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专题21 平面向量及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01平面向量的相关概念理解 题型02向量共线与三点共线的应用题型03平面向量的基底的判断 题型04用基底表示向量题型05平面向量基本定理定理的应用 题型06三点共线的推论及应用题型07平面向量数量积的计算 题型08利用数量积求向量的模长题型09利用数量积求向量的夹角 题型10利用数量积解决垂直问题题型11求平面向量的投影向量 题型12平面向量的实际应用题型13利用正余弦定理解三角形 题型14三角形解的个数问题题型15三角形的面积问题 题型16利用正余弦定理判断三角形的形状题型17解三角形的最值与范围问题 题型18解三角形的实际应用过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的基本概念 1、能准确区分向量与数量的区别；2、能清晰判断零向量、单位向量、相等向量、相反向量的特征；3、能正确理解共线向量（平行向量）的定义，区分共线与重合的关系 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低；易错点：混淆零向量的方向、共线向量与相等向量的关系；忽略单位向量的方向不唯一 平面向量的线性运算 1、能熟练运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加法、减法运算；2、能掌握数乘向量的定义、运算律，明确数乘向量的几何意义；3、能化简简单的向量线性表达式 高频必考点，小题、大题均可能考查，侧重考查几何意义的应用；命题趋势：常结合平面图形（三角形、平行四边形）考查向量线性分解，注重数形结合思想；易错点：向量减法方向判断错误；数乘向量的模长与方向计算失误 平面向量基本定理及坐标表示 1、能理解平面向量基本定理的内涵，会选择合适基底表示平面内任意向量；2、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算；3、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础；命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、坐标运算及共线参数求解；易错点：记错共线向量坐标公式；基底选择不当导致运算繁琐；忽略向量坐标与点坐标的区别 平面向量的数量积 1、能掌握数量积的定义及几何意义，理解投影的概念；2、能熟练运用数量积坐标公式进行计算；3、能运用数量积求向量的模长、夹角，判断向量垂直 重中之重，必考考点，小题侧重模长、夹角计算，大题侧重综合应用；命题趋势：常与几何图形、函数最值结合，考查数量积的综合应用，凸显向量的工具性；易错点：混淆向量夹角与图形内角；忽略数量积的符号；模长公式记忆错误 平面向量在平面几何中的应用 1、能运用向量方法判断平面几何中的平行、垂直关系；2、能运用向量运算求平面图形中线段的长度、角的大小；3、掌握向量法解决平面几何问题的“三步曲”（化几何量为向量→进行向量运算→还原几何结论） 中档难度考点，多以大题形式考查，偶尔结合小题；命题趋势：侧重考查向量的工具性，淡化繁难运算，突出“多想少算”，常与三角形、平行四边形结合；易错点：无法将几何问题转化为向量问题；向量运算失误导致几何结论错误 正弦定理、余弦定理 1、能熟练掌握正弦定理、余弦定理的文字语言和符号语言；2、能运用正弦定理、余弦定理解决三角形的边长、角度求解问题；3、能运用定理解决简单的三角形面积计算问题 高频必考考点，小题、大题均有考查，大题常单独命题或与向量结合；命题趋势：侧重基础应用，偶尔结合实际情境（仰角、俯角）考查，难度适中；易错点：正弦定理中解的个数判断失误；；忽略三角形内角和为180°知识点01 平面向量基本概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2、零向量：长度为0的向量，记作.3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．·易错点：混淆共线向量与相等向量，认为共线向量就是相等向量，忽略方向和长度的双重要求；同时容易忽略“共线向量包含反向向量”知识点02 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：；结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ，当λ>0时，与的方向相同；当λ<0时，与的方向相反；当λ＝0时， 结合律：；第一分配律：；第二分配律：·易错点：向量减法方向判断错误，牢记“起点相同，指向被减向量终点”的口诀．知识点03 平面向量基本定理及坐标运算1、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．（2）向量的基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2、向量线性运算的坐标表示（1）已知，则，．（2）若，则；3、共线向量的坐标条件已知，则向量，共线的充要条件是．知识点04 平面向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．2、平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的．（2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围．3、向量数量积的性质设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：（1）.（2）.（3），同向⇔；，反向⇔.特别地或.（4）若θ为，的夹角，则.4、向量数量积的运算律（1） (交换律)．（2） (结合律)．（3） (分配律)．5、向量数量积的坐标表示已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 知识点05 平面向量在几何中的应用1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．2、平面几何中证明问题的具体转化方法（1）证明线段，可转化为证明．（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立．（3）证明两线段，只需证明数量积．（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立．3、向量在物理中的应用主要解题思路（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题．知识点06 正弦定理与余弦定理1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)＝＝2R cos A＝；cos B＝；cos C＝【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2、解三角形中的常用结论（1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.（2）三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin .（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.（4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3、三角形常用面积公式（1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)；（2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．4、解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：题型一 平面向量的相关概念理解 解｜题｜技｜巧牢记核心概念的关键细节：零向量方向任意、单位向量仅长度为1、共线向量方向相同/相反（含零向量）、相等向量需长度+方向都相同；排除法优先：遇到模糊选项，先排除明显错误的（如“零向量有固定方向”“共线向量就是相等向量”）；举例验证：对不确定的选项，举简单例子验证【典例1】（24-25高一下·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（    ）A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等【变式1-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ）A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量【变式1-2】（24-25高一下·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ）A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则【变式1-3】（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，，则“或”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型二 向量共线与三点共线的应用 解｜题｜技｜巧1、向量共线问题：一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设，化为关于，的方程，由于，不共线，则，解方程组即可2、若三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．【典例2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（    ）A． B． C． D．1【变式2-1】（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（    ）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【变式2-2】（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（    ）A． B． C．-4 D．4【变式2-3】（24-25高一下·湖北荆州·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，．(1)求证：，，三点共线；(2)若，且，求实数的值．题型三 平面向量基底的判断 解｜题｜技｜巧考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【典例3】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【变式3-1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（    ）A． B．C． D．【变式3-2】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ）①和                ②和③和                    ④和A．①② B．②③ C．③④ D．①④【变式3-3】（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和题型四 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧用基底表示向量的两种基本方法：1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解【典例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，E是靠近B点的三等分点，（    ）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设，，则，用表示向量__________【变式4-2】（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（    ）A． B．C． D．【变式4-3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在平行四边形中，，，则（    ）A． B． C． D．题型五 平面向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【典例5】（24-25高一下·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ）A． B．1 C． D．【变式5-1】（24-25高一下·湖北·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一下·北京·期中）在中，点满足，若，则______【变式5-3】（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，点M，N满足，（，），点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．(1)用，表示；(2)求的值．题型六 三点共线的推论及应用 解｜题｜技｜巧已知平面内四点，其中三点共线，且，则，反之也成立【典例6】（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（    ）A．0 B． C． D．1【变式6-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（    ）A．3 B．8 C． D．9【变式6-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（    ） A． B． C． D．【变式6-3】（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．题型七 平面向量数量积的计算 解｜题｜技｜巧1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【典例7】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（    ）A．0 B．1 C．8 D．4【变式7-2】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（    ）A．2 B．1 C．-1 D．-2【变式7-3】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（    ）A．4 B． C． D．题型八 利用数量积求向量的模长 解｜题｜技｜巧（1）解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解；（2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【典例8】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．【变式8-1】（24-25高一下·河南·期中）已知向量满足，则__________.【变式8-2】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______.【变式8-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量满足，且，则______．题型九 利用数量积求向量的夹角 解｜题｜技｜巧求向量与夹角的思路：（1）求向量夹角关键时计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值；（2）在个别含有，的等量关系式中，常利用消元思想计算的值．【典例9】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【变式9-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若向量满足，且，则的夹角为（    ）A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【变式9-3】（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．题型十 利用数量积解决垂直问题 解｜题｜技｜巧两个非零向量垂直的充要条件：【典例10】（24-25高一下·山东济宁·期中），，，则（    ）A． B． C． D．【变式10-1】（24-25高一下·天津·期中）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（    ）A． B． C．1 D．【变式10-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，满足，，且，设在方向上的投影向量为，则（    ）A．1 B． C． D．【变式10-3】（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，，且与的夹角为60°．且．(1)若，用基向量，表示，并求；(2)若，求实数的值．题型十一 求平面向量的投影向量 解｜题｜技｜巧1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后代入公式计算即可．2、设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则．【典例11】（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【变式11-1】（24-25高一下·山西晋城·期中）若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【变式11-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高一下·四川成都·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．题型十二 平面向量的实际应用 易｜错｜点｜拨1、忽略向量方向：实际场景中，向量方向（如方位角、夹角）直接影响运算结果，需准确标注方向，避免方向混淆导致错误．2、建模不规范：未明确向量的实际意义，导致向量与实际量对应错误（如将速度向量误作为位移向量）．【典例12】（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ）A． B． C． D．【变式12-1】（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ）A． B．越小越费力，越大越省力C．当时， D．的范围为【变式12-2】（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______．【变式12-3】（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为.(1)求货船航行速度的大小；(2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间.题型十三 利用正余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。【典例13】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（    ）A． B． C． D．【变式13-1】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______.【变式13-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________．【变式13-3】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ）A．1 B． C．2 D．题型十四 三角形解的个数问题 解｜题｜技｜巧在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况【典例14】（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式14-1】（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【变式14-2】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式14-3】（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（    ）A． B． C． D．题型十五 三角形的面积问题 解｜题｜技｜巧在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积的情况，一般联想到用公式．【典例15】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【变式15-1】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （    ）A． B． C． D．2【变式15-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)若，求的值；(2)若，求.【变式15-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知分别为三个内角的对边，且．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．题型十六 利用正余弦定理判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧1、判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)；2、判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，得出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断；3、对于给定条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．【典例16】（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【变式16-1】（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【变式16-2】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（    ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【变式16-3】（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形题型十七 解三角形的最值与范围问题 解｜题｜技｜巧三角形中的最值、范围问题的解题策略（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．【典例17】（24-25高一下·山东青岛·期中）已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是__________．【变式17-1】（24-25高一下·河北石家庄·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角A的值；(2)若角A的平分线交边于点D，，求面积的最小值．【变式17-2】（24-25高一下·北京西城·期中）在中，已知(1)求角；(2)若，，求的面积；(3)求的取值范围.【变式17-3】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知的内角所对的边分别为，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．题型十八 解三角形的实际应用 易｜错｜点｜拨1、方位角、仰角、俯角判断错误：牢记方位角顺时针从正北起算，仰角/俯角与水平线夹角，避免混淆导致角度转化错误．2、忽略解的个数：SSA场景（已知两边及其中一边的对角），需结合实际场景判断解的合理性（如距离、高度为正，角度在0°~180°），排除不合理的解．3、单位不统一：边长、角度单位不一致直接导致运算错误，解题前先统一单位．【典例18】（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ）A． B． C． D．【变式18-1】（24-25高一下·湖南张家界·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，B是AC的中点，米，则该建筑的高度（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【变式18-2】（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）A．34m B．35m C．36m D．37m【变式18-3】（24-25高一下·福建漳州·期中）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，且，则（    ）A． B．1 C． D．22．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，，，若点D满足，则（    ）A． B．C． D．3．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知的内接三角形中，，则（    ）A．10 B． C．14 D．4．（24-25高一下·天津南开·期中）在中，下列命题不正确的是（    ）A．若，则B．若，则一定为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则有两解5．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量满足.(1)求与的夹角；(2)求的值.期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在中，是线段的中点，是线段的中点，延长，交线段于点，则（    ）A． B． C． D．2．（24-25高一下·福建漳州·期中）若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（    ）A． B． C． D．3．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知向量，满足，在方向上的投影数量为2，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（    ）A． B． C． D．2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c． 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$ 专题2.1 平面向量及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01平面向量的相关概念理解 题型02向量共线与三点共线的应用题型03平面向量的基底的判断 题型04用基底表示向量题型05平面向量基本定理定理的应用 题型06三点共线的推论及应用题型07平面向量数量积的计算 题型08利用数量积求向量的模长题型09利用数量积求向量的夹角 题型10利用数量积解决垂直问题题型11求平面向量的投影向量 题型12平面向量的实际应用题型13利用正余弦定理解三角形 题型14三角形解的个数问题题型15三角形的面积问题 题型16利用正余弦定理判断三角形的形状题型17解三角形的最值与范围问题 题型18解三角形的实际应用过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的基本概念 1、能准确区分向量与数量的区别；2、能清晰判断零向量、单位向量、相等向量、相反向量的特征；3、能正确理解共线向量（平行向量）的定义，区分共线与重合的关系 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低；易错点：混淆零向量的方向、共线向量与相等向量的关系；忽略单位向量的方向不唯一 平面向量的线性运算 1、能熟练运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加法、减法运算；2、能掌握数乘向量的定义、运算律，明确数乘向量的几何意义；3、能化简简单的向量线性表达式 高频必考点，小题、大题均可能考查，侧重考查几何意义的应用；命题趋势：常结合平面图形（三角形、平行四边形）考查向量线性分解，注重数形结合思想；易错点：向量减法方向判断错误；数乘向量的模长与方向计算失误 平面向量基本定理及坐标表示 1、能理解平面向量基本定理的内涵，会选择合适基底表示平面内任意向量；2、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算；3、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础；命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、坐标运算及共线参数求解；易错点：记错共线向量坐标公式；基底选择不当导致运算繁琐；忽略向量坐标与点坐标的区别 平面向量的数量积 1、能掌握数量积的定义及几何意义，理解投影的概念；2、能熟练运用数量积坐标公式进行计算；3、能运用数量积求向量的模长、夹角，判断向量垂直 重中之重，必考考点，小题侧重模长、夹角计算，大题侧重综合应用；命题趋势：常与几何图形、函数最值结合，考查数量积的综合应用，凸显向量的工具性；易错点：混淆向量夹角与图形内角；忽略数量积的符号；模长公式记忆错误 平面向量在平面几何中的应用 1、能运用向量方法判断平面几何中的平行、垂直关系；2、能运用向量运算求平面图形中线段的长度、角的大小；3、掌握向量法解决平面几何问题的“三步曲”（化几何量为向量→进行向量运算→还原几何结论） 中档难度考点，多以大题形式考查，偶尔结合小题；命题趋势：侧重考查向量的工具性，淡化繁难运算，突出“多想少算”，常与三角形、平行四边形结合；易错点：无法将几何问题转化为向量问题；向量运算失误导致几何结论错误 正弦定理、余弦定理 1、能熟练掌握正弦定理、余弦定理的文字语言和符号语言；2、能运用正弦定理、余弦定理解决三角形的边长、角度求解问题；3、能运用定理解决简单的三角形面积计算问题 高频必考考点，小题、大题均有考查，大题常单独命题或与向量结合；命题趋势：侧重基础应用，偶尔结合实际情境（仰角、俯角）考查，难度适中；易错点：正弦定理中解的个数判断失误；；忽略三角形内角和为180°知识点01 平面向量基本概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2、零向量：长度为0的向量，记作.3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．·易错点：混淆共线向量与相等向量，认为共线向量就是相等向量，忽略方向和长度的双重要求；同时容易忽略“共线向量包含反向向量”知识点02 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：；结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ，当λ>0时，与的方向相同；当λ<0时，与的方向相反；当λ＝0时， 结合律：；第一分配律：；第二分配律：·易错点：向量减法方向判断错误，牢记“起点相同，指向被减向量终点”的口诀．知识点03 平面向量基本定理及坐标运算1、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．（2）向量的基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2、向量线性运算的坐标表示（1）已知，则，．（2）若，则；3、共线向量的坐标条件已知，则向量，共线的充要条件是．知识点04 平面向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．2、平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的．（2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围．3、向量数量积的性质设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：（1）.（2）.（3），同向⇔；，反向⇔.特别地或.（4）若θ为，的夹角，则.4、向量数量积的运算律（1） (交换律)．（2） (结合律)．（3） (分配律)．5、向量数量积的坐标表示已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 知识点05 平面向量在几何中的应用1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．2、平面几何中证明问题的具体转化方法（1）证明线段，可转化为证明．（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立．（3）证明两线段，只需证明数量积．（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立．3、向量在物理中的应用主要解题思路（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题．知识点06 正弦定理与余弦定理1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)＝＝2R cos A＝；cos B＝；cos C＝【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2、解三角形中的常用结论（1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.（2）三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin .（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.（4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3、三角形常用面积公式（1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)；（2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．4、解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：题型一 平面向量的相关概念理解 解｜题｜技｜巧牢记核心概念的关键细节：零向量方向任意、单位向量仅长度为1、共线向量方向相同/相反（含零向量）、相等向量需长度+方向都相同；排除法优先：遇到模糊选项，先排除明显错误的（如“零向量有固定方向”“共线向量就是相等向量”）；举例验证：对不确定的选项，举简单例子验证【典例1】（24-25高一下·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（    ）A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等【答案】D【解析】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误；对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误，对于C，因为的模长为，所以C错误，对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确，故选：D.【变式1-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ）A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量【答案】C【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确；对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误.故选：C．【变式1-2】（24-25高一下·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ）A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则【答案】C【解析】时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误；所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误；模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确；相等向量要求大小和方向都相同，故D错误．故选：C．【变式1-3】（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，，则“或”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或，所以“或”是“”的充分不必要条件.故选：A题型二 向量共线与三点共线的应用 解｜题｜技｜巧1、向量共线问题：一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设，化为关于，的方程，由于，不共线，则，解方程组即可2、若三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．【典例2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由，不共线，易知向量为非零向量，由向量与方向相同，可知存在实数，使得，即.由，不共线，必有，否则，不妨设，则.由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾.由，解得或，当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符.当时，，，方向相同，符合题意.因此，当向量与方向相同时，故选：B【变式2-1】（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（    ）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】D【解析】由题意，，，，不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误，由于，所以，则，，三点共线，故D正确.由于，不存在唯一的实数使得，不存在唯一的实数使得，故BC错误，故选：D.【变式2-2】（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（    ）A． B． C．-4 D．4【答案】A【解析】由，，三点共线，得，又，，，不共线，则，所以.故选：A【变式2-3】（24-25高一下·湖北荆州·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，．(1)求证：，，三点共线；(2)若，且，求实数的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）因为，，，所以，所以，即，又与有公共点，所以，，三点共线．（2）由（1）可知，又，因为，设，，又，是两个不共线的向量，所以，解得．题型三 平面向量基底的判断 解｜题｜技｜巧考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【典例3】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【解析】因为，是平面内一组不共线的向量，设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误；设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；故选：D.【变式3-1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，设存在唯一的实数使，则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意；对于B，设存在唯一的实数使，则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意；对于C，由，所以与共线，故不能作为平面向量的基底，故C符合题意；对于B，设存在唯一的实数使，则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意.故选：C.【变式3-2】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ）①和                ②和③和                    ④和A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【解析】对于①中，由和，可得，所以和是共线向量，不能作为一组基底向量；对于②中，设，可得，方程组无解，所以和不共线，可以作为一组基底向量；对于③中，设，可得，方程组无解，所以和不共线，可以作为一组基底向量；对于④中，设，可得，解得所以和是共线向量，不能作为一组基底向量.故选：B.【变式3-3】（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】BC【解析】对于A，假设，则使得，因为不共线得且，则无解，故，不共线可作为一组基底；对于B，因为，所以，不能作为基底；对于C，因为，所以，不能作为基底；对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.故选:BC.题型四 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧用基底表示向量的两种基本方法：1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解【典例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，E是靠近B点的三等分点，（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知在中，E是靠近B点的三等分点，则,故选：C【变式4-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设，，则，用表示向量__________【答案】【解析】因三角线三条中线交于一点，交点为重心，则O为三角形重心.又由重心性质可得，则.【变式4-2】（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】在矩形中,，因为为的中点，所以，则故选：A.【变式4-3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在平行四边形中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示：在平行四边形中，，，则，，故.故选：C.题型五 平面向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【典例5】（24-25高一下·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由点是线段的中点，得，由，且四边形为平行四边形，得，则，故.故选：A【变式5-1】（24-25高一下·湖北·期中）在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，又，所以，所以.故选：B【变式5-2】（24-25高一下·北京·期中）在中，点满足，若，则______【答案】【解析】由题得，所以，又，所以，所以，所以．【变式5-3】（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，点M，N满足，（，），点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．(1)用，表示；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，所以.因为E为AD的中点，所以.（2）因为M，N，E三点共线，所以设.因为，，，所以.由（1）可知，则，所以，所以.题型六 三点共线的推论及应用 解｜题｜技｜巧已知平面内四点，其中三点共线，且，则，反之也成立【典例6】（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（    ）A．0 B． C． D．1【答案】A【解析】因为三点共线，且，所以又因为三点共线，且，所以可得，即，解得所以故选：【变式6-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（    ）A．3 B．8 C． D．9【答案】B【解析】如图，由点O是BC的中点，得，由三点共线，得，则，，则，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值8.故选：B【变式6-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（    ） A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，，（，），所以，因为点是线段的中点，所以，则，又因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．【变式6-3】（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】∵，，∴，又∵，，∴，又∵E，P，Q三点共线，∴，，当且仅当时取等号.故选：A．题型七 平面向量数量积的计算 解｜题｜技｜巧1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【典例7】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，化简得：，解得：.故选：C.【变式7-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（    ）A．0 B．1 C．8 D．4【答案】C【解析】由于向量在向量上的投影向量为，故可得，即，所以，故选：C【变式7-2】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（    ）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】A【解析】因为，可得，所以为的中点，所以为的直径，可得，又因为，所以为等腰直角三角形，且，所以.故选：A.【变式7-3】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（    ）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】由于，，，.如图，作，垂足为D.由，得.由题意知,且.又.∴当点均与点A重合时，最大故.故选：A题型八 利用数量积求向量的模长 解｜题｜技｜巧（1）解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解；（2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【典例8】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】,故选：A.【变式8-1】（24-25高一下·河南·期中）已知向量满足，则__________.【答案】【解析】由向量满足，可得，解得，【变式8-2】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______.【答案】【解析】由题意可得向量，，两两的夹角为，则，，，所以，故.【变式8-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量满足，且，则______．【答案】【解析】由题设，，又，所以，可得，所以，可得.题型九 利用数量积求向量的夹角 解｜题｜技｜巧求向量与夹角的思路：（1）求向量夹角关键时计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值；（2）在个别含有，的等量关系式中，常利用消元思想计算的值．【典例9】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】则，因为，所以，即与的夹角为.故选：A.【变式9-1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若向量满足，且，则的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，.∴，，，∴，且，则，故选：B.【变式9-2】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知，，设与的夹角为，由，解得，则与的夹角．故选：C【变式9-3】（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由两边平方可得，又，，所以，所以.因为，所以.故选：A题型十 利用数量积解决垂直问题 解｜题｜技｜巧两个非零向量垂直的充要条件：【典例10】（24-25高一下·山东济宁·期中），，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故选：D.【变式10-1】（24-25高一下·天津·期中）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】因为，所以，即，又，与夹角的余弦值为，所以，故，故选：A【变式10-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，满足，，且，设在方向上的投影向量为，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由题设，则，所以在方向上的投影向量，即.故选：A【变式10-3】（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，，且与的夹角为60°．且．(1)若，用基向量，表示，并求；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由条件可知，，即，所以，由，，且与的夹角为，所以，（2）因为．题型十一 求平面向量的投影向量 解｜题｜技｜巧1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后代入公式计算即可．2、设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则．【典例11】（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以四边形是等腰梯形，所以向量在上的投影向量为.故选：D【变式11-1】（24-25高一下·山西晋城·期中）若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，由可得：，以向量在向量上的投影向量为．故选：C．【变式11-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，则，于是，向量在向量上的投影向量为.故选：D.【变式11-3】（24-25高一下·四川成都·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，在方向上的投影向量为.故选：B.题型十二 平面向量的实际应用 易｜错｜点｜拨1、忽略向量方向：实际场景中，向量方向（如方位角、夹角）直接影响运算结果，需准确标注方向，避免方向混淆导致错误．2、建模不规范：未明确向量的实际意义，导致向量与实际量对应错误（如将速度向量误作为位移向量）．【典例12】（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，所以.故选：D【变式12-1】（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ）A． B．越小越费力，越大越省力C．当时， D．的范围为【答案】AC【解析】因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确；根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误；当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确；若，则，与矛盾，所以，故D错误；故选：AC.【变式12-2】（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______．【答案】6【解析】由题意得：，，则合力对该质点所做的功为.【变式12-3】（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为.(1)求货船航行速度的大小；(2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间.【答案】(1)；(2)【解析】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示.货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向.设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即,合速度为水流速度与船速的矢量和：由题意，合速度方向与向量同向，且大小为.设合速度为，则：因此，合速度为 .联立方程：货船速度大小为：（2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0.设船速为，则：由（1）知船速大小为 ，故：合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为：题型十三 利用正余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。【典例13】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因，即角与角分别为的最大角与最小角，由余弦定理，，因，则，故.故选：B.【变式13-1】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，则_______.【答案】【解析】由，结合正弦定理可得，又，所以，所以，由余弦定理可得，因为，所以.【变式13-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________．【答案】【解析】因为，由正弦定理可得：即所以又，所以，又，，解得或，又，所以．【变式13-3】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】在中，，可得，在中，，由余弦定理可得，即，即，解得（负值已舍）．即BD的长度为1．故选：A．题型十四 三角形解的个数问题 解｜题｜技｜巧在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况【典例14】（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于A：因为，不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A错误；对于B：因为，所以，所以无解，故B错误；对于C：由余弦定理得，所以，解得或，即有2个解，故C正确；对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D不正确.故选：C.【变式14-1】（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由有两解，得即解得，故选：A．【变式14-2】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理有，又，所以，故选：B.【变式14-3】（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中利用正弦定理得，则，若满足上述条件的有且仅有一个，则或，则或，则边长的取值范围是.故选：C题型十五 三角形的面积问题 解｜题｜技｜巧在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积的情况，一般联想到用公式．【典例15】（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意，，可得；由余弦定理，，代入条件，可得，解得.故选：B.【变式15-1】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （    ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由正弦定理角化边得到：，即 ，所以 ，，，又，且，得，即，所以 .故选：A【变式15-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)若，求的值；(2)若，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，∵，，∴，.∵，∴.又，∴.∴.（2）在中，∵，∴由余弦定理可得.∵，∴，解得.∴.【变式15-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知分别为三个内角的对边，且．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，若，则，不合题意，故，所以，又因为，所以.（2）因为的面积为，可得，可得，又因为，所以，由余弦定理，可得，所以，所以的周长为.题型十六 利用正余弦定理判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧1、判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)；2、判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，得出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断；3、对于给定条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．【典例16】（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】，可得，由余弦定理可得，整理可得：，即，所以或，即或∴的形状是等腰或直角三角形.故选：C【变式16-1】（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，则，．所以，又因为，所以，又，可得，故的形状是等腰直角三角形.故选：C【变式16-2】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（    ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】在中，由余弦定理得，整理得，而，函数在上单调递减，因此，所以是等腰三角形.故选：C【变式16-3】（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解析】因为，所以，则，因为，所以，又，所以，由，所以，，所以为等腰直角三角形.故选：D.题型十七 解三角形的最值与范围问题 解｜题｜技｜巧三角形中的最值、范围问题的解题策略（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．【典例17】（24-25高一下·山东青岛·期中）已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是__________．【答案】【解析】由正弦定理得（为外接圆的半径），所以，，因为，则，所以，因为为锐角三角形，则，解得，则，所以，故，所以周长的取值范围.【变式17-1】（24-25高一下·河北石家庄·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角A的值；(2)若角A的平分线交边于点D，，求面积的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】（1），由正弦定理得，又，所以，由，得，又，所以.（2）由，，又因为，角A的平分线交边BC于点D，所以，整理得：，由基本不等式得：，所以，当且仅当时取等号，即，即面积的最小值为.【变式17-2】（24-25高一下·北京西城·期中）在中，已知(1)求角；(2)若，，求的面积；(3)求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）根据正弦定理将边角互化，得到，化简可得，即，再根据余弦定理，因为，所以.（2）已知，，，根据余弦定理，可得.即，整理得.解得或（边长不能为负，舍去）.最后根据三角形面积公式，可得.（3）设，因为,在上递增，在上递减，的最大值为，而，故，故范围是.【变式17-3】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知的内角所对的边分别为，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1），即，因为，所以，所以，即，因为为三角形的内角，所以，所以.（2）已知，，所以，因为，即， 解得，所以，所以，所以，.题型十八 解三角形的实际应用 易｜错｜点｜拨1、方位角、仰角、俯角判断错误：牢记方位角顺时针从正北起算，仰角/俯角与水平线夹角，避免混淆导致角度转化错误．2、忽略解的个数：SSA场景（已知两边及其中一边的对角），需结合实际场景判断解的合理性（如距离、高度为正，角度在0°~180°），排除不合理的解．3、单位不统一：边长、角度单位不一致直接导致运算错误，解题前先统一单位．【典例18】（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】题意如图，当甲船沿航行时，航行的里数最少.由题意，，在中，根据余弦定理可得：，所以.即甲船至少需要航行的海里数为.故选：B.【变式18-1】（24-25高一下·湖南张家界·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，B是AC的中点，米，则该建筑的高度（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】设，则可得，由B是AC的中点，所以，而，则，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以该建筑的高度米.故选：B.【变式18-2】（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）A．34m B．35m C．36m D．37m【答案】C【解析】如图，设直线CD与AB交于点E，则，由题意得，又，且，代入解得，从而，进而，则雕像高米，故C正确.故选：C【变式18-3】（24-25高一下·福建漳州·期中）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．【答案】(1)答案见解析；(2)不能捕猎成功，原因见解析【解析】（1）由题意作图如下：则，，，．由正弦定理，可得．因此或120°，当时，，猎豹与羚羊之间的距离为，当，，猎豹与羚羊之间的距离为.（2）由题意作图如下：设捕猎成功所需的最短时间为t，在中，，，，．由余弦定理得：．整理得：．设，显然，因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且．∴猎豹不能捕猎成功．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，，且，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】，由于，所以.故选：C2．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，，，若点D满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以有，.故选：A3．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知的内接三角形中，，则（    ）A．10 B． C．14 D．【答案】D【解析】如图，过点分别作，垂足分别为点，因，点为的外心，则，则.故选：D.4．（24-25高一下·天津南开·期中）在中，下列命题不正确的是（    ）A．若，则B．若，则一定为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则有两解【答案】B【解析】对于：若，则，所以，所以，故正确；对于：，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于：，则，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；对于：，因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，故有两解，故正确.故选：.5．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量满足.(1)求与的夹角；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）因为所以，所以所以，因为，所以.（2）.期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在中，是线段的中点，是线段的中点，延长，交线段于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是线段的中点，所以，因为是线段的中点，所以，因为，，三点共线，所以，因为，，三点共线，所以，则解得，故.故选：D2．（24-25高一下·福建漳州·期中）若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可得，所以，所以，此时，，所以此时在的投影向量为.故选：A3．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知向量，满足，在方向上的投影数量为2，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，向量的夹角为，则，则，因为，所以，，不妨设，，设，则，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，又，即，当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.故选：C.期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，又，所以.故选：A2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________【答案】【解析】，因为，则，则，解得.则，则.3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$