案】ABC【解析】对于ABC，是的三条边，且，则边所对角为最大角，由余弦定理得，为直角三角形，A是；为钝角三角形，B是；为锐角三角形，C是；对于D，面积相等的两个三角形不一定全等，p不是q的充要条件，D不是.故选：ABC8．（多选题）在中，角的对边分别为.若，则的大小可能为（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由余弦定理及得，所以，当时，，显然满足题意；当时即，由得，又，所以或.故选：BCD9．已知的角对应边长分别为，则__________.【答案】【解析】因为，所以由余弦定理得，，又，所以，所以.10．在中，若，，，则____________．【答案】【解析】因为，，，所以，故，所以由余弦定理得.故答案为：11．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________．【答案】/【解析】在中，，设，则，，在中，，则，由余弦定理得，因，则，故当，即时，，所以的最大值为.12．已知的面积，角的平分线交于，，，则________．【答案】1【解析】依题知，则有，由角平分线定理可知：，所以，所以，在中，，所以，在中，由余弦定理可得：,即，解得．故答案为：113．在中，的最大值是________．【答案】/【解析】当为直角三角形和钝角三角形时，，当为锐角三角形时，，当时等号成立，，当时等号成立，，当时等号成立，所以，即，当时等号成立，所以的最大值是14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的长．【解析】（1）由得．由，得．由余弦定理，，，，代入并整理得，故．（2）在中，已知，，，则由余弦定理的推论得．因为，所以为直角三角形，则，即，解得．15．在中，，判断的形状．【解析】，∴原式可化为，由余弦定理可得，整理得，即，或，故一定为直角三角形．16．在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，，求．【解析】（1）由，得，则，即．又，则．（2）根据余弦定理，有，解得或（负值舍去）． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$考点01 余弦定理 考点一：余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：余弦定理的变形公式：考点二：利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角．知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．考点三：解三角形我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．题型一：已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．已知两边及一角解三角形时，核心易错点是忽略角的位置与解的个数，易直接套用公式导致漏解、错解。若已知角为两边夹角，用余弦定理可唯一确定第三边，三角形唯一。1．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ）A．2或4 B．3 C．5 D．2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ）A．5 B． C．4 D．33．在中，已知，，，则（   ）A． B．2 C． D．4．在中，若，，，则等于（   ）A． B． C． D．5．在中，已知，则（    ）A．3 B． C． D．1题型二：已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．已知三边解三角形，核心依据是余弦定理，步骤清晰且解唯一，易错点集中在公式应用与角的判断上。首先，用余弦定理计算最大边所对的角，可快速判断三角形是锐角、直角还是钝角（最大边对最大角，若其平方小于另两边平方和，为锐角三角形；等于则为直角；大于则为钝角）。1．在中，，则最大的内角为（    ）A． B． C． D．2．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ）A． B． C． D．3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ）A． B． C． D．4．在中，，则（    ）A． B． C． D．5．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ）A． B． C． D．题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论①为直角三角形或或．②为锐角三角形，且，且．③为钝角三角形或或．④若，则或．利用余弦定理判断三角形形状，核心是通过边与角的余弦值符号确定角的类型，关键看最大边所对的角。1．在中，，则的形状是（    ）.A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形2．在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定3．若，则三角形的形状为（   ）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形4．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形题型四：余弦定理在实际问题中的应用 解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语．余弦定理解决实际问题时，易错点集中在模型转化、公式误用、计算与验证四方面。一是建模错误，将实际问题抽象为三角形时，误判边角对应关系，或遗漏关键约束条件（如方向角、仰角）；二是定理混用，遇到已知两边及夹角的问题，误用正弦定理，导致计算偏差；三是计算失误，平方、开方及分式运算易出错，尤其涉及多位数或小数时；四是结果验证缺失，忽略实际问题的几何意义与合理性检验，得出不符合现实的解（如距离为负、角度超出范围）。1．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m．2．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____．3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距__________m．4．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.5．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为______．（结果精确到）题型五：利用余弦定理求最值问题 利用余弦定理求三角形边长、角度或面积的最值，核心是结合余弦定理与基本不等式、二次函数等工具，将边角关系转化为代数表达式后求解。利用余弦定理求最值时，易错点集中在范围限制、公式应用、方法误用三大类，易导致结果偏离实际。1．分别为内角的对边．已知，则的最小值为________．2．在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为__________.3．在中，已知为的中点．(1)求；(2)当时，求的最大值．4．在中，内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求周长的最大值．5．在中，角的对边分别为，若：(1)求的大小；(2)求的最大值.1．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ）A． B． C． D．2．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．3．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ）A． B．C． D．4．在中，的平分线交BC于点，若，则（   ）A． B．2 C． D．5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ）A． B． C． D．6．（多选题）在中，已知，则角的可能值为（   ）A． B． C． D．7．（多选题）下列命题中， p是q的充要条件的有（   ）A．设是的三条边，，为直角三角形，B．设是的三条边，，为钝角三角形，C．设是的三条边，，为锐角三角形，D．两个三角形全等，两个三角形面积相等8．（多选题）在中，角的对边分别为.若，则的大小可能为（    ）A． B． C． D．9．已知的角对应边长分别为，则__________.10．在中，若，，，则____________．11．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________．12．已知的面积，角的平分线交于，，，则________．13．在中，的最大值是________．14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的长．15．在中，，判断的形状．16．在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，，求． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$