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考点02 复数的运算 考点一：复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：2、复数的加法运算律：交换律：结合律：考点二：复数的乘除运算1、乘法运算法则：设，（），我们规定：2、乘法运算律：（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：题型一：复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．进行复数加减时易忽略实部与虚部分别运算，错将实部虚部直接整体相加减；混淆虚数单位 i 与实数运算规则，误把 i 当作普通系数合并；漏写结果的代数形式规范，忘记按 a+bi 整理；含括号运算时符号出错，去括号未变号导致结果错误。1．已知复数，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B2．若复数，，，则的（   ）A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为【答案】D【解析】因为，所以的实部为，虚部为.故选：3．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得：，解得：.故选：A4．已知复数z满足，则z的虚部为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】设，则，由可得，所以，故z的虚部为，故选：B5．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B题型二：复数代数形式的乘法运算 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯．（2）常用公式①．②．③．展开多项式时漏乘、符号出错，尤其负号参与运算时易写错；混淆实部虚部概念，将含 i 项与常数项错误合并.1．的虚部为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，再根据复数相关概念可知，虚部为.2．复数的虚部为（   ）A． B．8 C． D．【答案】B【解析】因为，所以其虚部为8．故选：B．3．复数等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：，故选：C.4．已知复数，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以的虚部为，故选：A题型三：共轭复数的概念 （1）有关复数及其共轭复数的题目，注意共轨复数的性质：（1）设，则（2）紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．易将共轭复数理解为仅虚部符号相反，忽略实部保持不变；常误把虚部系数连同 i 一起变号；混淆复数与其共轭复数的关系，错认为二者相等；在书写时漏写虚部负号或符号写反；简单认为虚部为 0 的实数没有共轭复数，实则实数的共轭是其本身。1．已知复数满足，则其共轭复数__________.【答案】【解析】进行分母有理化，分子分母同乘，，复数的共轭复数为.故答案为；2．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________．【答案】【解析】法一，所以的共轭复数为．法二，所以的共轭复数为．故答案为：.3．已知复数满足：，则__________.【答案】【解析】由题意得，，则.故答案为：4．已知复数，是复数的共轭复数，则复数的虚部等于_________．【答案】【解析】根据题意，，则，其虚部为．故答案为：5．已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为_______________.【答案】【解析】设，由，得，整理得，比较实部、虚部得，即又知，从而有，进而，于是，满足条件的复数的积为，故答案为：.题型四：复数代数形式的除法运算 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．（2）常用公式①；②；③．忘记利用共轭复数进行分母实数化，直接分子分母相除；乘共轭复数时展开出错、符号混乱.1．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）.2．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）原式．3．．【解析】.4．已知为虚数，且是实数，也是实数，求的值．【解析】设，，，因为为虚数，故，又，因为，故为实数，所以，故①，而也为实数，同理可得为实数，故②，由①②得：，所以，故.若，则，，同理若，则．5．已知复数，其中为虚数单位．(1)若是纯虚数，求实数的值；(2)若，设，试求的值．【解析】（1）由题意可得：，且，解得，所以的值为；（2）若m＝2，则，所以，所以，，所以.题型五：i的运算特征 （1）虚数单位的性质①．②．（2）复数的乘方运算，要充分使用及乘方运算律简化运算．对 i 的幂次周期规律掌握不牢.1．若为虚数单位，则（   ）A．2 B．0 C． D．【答案】B【解析】，，．2．若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】依题意，，则为实数，正整数为偶数，所以正整数n的最小值为2.故选：B3．复数的虚部为（    ）A． B． C． D．i【答案】B【解析】，所以复数的虚部为.故选：B.4．已知复数，则（   ）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】依题意，复数，所以.故选：C5．若复数，则（    ）A． B．3i C． D．3【答案】A【解析】易知，所以复数，可得，所以.故选：A题型六：复数四则运算的综合应用 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．混合运算时常不按先乘除后加减顺序，随意跳步出错；乘方与加减混合时，错把 i 的幂次直接与实部合并；化简过程中符号、括号处理混乱；求参数值时漏列实部、虚部分别相等的条件.1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）因为，所以原式2．计算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）因为，所以，原式3．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）（4）.4．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）（4）.5．计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式．（2）=.（3）．题型七：在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法(1)求根公式法①当时，.②当时，.(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为，将此根代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．只按实数方法求解，忽略判别式小于 0 时复数根；错把虚根写成无意义的根号负数形式，不会正确用 i 表示；二次方程漏写共轭虚根，只写一个解；移项、系数化一时符号出错；含参数方程未分清实部虚部，导致等式列错、解出错误参数。1．设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限．(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)若，且是关于的方程的一个复数根，求．【解析】（1）由题意得，若复数为纯虚数，则有，且，解得.（2）方程的判别式，故有两共轭复数根，设，则另一个根为，因为对应的点在第一象限，所以，由韦达定理得，解得，且，所以有，解得，所以，则.2．设，已知、是关于的方程的两个虚根．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围；(3)若，，求和的值．【解析】（1），方程为，所以.（2），、是关于的方程的两个虚根所以，解得，所以的取值范围为.（3）设，则，，，由韦达定理，，所以.3．已知复数，，是虚数单位．(1)若复数是纯虚数，求的值；(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．【解析】（1）由题可得，，且，由得或，由，得，故．（2）当时，，代入关于的方程，得，整理得，，因为为实数，所以，解得，故实数的值分别为4，13.4．设，复数．(1)若为纯虚数，求实数a的值；(2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值．【解析】（1）由题意知，又为纯虚数，所以，解得或．（2）因为复数是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，或，所以，或．5．若是实系数方程的一个根，求方程的另一个根以及的值．【解析】是实系数一元二次方程的一个根，也是方程的根．，即．1．已知复数，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.2．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以 的共轭复数为 .3．若复数，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，， 故选：D4．若（）为纯虚数，则（   ）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】，因为为纯虚数，所以，且，所以.5．若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，所以，当时，．故选：C.6．设，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以．故选：C7．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即．经检验，能使，所以满足题意．故选：D.8．（多选题）已知复数，，则下列结论正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】AB【解析】，A：，正确B：，正确C：，错误D：，错误9．（多选题）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因为是关于的实系数方程的一个根，所以，整理得，则，解得．故选：BD.10．（多选题）已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ）A．若，则 B．是为纯虚数的充要条件C．若，则 D．若，则的最大值为【答案】AD【解析】因为，对于A，若，则，所以，故A正确，对于B，若为纯虚数，则且，所以是为纯虚数的必要不充分条件，故B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，若，则，即，令，则，当，即时，取等号，所以D正确.11．设复数，则___________．【答案】【解析】由题意得，由模长公式得.12．若，则_______.【答案】0【解析】已知，所以.13．设是虚数单位，__________．【答案】/【解析】原式．故答案为：14．若复数满足，是的共轭，则为______．【答案】0【解析】由韦达定理可知，是实系数一元二次方程的两个根，解得，则，则.15．试分析方程是否有实数根？并解方程．【解析】设是方程的实数根，则，即，所以，解得，所以方程有实数根．设另一个根为，则，解得，可得方程的两根分别为，． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$ 考点02 复数的运算 考点一：复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：2、复数的加法运算律：交换律：结合律：考点二：复数的乘除运算1、乘法运算法则：设，（），我们规定：2、乘法运算律：（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：题型一：复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．进行复数加减时易忽略实部与虚部分别运算，错将实部虚部直接整体相加减；混淆虚数单位 i 与实数运算规则，误把 i 当作普通系数合并；漏写结果的代数形式规范，忘记按 a+bi 整理；含括号运算时符号出错，去括号未变号导致结果错误。1．已知复数，则等于（    ）A． B． C． D．2．若复数，，，则的（   ）A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为3．已知，则（    ）A． B． C． D．4．已知复数z满足，则z的虚部为（    ）A．1 B． C．2 D．5．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ）A． B． C． D．题型二：复数代数形式的乘法运算 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯．（2）常用公式①．②．③．展开多项式时漏乘、符号出错，尤其负号参与运算时易写错；混淆实部虚部概念，将含 i 项与常数项错误合并.1．的虚部为（   ）A． B． C． D．2．复数的虚部为（   ）A． B．8 C． D．3．复数等于（    ）A． B． C． D．4．已知复数，则的虚部为（    ）A． B． C． D．题型三：共轭复数的概念 （1）有关复数及其共轭复数的题目，注意共轨复数的性质：（1）设，则（2）紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．易将共轭复数理解为仅虚部符号相反，忽略实部保持不变；常误把虚部系数连同 i 一起变号；混淆复数与其共轭复数的关系，错认为二者相等；在书写时漏写虚部负号或符号写反；简单认为虚部为 0 的实数没有共轭复数，实则实数的共轭是其本身。1．已知复数满足，则其共轭复数__________.2．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________．3．已知复数满足：，则__________.4．已知复数，是复数的共轭复数，则复数的虚部等于_________．5．已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为_______________.题型四：复数代数形式的除法运算 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．（2）常用公式①；②；③．忘记利用共轭复数进行分母实数化，直接分子分母相除；乘共轭复数时展开出错、符号混乱.1．计算：(1)；(2)．2．计算：(1)；(2)．3．．4．已知为虚数，且是实数，也是实数，求的值．5．已知复数，其中为虚数单位．(1)若是纯虚数，求实数的值；(2)若，设，试求的值．题型五：i的运算特征 （1）虚数单位的性质①．②．（2）复数的乘方运算，要充分使用及乘方运算律简化运算．对 i 的幂次周期规律掌握不牢.1．若为虚数单位，则（   ）A．2 B．0 C． D．2．若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．复数的虚部为（    ）A． B． C． D．i4．已知复数，则（   ）A．0 B．1 C． D．25．若复数，则（    ）A． B．3i C． D．3题型六：复数四则运算的综合应用 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．混合运算时常不按先乘除后加减顺序，随意跳步出错；乘方与加减混合时，错把 i 的幂次直接与实部合并；化简过程中符号、括号处理混乱；求参数值时漏列实部、虚部分别相等的条件.1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．计算：(1)；(2)．3．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．4．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．5．计算：(1)；(2)；(3)．题型七：在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法(1)求根公式法①当时，.②当时，.(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为，将此根代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．只按实数方法求解，忽略判别式小于 0 时复数根；错把虚根写成无意义的根号负数形式，不会正确用 i 表示；二次方程漏写共轭虚根，只写一个解；移项、系数化一时符号出错；含参数方程未分清实部虚部，导致等式列错、解出错误参数。1．设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限．(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)若，且是关于的方程的一个复数根，求．2．设，已知、是关于的方程的两个虚根．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围；(3)若，，求和的值．3．已知复数，，是虚数单位．(1)若复数是纯虚数，求的值；(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．4．设，复数．(1)若为纯虚数，求实数a的值；(2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值．5．若是实系数方程的一个根，求方程的另一个根以及的值．1．已知复数，则（   ）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ）A． B．C． D．3．若复数，则（   ）A． B． C． D．4．若（）为纯虚数，则（   ）A． B．2 C． D．45．若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ）A． B． C． D．6．设，则（   ）A． B． C． D．7．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ）A． B． C． D．8．（多选题）已知复数，，则下列结论正确的是（   ）A．B．C．D．9．（多选题）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ）A． B． C． D．10．（多选题）已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ）A．若，则 B．是为纯虚数的充要条件C．若，则 D．若，则的最大值为11．设复数，则___________．12．若，则_______.13．设是虚数单位，__________．14．若复数满足，是的共轭，则为______．15．试分析方程是否有实数根？并解方程． 1 / 10学科网（北京）股份有限公司$