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考点01 复数的概念 考点一：复数的基本概念1、虚数单位数叫倣虚数单位，它的平方等于，即．2、复数的摡念形如的数叫复数，记作：；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．3、复数的分类对于复数若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．）考点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．题型一：复数的概念 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．复数不能比较大小，仅实数可比较.1．若复数是实数，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可得其虚部为，解得.故选：C2．已知复数，则的虚部为（   ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因为复数，所以的虚部为.故选：D.3．已知，则“”是“”的（    ）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性.故选：B4．下列命题正确的个数是（    ）①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.A．1 B．2C．0 D．3【答案】B【解析】对于①，因为，所以，故①正确；对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；对于③，当，时，成立，故③错误；④正确.故选：B5．给出下列命题：①若R，则是纯虚数；②若R且，则；③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于.其中正确命题的序号是（　　）A．① B．②C．③ D．④【答案】D【解析】对于复数（R），当且时为纯虚数，在①中，若，则不是纯虚数，①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误；在④中，i的平方等于，④正确.故选：D题型二：复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为，①z为实数⇔．②z为虚数⇔．③z为纯虚数⇔且．把实数、虚数、纯虚数关系混淆；误认为虚数可比较大小；混淆虚部定义.1．已知，则实数________，________．【答案】 2【解析】因为，所以，解得故答案为：；22．若，则____________，____________．【答案】 3 【解析】，，解得.故答案为：.3．已知，则______．【答案】1【解析】由，得，解得．故答案为：1．4．已知，则_______【答案】3【解析】因为，，所以 解得.所以.故答案为：3.5．已知，i为虚数单位，且，则___________.【答案】0【解析】因为，则，故答案为：0.题型三：复数相等的充要条件 复数相等问题的解题技巧（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．（3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．未整理标准式就直接对比系数；忽略a，b，c，d均为实数的前提；含参数时漏解或多解；把虚部b误写成bi 进行比较。1．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)0．【解析】（1）实部为2，虚部为3，是虚数；（2）实部为，虚部为，是虚数；（3）实部为，虚部为1，是虚数；（4）实部为，虚部为0，是实数；（5）实部为0，虚部为，是纯虚数；（6）实部为0，虚部为0，是实数；2．下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？，，，，，.【解析】，，是实数；，，是虚数；是纯虚数.3．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解析】（1）当，即或时，复数z是实数.（2）当，解得且时，复数z是虚数.（3）当且，即时，复数z是纯虚数（4）当且，即时，复数z是0.4．已知复数，求当实数为何值时；(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)为虚数．【解析】（1）当且时，复数为实数，解得，所以时，复数为实数；（2）当且且时，复数为纯虚数，解得或，所以或时，复数为纯虚数；（3）当且时，复数为虚数，解得且，所以且时，复数为虚数.5．已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数）(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若，求m的值．【解析】（1）若z为纯虚数，则且所以（2）若，则且所以1．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，三个集合之间的关系如图所示，所以，，，．故选：C．2．若复数为纯虚数，则（  ）A．2 B．1 C．0 D．1或2【答案】B【解析】由题意可得：，解得：故选：B3．设，则“”是“复数为实数”的（    ）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若复数为实数，则，即．又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件．故选：C．4．设为虚数单位，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】又，根据复数的相等，故则故选：B.5．已知复数和复数．“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立；必要性：当时，则且，所以必要性成立，所以“”是“”的必要非充分条件.故选：B6．（多选题）已知复数，，则下列结论正确的是（   ）A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则【答案】AC【解析】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.若为实数，则，得，C正确.若为纯虚数，则得，D错误.故选：AC.7．设是虚数单位，则 “”是复数“复数为纯虚数”的______．(填充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件)【答案】必要不充分条件【解析】，或，即对应复平面的实轴和虚轴，复数为纯虚数，所以且，对应复平面除原点外的虚轴，故“”是复数“复数为纯虚数”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件.8．设实数，，满足，则的最大值为_________．【答案】/【解析】因为，所以，，又，所以．故答案为：9．设复数，当为何值时：(1)是实数？(2)是纯虚数？【解析】（1）要使复数为实数，需满足，解得或．即当或时，是实数．（2）要使复数为纯虚数，需满足，即解得，即当时，是纯虚数．10．已知复数和，若，试求的取值范围．【解析】，，消去m得，，，，∴当时，；当时，．的取值范围为．11．已知复数．(1)当为实数时，求的值；(2)当为纯虚数时，求的值．【解析】（1）为实数，，解得或，当为实数时，或；（2）为纯虚数，，解得，当为纯虚数时，.12．已知复数．(1)若为纯虚数，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）因为为纯虚数，所以解得．（2）由于，所以所以，又，所以当时，，当时，，所以实数的取值范围是．13．取何实数时，复数．(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？【解析】（1）当复数为实数时，其虚部等于零，即.可得或，即或.所以，当或时，复数为实数.（2）当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且.所以，当且时，复数为虚数.（3）当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即.解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且.综合以上两个条件，舍去，所以.所以，当时，复数为纯虚数.14．当实数为何值时，复数满足下列条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解析】（1）当即时，复数是实数．（2）当，且，即且时，复数是虚数．（3）当即时，复数是纯虚数．15．已知复数，，其中．若，求的值．【解析】由题意，,因为，所以，解得. 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$ 考点01 复数的概念 考点一：复数的基本概念1、虚数单位数叫倣虚数单位，它的平方等于，即．2、复数的摡念形如的数叫复数，记作：；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．3、复数的分类对于复数若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．）考点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．题型一：复数的概念 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．复数不能比较大小，仅实数可比较.1．若复数是实数，则（    ）A．1 B． C． D．2．已知复数，则的虚部为（   ）A．1 B． C． D．3．已知，则“”是“”的（    ）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件4．下列命题正确的个数是（    ）①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.A．1 B．2C．0 D．35．给出下列命题：①若R，则是纯虚数；②若R且，则；③若C，则复数的实部为a，虚部为b；④i的平方等于.其中正确命题的序号是（　　）A．① B．②C．③ D．④题型二：复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为，①z为实数⇔．②z为虚数⇔．③z为纯虚数⇔且．把实数、虚数、纯虚数关系混淆；误认为虚数可比较大小；混淆虚部定义.1．已知，则实数________，________．2．若，则____________，____________．3．已知，则______．4．已知，则_______5．已知，i为虚数单位，且，则___________.题型三：复数相等的充要条件 复数相等问题的解题技巧（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．（3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．未整理标准式就直接对比系数；忽略a，b，c，d均为实数的前提；含参数时漏解或多解；把虚部b误写成bi 进行比较。1．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)0．2．下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？，，，，，.3．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.4．已知复数，求当实数为何值时；(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)为虚数．5．已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数）(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若，求m的值．1．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．2．若复数为纯虚数，则（  ）A．2 B．1 C．0 D．1或23．设，则“”是“复数为实数”的（    ）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设为虚数单位，，且，则（    ）A． B． C． D．5．已知复数和复数．“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．（多选题）已知复数，，则下列结论正确的是（   ）A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则7．设是虚数单位，则 “”是复数“复数为纯虚数”的______．(填充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件)8．设实数，，满足，则的最大值为_________．9．设复数，当为何值时：(1)是实数？(2)是纯虚数？10．已知复数和，若，试求的取值范围．11．已知复数．(1)当为实数时，求的值；(2)当为纯虚数时，求的值．12．已知复数．(1)若为纯虚数，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围．13．取何实数时，复数．(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？14．当实数为何值时，复数满足下列条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．15．已知复数，，其中．若，求的值． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$