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专题3.1 复数（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01复数的概念与分类 题型02复数与复平面内的点一一对应题型03复数与复平面内的向量一一对应 题型04复数的四则运算综合题型05复数的高次方运算 题型06复数范围内解方程题型07复数的模长及应用 题型08与复数模有关的最值问题过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义；2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值；3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现；高频易错点：混淆纯虚数的条件（实部为0且虚部不为0）；忽略虚部的取值范围；命题趋势：侧重基础概念辨析，结合参数求解考查 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系；2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义；3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频考点，选择题、填空题为主，偶尔结合简单解答题；易错点：混淆复平面内横纵坐标的对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），误将复数模长与向量坐标运算混淆；命题趋势：常与平面向量结合；考查模长计算、点的轨迹判断 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差；2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用；3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式；4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考点，贯穿小题和解答题；高频易错点：除法运算中分母实数化出错，i的幂运算记错周期性（i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1），共轭复数的概念混淆；命题趋势：以运算化简为主，偶尔结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中 复数的模与共轭复数 1、能准确计算复数的模，掌握复数模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|、|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|等）；2、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质；3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查；易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大知识点01 复数的概念1、复数的有关概念（1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.（2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．（3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．（4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．2、复数的分类：对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：.【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3、复数相等在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.4、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.·示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i.【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．知识点02 复数的几何意义1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3、复数的模（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．知识点03 复数的四则运算1、复数的加法（1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.（2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2、复数的减法（1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．3、复数的乘法（1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数．（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．（3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．4、复数的除法规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点．【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B． C．1 D．i【变式1-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【变式1-2】（24-25高一下·广东·期中）已知为纯虚数，则实数______．【变式1-3】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围.题型二 复数与复平面内的点一一对应 解｜题｜技｜巧复数．【典例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（    ）A． B． C． D．【变式2-1】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-3】（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第__________象限.题型三 复数与复平面的向量一一对应 解｜题｜技｜巧在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数．【典例3】（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______．【变式3-1】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.【变式3-2】（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ）A． B． C．2 D．1题型四 复数的四则运算综合 解｜题｜技｜巧复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2（3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i【典例4】（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______.【变式4-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）设复数，则其共轭复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高一下·安徽阜阳·月考）若复数，其中是虚数单位，则（    ）A． B． C． D．【变式4-3】（24-25高一下·浙江杭州·月考）设复数（为虚数单位），则z的虚部为（    ）A．3 B． C．1 D．题型五 复数的高次方运算 解｜题｜技｜巧计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i；同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i【典例5】（24-25高一下·山西忻州·期中）已知复数，则z的共轭复数（    ）A． B． C． D．【变式5-1】（24-25高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________.【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（    ）A． B． C． D．0【变式5-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则______．题型六 复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：①当时， ②当时，（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．【典例6】（24-25高一下·福建福州·期中）已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（    ）A． B． C．4 D．6【变式6-1】（24-25高一下·广东·期中）在复数范围内，方程的解为_____【变式6-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且.是关于的方程的一个根，(1)求实数p，q的值(2)求出方程的另一个复数根.【变式6-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数z和它的共轭复数满足.(1)求复数z；(2)若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理.题型七 复数的模长及应用 解｜题｜技｜巧（1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值；（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|；（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．【典例7】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____.【变式7-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，则（    ）A．5 B． C． D．【变式7-2】（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知复数，其中i为虚数单位，则（    ）A． B．1 C． D．2【变式7-3】（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知复数满足，则（    ）A． B． C．2 D．4题型八 与复数模有关的最值问题 解｜题｜技｜巧1、复数的模的几何意义（1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义．（2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部．2、两个复数差的模的几何意义（1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．（2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆．（3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．【典例8】（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是_____．【变式8-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（    ）A．4 B．5 C．2 D．3【变式8-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（    ）A．1 B． C．2 D．【变式8-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______.期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（    ）A．2 B． C． D．2．（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数______.3．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则____.4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）A．的模长为定值 B．为纯虚数C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ）A． B． C． D．2．（24-25高一下·河北邢台·期中）（多选）已知复数，则（    ）A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为C． D．若，则的最大值为33．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ）A． B． C． D．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ）A． B．0 C．1 D．62．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ）A． B． C． D．13．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（    ）A． B． C．4 D．84．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$ 专题3.1 复数（期中复习讲义） 内 容 导 航明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲题型01复数的概念与分类 题型02复数与复平面内的点一一对应题型03复数与复平面内的向量一一对应 题型04复数的四则运算综合题型05复数的高次方运算 题型06复数范围内解方程题型07复数的模长及应用 题型08与复数模有关的最值问题过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义；2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值；3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现；高频易错点：混淆纯虚数的条件（实部为0且虚部不为0）；忽略虚部的取值范围；命题趋势：侧重基础概念辨析，结合参数求解考查 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系；2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义；3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频考点，选择题、填空题为主，偶尔结合简单解答题；易错点：混淆复平面内横纵坐标的对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），误将复数模长与向量坐标运算混淆；命题趋势：常与平面向量结合；考查模长计算、点的轨迹判断 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差；2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用；3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式；4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考点，贯穿小题和解答题；高频易错点：除法运算中分母实数化出错，i的幂运算记错周期性（i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1），共轭复数的概念混淆；命题趋势：以运算化简为主，偶尔结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中 复数的模与共轭复数 1、能准确计算复数的模，掌握复数模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|、|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|等）；2、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质；3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查；易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大知识点01 复数的概念1、复数的有关概念（1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.（2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．（3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．（4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．2、复数的分类：对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：.【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3、复数相等在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.4、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.·示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i.【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．知识点02 复数的几何意义1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3、复数的模（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．知识点03 复数的四则运算1、复数的加法（1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.（2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2、复数的减法（1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．3、复数的乘法（1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数．（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．（3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．4、复数的除法规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点．【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B． C．1 D．i【答案】A【解析】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是.故选：A【变式1-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为，所以，，故，故C正确.故选：C.【变式1-2】（24-25高一下·广东·期中）已知为纯虚数，则实数______．【答案】3【解析】由为纯虚数，得，所以.【变式1-3】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围.【答案】(1)3或1；(2)5；(3)或，且.【解析】（1）因为 是实数，所以，解得或；（2）因为 是纯虚数，所以，解得；（3）因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，所以，且，解得或，且.题型二 复数与复平面内的点一一对应 解｜题｜技｜巧复数．【典例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数对应的点，则复数.故选：D.【变式2-1】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，则.若A在第二象限，则，，则，，所以B在第三象限.反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件.故选：A.【变式2-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】当时，，所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【变式2-3】（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第__________象限.【答案】二【解析】设，a，，则，所以，，所以，，所以，所以z在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限．题型三 复数与复平面的向量一一对应 解｜题｜技｜巧在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数．【典例3】（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______．【答案】【解析】由题意，故所求为.【变式3-1】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.【答案】【解析】因为复数、对应的向量分别是、，则，，所以，则向量对应的复数为.【变式3-2】（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.【答案】【解析】由题意可设对应的向量为对应的向量为，由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，则解得.【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ）A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，又，故选：A.题型四 复数的四则运算综合 解｜题｜技｜巧复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2（3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i【典例4】（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______.【答案】【解析】复数的实部是.【变式4-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）设复数，则其共轭复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，其虚部为.故选：A.【变式4-2】（24-25高一下·安徽阜阳·月考）若复数，其中是虚数单位，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故可得，.故选：B.【变式4-3】（24-25高一下·浙江杭州·月考）设复数（为虚数单位），则z的虚部为（    ）A．3 B． C．1 D．【答案】C【解析】依题意，，所以z的虚部为1.故选：C题型五 复数的高次方运算 解｜题｜技｜巧计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i；同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i【典例5】（24-25高一下·山西忻州·期中）已知复数，则z的共轭复数（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴．故选：D．【变式5-1】（24-25高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________.【答案】【解析】因为，，故复数，故的虚部为.【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（    ）A． B． C． D．0【答案】A【解析】复数，，，所以.故选：A【变式5-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则______．【答案】【解析】，，，故周期为3，.题型六 复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：①当时， ②当时，（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．【典例6】（24-25高一下·福建福州·期中）已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（    ）A． B． C．4 D．6【答案】A【解析】因为是关于x的方程（）的一个复数根，所以，整理得：，而，故，故选：A.【变式6-1】（24-25高一下·广东·期中）在复数范围内，方程的解为_____【答案】【解析】由，则，则，所以，即.【变式6-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且.是关于的方程的一个根，(1)求实数p，q的值(2)求出方程的另一个复数根.【答案】(1)，；(2)【解析】（1），所以，因为，所以，因是关于的方程的一个根，则，即，所以，解得：，，（2）由（1）可知方程为，化简为，解得或，所以方程的另一根为.【变式6-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数z和它的共轭复数满足.(1)求复数z；(2)若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理.【答案】(1)；(2)方程的另一个根为，验证见解析【解析】（1）设，则，由，得，即，所以，解得，所以；（2）因为是关于x的方程的一个根，所以，即，所以，则，即，解得或，所以方程的另一个根为，因为,所以此方程的两个根满足韦达定理.题型七 复数的模长及应用 解｜题｜技｜巧（1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值；（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|；（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．【典例7】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____.【答案】【解析】因为,,所以.【变式7-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，则（    ）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A【变式7-2】（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知复数，其中i为虚数单位，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】复数，所以.故选：A【变式7-3】（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知复数满足，则（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由题意可得，所以，解得.故选：B．题型八 与复数模有关的最值问题 解｜题｜技｜巧1、复数的模的几何意义（1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义．（2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部．2、两个复数差的模的几何意义（1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．（2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆．（3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．【典例8】（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是_____．【答案】【解析】由于表示复数z对应的点到两点的距离和为3，结合两点之间距离为3，故复数z对应的点在两点的连线段上，设，则，故，当时，取到最大值.【变式8-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（    ）A．4 B．5 C．2 D．3【答案】A【解析】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，如图，最小值为.故选：A【变式8-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】设在复平面内对应的点分别为，因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.故选：A.【变式8-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______.【答案】【解析】设，则，由，得，整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线，由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，，而表示在复平面内复数对应点的距离，所以的最小值为.故答案为：期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】的实部为虚部为，故选：C.2．（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数______.【答案】【解析】复数为纯虚数，设，则，又都是纯虚数，，解得， .3．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则____.【答案】【解析】因为，所以，解得，所以.4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）A．的模长为定值 B．为纯虚数C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为【答案】AD【解析】A选项，，故的模长为，A正确；B选项，，为实数，B错误；C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误；D选项，，共轭复数为，D正确.故选：AD期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设（），则．已知，根据复数的模的计算公式可得．等式两边同时平方可得，这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则，它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为：．因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上，所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为．故选：A．2．（24-25高一下·河北邢台·期中）（多选）已知复数，则（    ）A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为C． D．若，则的最大值为3【答案】ACD【解析】因为，所以，，，所以，A选项正确；，，C选项正确；对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误；即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确；故选：ACD.3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】设，由题意，对A，，，所以，故A正确；对于B：，而，所以，故B正确；对于C：设，则，，，所以，故C正确；对于D：，所以不恒成立，故D错误.故选：ABC期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ）A． B．0 C．1 D．6【答案】C【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C.2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（    ）A． B． C．4 D．8【答案】B【解析】由可得，，所以，故选：B.4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．【答案】【解析】先由题得，所以. 1 / 4学科网（北京）股份有限公司$