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专题02 平面向量的数量积及其应用 题型1 定义法求数量积（重点） 题型13 已知模求数量积或夹角（常考点） 题型2 坐标法求数量积（重点） 题型14 已知垂直关系求参数（常考点） 题型3 基底法求数量积（难点） 题型15 数量积的运算律（易错点） 题型4 平面向量数量积的几何意义 题型16 向量中的锐角、钝角问题（易错点） 题型5 公式法求投影向量（常考点） 题型17 代数法求数量积的最值（范围）（难点） 题型6 坐标法求投影向量（常考点） 题型18 几何法求数量积的最值（范围）（难点） 题型7 已知投影向量求数量积（常考点） 题型19 三角函数的有界性求模的最值（范围）（难点） 题型8 定义法求夹角（重点） 题型20 三角不等式求模的最值（范围）（难点） 题型9 坐标法求夹角（重点） 题型21 代数法求模的最值（范围）（难点） 题型10 公式法求模（重点） 题型22 向量在平面几何和物理上的应用 题型11 坐标法求模（重点） 题型23 数量积的综合问题（重点） 题型12 已知数量积求模（常考点） 题型24 数量积及答题汇编（常考点）题型一 定义法求数量积（共5小题）1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知平面向量满足与的夹角为，则（   ）A．18 B．-18 C． D．【答案】A【详解】由与的夹角为，得，所以.2．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ）A．1 B． C．3 D．-1【答案】D【详解】因为和的夹角为，，，所以.故选：D.3．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ）A． B． C． D．2【答案】A【详解】已知，因为，所以.故选：A.4．（24-25高一下·河北·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（   ）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【详解】，为中点，则，，又，所以，，，所以.故选：D.5．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）在平行四边形中，，，，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】因为，在平行四边形中，，，所以.题型二 坐标法求数量积（共4小题）6．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知向量，，则（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】A【详解】因为，，所以.故选：A．7．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ）A．5 B．6 C．12 D．16【答案】D【详解】由已知可得，，所以.故选：D.8．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则.所以，.所以 .9．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______【答案】【详解】因为，所以，即，如图，建立平面直角坐标系，又为等边三角形，所以，则，所以，则.题型三 基底法求数量积（共4小题）10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______.【答案】【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以，因为，所以，所以.因为，，，所以.11．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）的重心为，外心为，且，则___________．【答案】【详解】因为为外心，所以，，所以，因为为重心，所以，则，所以.12．（25-26高一下·江苏泰州·月考）平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．【答案】【详解】由向量的线性运算法则，可得，因为点是边的一个四等分点（靠近点）,可得，所以，在平行四边形中，，且，所以.13．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________.【答案】【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以，所以，又，所以，所以.故答案为：题型四 平面向量数量积的几何意义（共3小题）14．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ）A． B． C． D．1【答案】C【详解】中，由，得，，又，且点在上，则，所以.15．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影数量为______【答案】【详解】向量在方向上的投影数量为：.故答案为：.16．（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.【答案】【详解】 .如图，过点O作于点E，于点F.根据数量积的几何定义，得.题型五 公式法求投影向量（共4小题）17．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.故选：A.18.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，化简得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，可得，．而向量在向量上的投影向量为，因，故在上的投影向量为．20．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________.【答案】【详解】因为，所以，即.所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且.因为，即，所以，所以.又向量方向上的单位向量为，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：.题型六 坐标法求投影向量（共5小题）21．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由向量，可得，则向量在向量上的投影向量为.22．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：D.23．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以在上的投影向量为：.24．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以所以在上的投影向量为故选：B25．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则坐标为（    ）A．或B．或C．或D．或【答案】A【详解】因为在上的投影向量为，所以，即，设，则，解得或，所以或.故选：A.题型七 已知投影向量求数量积（共3小题）26．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为_____________.【答案】2【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为，由题意得又，代入得即故答案为：227．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________．【答案】3【详解】因为在方向上的投影向量是，即，又，所以，所以故答案为：328．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.【答案】4【详解】∵向量在向量上的投影向量为，∴，∴，，则，∴.故答案为：4题型八 定义法求夹角（共3小题）29．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，解得，因，则.故选：C.30．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即；设向量与向量的夹角为，则，因为，所以.31．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为．(1)求的值；(2)求向量与的夹角的余弦值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意可得，，则；（2）由已知，，，则向量与的夹角的余弦值为.题型九 坐标法求夹角（共4小题）32．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，，所以，又因为，所以.33．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，，所以.故选：A34．（25-26高一下·浙江台州·开学考试）若向量，，则__________.【答案】【详解】由，，得，则，，，所以，又，所以，故答案为：35．（25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________.【答案】【详解】设与的夹角为，由夹角公式得，解得.故答案为：题型十 公式法求模 （共3小题）36．（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ）A．4 B．2 C．8 D．【答案】A【详解】由，所以，所以，，所以，又，所以．37．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则_______.【答案】4【详解】因为，，所以，可知，，即.故答案为：4.38．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由已知，．，．（2）．题型十一 坐标法求模（共2小题）39．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（    ）A． B．3 C． D．4【答案】C【详解】因为向量，，所以，所以.40．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________.【答案】【详解】因为向量满足，则，又与的夹角为，所以，则.故答案为：.题型十二 已知数量积求模（共4小题）41．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）  A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：  设（），则，所以，，所以，，由，又，所以.所以.故选：B42．（25-26高三上·江苏苏州·期末）设平面向量满足，，，则（    ）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【详解】，所以.故选：C43．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为_______________．【答案】/【详解】由可得：，又因为，所以，即，又因为，所以，故答案为：44．（25-26高一上·安徽·期末）已知，且.(1)求向量与的夹角；(2)求.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，得，即，解得，又，所以.（2）由（1）得，，故可得：，则.题型十三 已知模求数量积或夹角（共4小题）45．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 ______【答案】/0.5【详解】由两边取平方，可得，因，则.故答案为：.46．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________.【答案】【详解】因为，均为单位向量，且，所以，所以，所以，所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为.故答案为：.47．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由向量均为单位向量，且 ，得，整理得，即，所以.故选：D48．（25-26高一下·重庆开州·月考）若平面向量模长相等，且，则（ ）A． B．0 C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以，因为平面向量模长相等，设，所以，所以解得.题型十四 已知垂直关系求参数（共5小题）49．（25-26高一上·广东深圳·期末）设向量，向量，若，则（   ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】因为向量，向量，所以，因为，所以，解得.故选：A50．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，所以，所以，所以.故选：A51．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知向量，若，则（   ）A． B．2 C． D．6【答案】C【详解】因为，所以，得.52．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题知，若，则，即，解得，而是的必要不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件.故选：B53．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．【答案】4【详解】由是夹角为的两个单位向量，得，由，得，即，所以.故答案为：4题型十五 数量积的运算律（共3小题）54．（多选）（25-26高一下·安徽六安·月考）下列说法错误的是（   ）A．若，则B．若，则C．对任意向量都有D．，则与中至少有一个为【答案】BCD【详解】对于A选项，根据向量相等的概念，两向量相等，则其方向和大小都相同，故A正确；对于B选项，向量是既有大小又有方向的量，而方向是不能比较大小的，不能得出，故B错误；对于C选项，根据向量数量积和数乘的运算，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，但与不一定共线，故C错误；对于D选项，当均不为，且夹角为时，满足，故D错误.55．（多选）（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ）A．若，则或B．若共线，则C．若且，则D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则【答案】BD【详解】对于A：若且，，则，所以A错误；对于B：若共线，则或，所以，所以B正确；对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确；对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中，为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图：即在上的投影向量为，所以，所以D正确.故选：BD56．（多选）（25-26高一上·广东深圳·期末）下列命题中正确的是（    ）A．若则或B．在中，若点满足，则为的垂心C．已知非零向量，若，则的夹角为锐角D．若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形【答案】BD【详解】对于A，若则或，或，A错误；对于B，由，同理可得，所以P为的垂心，故B正确；对于C，设与的夹角为，则由得 ，又因为 ，所以，所以C错误；对于D，如图，取AB中点为E，连接CE，因为，所以，又E为AB中点，所以， 故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以D正确.故选：BD题型十六 向量中的锐角、钝角问题（共3小题）57．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】为锐角时，，因此是必要的，时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件，故选：B．58．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，所以.故选：D59．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________．【答案】【详解】因为、为互相垂直的单位向量，则，，因为向量与的夹角为锐角，则，解得，且与不共线，当与共线时，设，则，所以，解得，故当与不共线，，因此实数的取值范围是.题型十七 代数法求数量积的最值（范围）（共5小题）60．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，，，，设，∴，∴，∴当时，·取得最小值.故选；B.61．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，因为四边形是菱形，所以，由点是的中点，得，由题意得，，所以，因为，所以的取值范围是．故选：D．62．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ）A． B． C． D．4【答案】BCD【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系，则，设，，所以，又，当时取得最小值为，因为，所以，当时取得最大值为，则的取值范围为，选项BCD符合.63．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．【答案】【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设点，则，，，所以，则，当且仅当，时，取最小值．64．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________．【答案】/0.375【详解】设，，，，，即，故，，，由基本不等式得，，故，当且仅当时取等号，，故的最大值为．题型十八 几何法求数量积的最值（范围）（共1小题）65．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】（为的中点），则，要使最小，则，的方向相反，即点在线段上，则，即求的最大值，因为，所以，当且仅当，即是的中点时，取等号．故．故选：B．题型十九 三角函数的有界性求模的最值（范围）（共3小题）66.（24-25高三上·河北保定·开学考试）平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　）A．1 B．C． D．【答案】B【详解】因为，，，，得，即，即，所以，即.设与的夹角为，则，，∴当时，最小值为.故选：B.67.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________．【答案】【详解】解法一：由，即，而（为与的夹角），所以，解得，所以的最小值为．解法二：设，由，得，取线段上靠近的三等分点，则，且．由，得．如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则．设，由，得，易得点的轨迹是圆，所以的最小值为，所以的最小值为，即的最小值为．故答案为：．68．（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．【答案】【详解】因为点是圆上一点，，所以，因为，所以，设与的夹角为，，则，所以，又，所以，又点是圆内部一点，所以，综上；，因为，所以，则，所以.故答案为：.题型二十 三角不等式求模的最值（范围）（共4小题）69．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________．【答案】【详解】由题意，均为单位向量，且，则，由，则，解得，则的取值范围是.故答案为：.70．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ）A． B． C． D．4【答案】B【详解】（向量的三角不等式）平方去绝对值号，由，则，根据向量与的条件可得，化简可得，令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，即，又，则的最小值为题型二十一 代数法求模的最值（范围）（共2小题）71.（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，即，即，则.故选:D．72.（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【详解】（+二次函数）因为，在上的投影向量是，所以，则，则，因为，所以，则的最小值为.故选：A题型二十二 向量在平面几何和物理上的应用（共4小题）73.（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】设航船方向与河岸夹角为，所以，所以，，分钟.故选：C.74．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）  A．越大越费力，越小越省力 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】AD【详解】对于A，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增，即越大越费力，越小越省力，故A正确；对于B，当时，，故B错误对于C，当时，，所以，故C错误；对于D，当时，，所以，故D正确.故选：AD.75．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ）A．N B．2500N C．1250N D．N【答案】D【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，重力为，则，因为他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人，所以，解得，所以平均每只胳膊的最大拉力大小约为.76．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，则，又，故，.故选：C题型二十三 数量积的综合问题（共4小题）77．（多选）（25-26高一下·安徽六安·月考）下列说法正确的是（   ）A．已知，，则的最小值为6B．在中，若，则为钝角三角形C．在中，若点满足，则为的垂心D．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为【答案】ACD【详解】对于A选项，因为，，所以，又，所以，所以，当，即反向共线时等号成立，故A正确；对于B选项，由，又，所以，即为钝角，所以为锐角，故不能判断为钝角三角形，故B错误；对于C选项，因为，即，所以，所以，即，同理，由，得，即，由，得，即，所以为的垂心，故C正确；对于D选项，因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，故D正确．综上所述，选项ACD都正确.78．（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ）A．已知，则的最小值为6B．在中，若，则为钝角三角形C．若是的重心，则D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为【答案】ACD【详解】对A，因为，当反向共线时等号成立，故A正确；对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断为钝角三角形，故B错误；对C，由是的重心，可知，所以，故C正确；对D，因为与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，故D正确.故选：ACD79．（多选）（25-26高一上·河北唐山·月考）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（   ）A． B．C． D．与的夹角是钝角【答案】BC【详解】对于A，，故，故A错误；对于B选项，，故，故B正确；对于CD选项，作，，，则，，因为，所以，故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示：设线段的中点为点，则，，所以，，故C正确；以、为邻边作平行四边形，则，则为向量与的夹角，当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值，连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，故D错误.80．（多选）（25-26高一上·河北保定·期末）下列命题正确的是（   ）A．在中，，则的形状一定是直角三角形B．平行四边形中，若，则四边形是矩形C．若，，，四点在同一条直线上，且，则D．在中，若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABD【详解】对于A，由，可得，所以，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故A正确；对于B，由可得，所以，所以，所以，所以四边形是矩形，故选项B正确；对于C，依题意如图，但，故C错误；对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确.故选：ABD.题型二十四 数量积的解答题汇编（共10大题）81．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知单位向量与的夹角为，且.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题可得，则；（2）.82．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知向量与满足：，，且．(1)求与的夹角(2)求与的夹角的余弦值【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，，得，解得，又，因此，而，所以与的夹角.（2）由（1）得，，，所以与的夹角的余弦值.83．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，.(1)求；(2)若，求实数的值.【答案】(1)5；(2).【详解】（1）由，得，而，则，即，所以.（2）由（1）得，由，得，所以.84．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，.(1)若，求实数的值；(2)已知，求的最小值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，，又，所以，即，解得.（2）因为，所以，所以当时，取最小值.85．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，.(1)用、表示向量；(2)若，求边的长度.【答案】(1)；(2)【详解】（1）.（2）因为，；由题意得，解得，所以.86．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设．(1)若，求实数的值；(2)若，且，与的夹角为，求实数的值．【答案】(1)；(2)或【详解】（1）已知，计算得：，由两向量垂直则数量积为0，得：，解得；（2）已知，根据条件列方程：由，对模长平方得：①；由向量夹角公式，时，代入，得：，化简得：②；将②代入①，得，解得，即或；当时，代入②得；当时，代入②得；因此最终解为：或.87．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，.(1)求；(2)若，（i）求；（ii）求的取值范围.【答案】(1)4；(2)（i）；（ii）.【详解】（1）解：因为为弦的中点，所以且，所以，所以；（2）（i）因为，，，所以，所以.（ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上，由，，所以所以．88．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，.(1)用向量、表示；(2)若，，，求向量、夹角的余弦值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意可得.（2）解法一：由（1）得，因为为的中点，所以，从而，，所以，故向量、夹角的余弦值为；解法二：因为，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.可得、、、、，则，，所以，故向量、夹角的余弦值为；解法三：因为，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.可得、、、、、，从而，，所以，故向量、夹角的余弦值为.89．（25-26高一下·湖北荆州·月考）已知向量.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)，；(2).【详解】（1）由题可得，，令，，解得，，故单调递增区间为，；（2）由题意，函数在有两个不同的零点，令，则在有两个不同的解，故，故与的图象在上有两个不同的交点，而在为增函数，在为减函数，且，故，则，即.90．（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（）(1)若向量，，求；(2)已知，，且与不平行，，，证明：；(3)若向量，求．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)【详解】（1）根据题意可得，，，代入变换可得，即；（2），得，同理可得，；所以，则，，所以；（3）因为；且所以；因此由，可得，即，又，解得．1 / 44学科网（北京）股份有限公司$专题02 平面向量的数量积及其应用 题型1 定义法求数量积（重点） 题型13 已知模求数量积或夹角（常考点） 题型2 坐标法求数量积（重点） 题型14 已知垂直关系求参数（常考点） 题型3 基底法求数量积（难点） 题型15 数量积的运算律（易错点） 题型4 平面向量数量积的几何意义 题型16 向量中的锐角、钝角问题（易错点） 题型5 公式法求投影向量（常考点） 题型17 代数法求数量积的最值（范围）（难点） 题型6 坐标法求投影向量（常考点） 题型18 几何法求数量积的最值（范围）（难点） 题型7 已知投影向量求数量积（常考点） 题型19 三角函数的有界性求模的最值（范围）（难点） 题型8 定义法求夹角（重点） 题型20 三角不等式求模的最值（范围）（难点） 题型9 坐标法求夹角（重点） 题型21 代数法求模的最值（范围）（难点） 题型10 公式法求模（重点） 题型22 向量在平面几何和物理上的应用 题型11 坐标法求模（重点） 题型23 数量积的综合问题（重点） 题型12 已知数量积求模（常考点） 题型24 数量积及答题汇编（常考点）题型一 定义法求数量积（共5小题）1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知平面向量满足与的夹角为，则（   ）A．18 B．-18 C． D．2．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ）A．1 B． C．3 D．-13．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ）A． B． C． D．24．（24-25高一下·河北·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（   ）A．1 B．2 C． D．45．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）在平行四边形中，，，，则（    ）A． B．1 C．2 D．3题型二 坐标法求数量积（共4小题）6．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知向量，，则（    ）A．2 B．4 C． D．7．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ）A．5 B．6 C．12 D．168．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ）A． B． C． D．9．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______题型三 基底法求数量积（共4小题）10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______.11．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）的重心为，外心为，且，则___________．12．（25-26高一下·江苏泰州·月考）平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．13．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________.题型四 平面向量数量积的几何意义（共3小题）14．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ）A． B． C． D．115．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影数量为______16．（2026高一下·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________.题型五 公式法求投影向量（共4小题）17．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．18.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ）A． B． C． D．题型六 坐标法求投影向量（共5小题）21．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）A． B． C． D．22．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ）A． B． C． D．23．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．24．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．25．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则坐标为（    ）A．或B．或C．或D．或题型七 已知投影向量求数量积（共3小题）26．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为_____________.27．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________．28．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.题型八 定义法求夹角（共3小题）29．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ）A． B． C． D．30．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ）A．30° B．60° C．120° D．150°31．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量，满足，向量的夹角为．(1)求的值；(2)求向量与的夹角的余弦值．题型九 坐标法求夹角（共4小题）32．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（   ）A． B． C． D．33．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ）A． B． C． D．34．（25-26高一下·浙江台州·开学考试）若向量，，则__________.35．（25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________.题型十 公式法求模 （共3小题）36．（2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ）A．4 B．2 C．8 D．37．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则_______.38．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算(1)；(2)．题型十一 坐标法求模（共2小题）39．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知向量，，则（    ）A． B．3 C． D．440．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________.题型十二 已知数量积求模（共4小题）41．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）  A．2 B．4 C．6 D．842．（25-26高三上·江苏苏州·期末）设平面向量满足，，，则（    ）A．3 B．2 C． D．143．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为_______________．44．（25-26高一上·安徽·期末）已知，且.(1)求向量与的夹角；(2)求.题型十三 已知模求数量积或夹角（共4小题）45．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 ______46．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________.47．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ）A． B． C． D．48．（25-26高一下·重庆开州·月考）若平面向量模长相等，且，则（ ）A． B．0 C． D．题型十四 已知垂直关系求参数（共5小题）49．（25-26高一上·广东深圳·期末）设向量，向量，若，则（   ）A． B．0 C．1 D．250．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ）A． B． C． D．51．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知向量，若，则（   ）A． B．2 C． D．652．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件53．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．题型十五 数量积的运算律（共3小题）54．（多选）（25-26高一下·安徽六安·月考）下列说法错误的是（   ）A．若，则B．若，则C．对任意向量都有D．，则与中至少有一个为55．（多选）（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ）A．若，则或B．若共线，则C．若且，则D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则56．（多选）（25-26高一上·广东深圳·期末）下列命题中正确的是（    ）A．若则或B．在中，若点满足，则为的垂心C．已知非零向量，若，则的夹角为锐角D．若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形题型十六 向量中的锐角、钝角问题（共3小题）57．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件58．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ）A． B． C． D．59．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________．题型十七 代数法求数量积的最值（范围）（共5小题）60．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．61．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A． B．C． D．62．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ）A． B． C． D．463．（25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．64．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________．题型十八 几何法求数量积的最值（范围）（共1小题）65．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ）A． B． C． D．题型十九 三角函数的有界性求模的最值（范围）（共3小题）66.（24-25高三上·河北保定·开学考试）平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　）A．1 B．C． D．67.（2026高一下·全国·专题练习）已知向量满足，且，则的最小值为________．68．（25-26高一上·北京·期末）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．题型二十 三角不等式求模的最值（范围）（共4小题）69．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________．70．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ）A． B． C． D．4题型二十一 代数法求模的最值（范围）（共2小题）71.（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．72.（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ）A．5 B．4 C．3 D．2题型二十二 向量在平面几何和物理上的应用（共4小题）73.（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）．A． B． C． D．74．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）  A．越大越费力，越小越省力 B．当时，C．当时， D．当时，75．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ）A．N B．2500N C．1250N D．N76．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ）A． B． C． D．题型二十三 数量积的综合问题（共4小题）77．（多选）（25-26高一下·安徽六安·月考）下列说法正确的是（   ）A．已知，，则的最小值为6B．在中，若，则为钝角三角形C．在中，若点满足，则为的垂心D．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为78．（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ）A．已知，则的最小值为6B．在中，若，则为钝角三角形C．若是的重心，则D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为79．（多选）（25-26高一上·河北唐山·月考）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（   ）A． B．C． D．与的夹角是钝角80．（多选）（25-26高一上·河北保定·期末）下列命题正确的是（   ）A．在中，，则的形状一定是直角三角形B．平行四边形中，若，则四边形是矩形C．若，，，四点在同一条直线上，且，则D．在中，若，则点的轨迹经过的内心题型二十四 数量积的解答题汇编（共10大题）81．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知单位向量与的夹角为，且.(1)求；(2)求.82．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知向量与满足：，，且．(1)求与的夹角(2)求与的夹角的余弦值83．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，.(1)求；(2)若，求实数的值.84．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，.(1)若，求实数的值；(2)已知，求的最小值.85．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，.(1)用、表示向量；(2)若，求边的长度.86．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设．(1)若，求实数的值；(2)若，且，与的夹角为，求实数的值．87．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，.(1)求；(2)若，（i）求；（ii）求的取值范围.88．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，.(1)用向量、表示；(2)若，，，求向量、夹角的余弦值.89．（25-26高一下·湖北荆州·月考）已知向量.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围.90．（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（）(1)若向量，，求；(2)已知，，且与不平行，，，证明：；(3)若向量，求．1 / 44学科网（北京）股份有限公司$