""

专题02 复数 题型1虚数单位i及其性质 题型14与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型2复数的基本概念 题型15复数加减法 题型3求复数的实部与虚部 题型16复数的乘法 题型4复数的相等 题型17复数的乘方 题型5复数的分类及辨析 题型18复数的除法 题型6已知复数的类型求参数 题型19复数范围内分解因式 题型7共轭复数 题型20复数范围内方程的根 题型8判断复数对应的点所在的象限 题型21复数的三角表示 题型9根据复数的坐标写出对应的复数 题型22欧拉公式 题型10在各象限内点对应复数的特征 题型11实轴、虚轴上点对应的复数 题型12求复数的模 题型13由复数模求参数 3 / 23学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型1 虚数单位i及其性质1．（25-26高一下·全国·课堂例题）__________，__________，__________，__________．【答案】 i 【分析】根据复数的周期性质即可求解.【详解】，，，，故答案为：,,,12．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，其中为虚数单位，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，，故，又因为，故.3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______【答案】0【分析】根据的运算公式，即可求解.【详解】.故答案为：0题型2 复数的基本概念4．【多选】（23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是（   ）A．若，则 B．C．是纯虚数 D．若，则【答案】ABD【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项.【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误；对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确；对于D选项，当时，，故D错误.故选：ABD.5．【多选】（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（   ）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】BD【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误.【详解】对于A， 当 时，，故A错误；对于B，设，由题可得，则.故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，设，则，故D正确.故选：BD6．【多选】（2025·江苏南通·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（   ）A．若则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D.【详解】，如，，此时与无大小关系，A错．，，，，，B对．，，，即，则，，C对．设，，此时但，D错，故选：BC．7．【多选】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】BCD【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC.【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；设，对于B，由，得，则，因此，，B正确；对于C，，，C正确；对于D，由，得都是实数，因此，D正确.故选：BCD题型3 求复数的实部与虚部8．（25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为______.【答案】【分析】根据复数的概念，即可求解.【详解】由复数，可得复数的虚部为.故答案为：9．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数除法运算得复数，然后确定其虚部即可.【详解】复数满足，则，所以的虚部为.故选：C10．（2025·浙江温州·三模）已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ）A．1 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用复数的除法计算，再利用共轭复数以及复数的定义即可.【详解】，则，则，故的虚部是.故选：A11．（25-26高三上·北京东城·期中）已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（  ）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由复数的除法运算结合复数概念即可求解.【详解】由，得，由题意可得，故选：A12．（25-26高三上·江苏无锡·期中）设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（    ）．A．3 B．1 C．－1 D．－3【答案】A【分析】根据复数的乘法运算求出，由题意列出方程，即可求得答案.【详解】因为，且的实部与虚部相等，故，解得，故选：A13．（25-26高三上·天津·期中）已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______.【答案】【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可.【详解】，.故复数的虚部为.故答案为：.14．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知，（为虚数单位），则（   ）A．3 B．1 C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法运算化简，再结合复数相等得的值.【详解】因为，又，且，所以.故选：A.题型4 复数的相等15．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案.【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得.故选：C.16．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则______．【答案】1【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可．【详解】由，得，解得．故答案为：1．17．（25-26高三上·河北·期中）若，____________．【答案】【分析】由复数相等、共轭复数概念及复数的加减运算求出，再由复数模的计算公式求解.【详解】设，则，，又，则，所以，，即，，所以，则．故答案为：．18．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数z满足：（为虚数单位），则__________.【答案】5【分析】设，代入化简，根据复数相等可求出，，再由复数的模长公式求解即可.【详解】设（a，），则，代入，则，∴，，即，，∴，∴.故答案为：5.19．（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（    ）A． B． C．1 D．4【答案】D【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案；法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案.【详解】法一：因为，所以，所以，解得，故；法二：，故，因为是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得，，故，所以.故选：D题型5 复数的分类及辨析20．【多选】（25-26高一下·全国·课后作业）下列四个命题，错误的是（   ）A．两个复数不能比较大小B．若复数z满足，则C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集【答案】ABCD【分析】根据虚数不能比大小可判断A的正误；取可判断B的正误；取可判断C的正误；根据纯虚集、虚数集、实数集三者之间的关系可判断D的正误.【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误；对于B，取，则，但，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集，若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误．故选：ABCD．21．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知全集是复数， 是有理数， 是无理数， 是实数， 是虚数，那么为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据并集和补集的定义，结合常见数集之间的关系进行运算即可.【详解】，，．故选：B22．（25-26高二上·云南普洱·期末）下列复数为纯虚数的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据纯虚数概念及复数运算逐项分析即可.【详解】选项A，由为实数，故A选项不正确；选项B，由为纯虚数，故B选项正确；选项C，由不是纯虚数，故C选项不正确；选项D，不是纯虚数，故D选项不正确.故选：B.23．【多选】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知复数，，则下列复数为纯虚数的是（   ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用复数的四则运算逐一分析四个选项得答案．【详解】，，，，，.故选：BD24．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________．【答案】②③④【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可.【详解】①为纯虚数不是实数；②为无理数是实数；③为实数；④为实数；⑤为一般虚数不是实数．故答案为：②③④题型6 已知复数的类型求参数25．（25-26高二上·陕西西安·期中）设复数为纯虚数（为虚数单位），则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义，结合共轭复数的定义求解.【详解】复数为纯虚数，则，解得，则，所以.故选：A26．（25-26高二上·江苏扬州·期中）复数是纯虚数，则实数（    ）A． B．或4 C．6 D．4【答案】D【分析】根据纯虚数的概念求的值.【详解】由或，由或.因为复数是纯虚数，所以.故选：D27．（25-26高三上·重庆·期中）已知复数为纯虚数，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用复数的除法化简复数，结合纯虚数的定义即可得.【详解】为纯虚数，所以，可得.故选：D28．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）A． B．1C．3 D．或1【答案】B【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】依题意，，解得．故选：B．29．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知复数，，，则“是实数”的充要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘法运算和复数的分类以及充要条件的判断即可得到答案.【详解】由题意得，因为是实数当且仅当，即，所以“是实数”的充要条件是“”.故选：C.30．（25-26高二上·上海·期中）设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据共轭复数的概念求出命题“”的等价命题，再由复数的概念，结合充要条件定义即可判断.【详解】因，则，而“为实数”即，故“”是“z为实数”的充要条件.故选：C.31．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（），(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围；(3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；（2）利用复数的几何意义列不等式组求解；（3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解.【详解】（1）若z为纯虚数，则，解得；（2）若复数z对应的点位于第二象限，则，解得；（3）若复数z对应的点位于直线上，则，解得或，则或.32．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数（是虚数单位），.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解；（2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围.【详解】（1），若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得.（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0，即 ，，解得，即.33．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值．(1)是实数；(2)是纯虚数；(3)在复平面内对应的点在第二象限．【答案】(1)1或2(2)(3)【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解；（2）根据复数的概念列式即可求解；（3）根据复数的几何意义列式即可求解.【详解】（1）由题意，若是实数，则，解得或（2）若是纯虚数，则，解得；（3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得.题型7 共轭复数34．（25-26高三上·山东·月考）已知，则的虚部为（    ）A． B．2 C．3 D．6【答案】C【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以的虚部为3.故选：C35．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若，则复数的共轭复数的虚部是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数除法运算法则结合共轭复数的概念、复数的概念计算即可.【详解】由题得，，，其虚部为，D正确.36．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知复数为，则（   ）A．4 B． C． D．【答案】A【详解】，，．37．（25-26高三上·河南周口·期中）在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法化简复数，从而由对称性得复数，再根据共轭复数的概念得所求.【详解】因为复数，所以复数，则.故选：C.38．（25-26高三上·浙江·期中）已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法运算求出，再求共轭复数.【详解】u，则其共轭复数为.故选：A.39．【多选】（25-26高二上·贵州遵义·期中）若复数，则下列说法正确的是（    ）A．的虚部为 B．的共轭复数为C． D．【答案】BCD【分析】利用复数概念及模的运算和除法运算即可求解.【详解】复数的虚部为，故A错误；复数的共轭复数为，故B正确；复数的模为，故C正确；，故D正确；故选：BCD.题型8 判断复数对应的点所在的象限40．（24-25高一下·广东·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数乘法运算法则，写成的形式，得其对应点的坐标，判断即可.【详解】因为.所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.41．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由复数乘法运算得到，进而可求解.【详解】因为，所以在复平面内复数对应的点为，此点位于第二象限，故选：B．42．（25-26高三上·山西·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先计算复数的乘积，得到复数的代数形式，再确定其在复平面内对应的点的坐标，最后根据坐标判断所在象限.【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D43．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，进而确定对应点的位置.【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C44．（25-26高三上·河北·期中）在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由复数的除法运算结合复平面内点的特征可得.【详解】因为，所以其对应的点，位于第一象限．故选：A45．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点在（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限，故选：B46．（25-26高二上·云南曲靖·期中）复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出复数，再进行判断即可.【详解】由得，复数在复平面内对应的点为，所以位于第一象限.故选：A.47．【多选】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知复数，则（   ）A．的实部是 B．的虚部为C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限【答案】BCD【分析】根据复数的乘除运算、定义、模的公式等知识逐项判断即可.【详解】由题意可得，则的实部是，虚部是，，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：BCD.题型9 根据复数的坐标写出对应的复数48．（25-26高一下·全国·期中）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________．【答案】【分析】根据题意，得到，，结合复数乘法的运算法则，即可求解.【详解】由题意得，复数，，则．故答案为：49．（25-26高三上·河北石家庄·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的几何意义得到，再利用复数的运算法则代入计算即可.【详解】在复平面中，点坐标为 对应的复数为 ，.故选：D50．（24-25高一下·黑龙江·月考）在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（ ）A．2 B．2i C． D．i【答案】C【分析】根据坐标得到，得到虚部.【详解】复数对应的点是，故，虚部为-1.故选：C51．（24-25高二上·山东威海·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________.【答案】/【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入化简求解即可.【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，则，所以.故答案为：.52．（24-25高三上·江西·期中）如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对应点坐标写出复数，再应用复数的乘除运算化简，即可得答案.【详解】由图得，则，所以，虚部为.故选：C题型10 在各象限内点对应复数的特征53．（25-26高三上·河南·开学考试）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围.【详解】由题意.因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以.故选：D54．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】将复数化简，令其对应的实部大于，虚部小于，即可求出对应的实数的取值范围.【详解】，令则，得.故答案为：.55．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知复数，.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先计算，再根据复数的特征，即可求解；（2）根据复数的几何意义，列不等式求解.【详解】（1）由题意可得.因为是纯虚数，所以，解得；（2）由题意可得，解得，即的取值范围为.56．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，.(1)若是实数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】(1)3(2)【分析】（1）利用复数的除法运算化简，然后令虚部为零，求解；（2）利用复数的乘法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解.【详解】（1）解：    ，，  ；（2）解：    在复平面内对应的点在第四象限，.57．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知复数，其中，i为虚数单位．(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；(2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；(3)当时，求．【答案】(1)8(2)(3)【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得；（2）利用复数在复平面对应点的性质，列式计算即得；（3）代入参数求得复数的模长.【详解】（1）由复数是纯虚数，且，得，解得，所以实数m的值为3.（2）由复数对应的点在第三象限，且，得，解得，即，所以实数m的取值范围为.（3）当时，，．所以.58．（24-25高一下·广东清远·期中）已知复数，.(1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第一象限点的特征求解，（2）根据复数相等的充要条件，可得，即可利用二次函数的性质求解.【详解】（1）对应的点为，故且，故，（2），故，故，故，，故当时，的最小值为59．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（）(1)若，求实数m的值；(2)若z为虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.【答案】(1)-1(2)(3)【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案；（2）由求出答案；（3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案.【详解】（1），故为实数，，解得；（2）z为虚数，故，所以；（3）由题意得，解得60．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中.(1)若，求的值；(2)若对应的点在第一象限，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可；（2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可.【详解】（1）由，可得，解得或；（2）由对应的点在第一象限，可得，解得且，所以的取值范围为.题型11 实轴、虚轴上点对应的复数61．（22-23高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第三象限．【答案】(1)或(2)【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案；【详解】（1）复数的实部为，虚部为．由题意得，解得或；（2）由题意，得，解得.62．【多选】（21-22高一下·吉林·期中）已知为虚数单位，，则关于复数的说法正确的是（    ）A． B．对应复平面内的点在坐标轴上C．的虚部为 D．【答案】ABD【分析】由复数运算可求得，由复数模长、虚部的定义、复数对应点的坐标和共轭复数的运算可得选项.【详解】，，对于A，，A正确；对于B，对应的点为，在坐标轴上，B正确；对于C，由虚部定义知：的虚部为，C错误；对于D，，，D正确.故选：ABD.63．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为___________.【答案】或【分析】由条件可得，解出即可.【详解】因为复数对应点在虚轴上，所以，解得或故答案为：或.64．（20-21高三上·西藏·期中）设复数，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C．题型12 求复数的模65．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知复数，其中为虚数单位，则（   ）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】根据复数的乘法运算及模的定义求解.【详解】因为，所以，故选：B66．（23-24高三上·福建厦门·期中）复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照复数的运算法则求出，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】因为，可得，所以，故选：A.67．（25-26高二上·陕西汉中·期中）若复数满足（是虚数单位），则（   ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长.【详解】由题意可知，∴.故选：B68．（25-26高三上·山西大同·期中）已知复数，为虚数单位，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法及复数的模即可求解.【详解】，所以.故选：C.69．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知复数满足，则（　　）A．1 B．2 C．2 D．【答案】D【分析】根据复数的运算法则和复数的模长的算法即可得出答案.【详解】因为，所以，则，故选：D．70．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（   ）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模.【详解】依题意，，所以.故选：A71．【多选】（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ）A．B．C．在复平面内对应的点位于第四象限D．复数满足，则的最大值为【答案】BCD【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项．【详解】，，，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确；复数满足，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，，故的最大值为，故D正确．故选：BCD．题型13 由复数模求参数72．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）若，则“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据复数的模长公式，可求解，即可根据充分不必要条件的定义求解.【详解】由得，故，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：B73．（24-25高一下·海南海口·期中）已知复数.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由复数模长的计算可得；（2）由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果.【详解】（1）若，则，即，解得.（2）由两个复数相等可得，即，化简可得，其中，当时，取得最小值，，当时，取得最大值，，所以的取值范围是.74．（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据复数模的公式求解.【详解】由题意可得，所以，解得.故选：B．75．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用复数模的定义，列式计算得解.【详解】依题意，，解得.故选：B76．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数__________．【答案】【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数.【详解】设复数（x，），则．由题意知或．故答案为：77．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.【答案】【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解.【详解】设复数，由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，联立，解得，所以，经检验，满足，则.故答案为：.题型14 与复数模相关的轨迹（图形）问题78．（25-26高二上·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数模的定义，代入计算即可求出在复平面内对应点的轨迹方程.【详解】,,即，所以的轨迹方程为.故选：D79．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知复数且，若满足，则的取值范围为__________.【答案】【分析】根据三角不等式可求的取值范围.【详解】因为，所以.因为.故答案为：80．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可.【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B.81．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是_____．【答案】【分析】根据复数模的几何意义确定复数z对应的点在两点的连线段上，继而求出的表达式，即可求得答案.【详解】由于表示复数z对应的点到两点的距离和为3，结合两点之间距离为3，故复数z对应的点在两点的连线段上，设，则，故，当时，取到最大值，故答案为：题型15 复数加减法82．（22-23高一下·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.83．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是__________.【答案】【分析】由已知条件得，由此能求出复数的共轭复数.【详解】由在复平面内，复数对应的向量分别是，得，，∴复数的共轭复数是.故答案为：.84．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____．【答案】2【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可．【详解】由复数，，可得为纯虚数，则，解得．故答案为：2．85．（23-24高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值.【详解】因为为实数，所以，即，又为纯虚数，所以，即且，综上可知，所以.故选：A.86．（22-23高二上·山东日照·期中）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.(1)求复数；(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设（，），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【详解】（1）根据题意，设复数（，），则为实数，即，解得，所以，.又∵，∴，得，所以复数.（2）由（1）知，对应的点在第四象限，所以解得：，即.所以实数的取值范围是.87．【多选】（23-24高三下·重庆·月考）已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（    ）A．B．为纯虚数C．D．【答案】ACD【分析】设复数，即可得其共轭复数，根据复数的加减运算，即可判断A，B；根据复数模的计算可判断C；根据复数的乘方运算可判断D.【详解】设复数，则，故，A正确；，当时，为实数，B错误；，则，C正确；，，故，则，D正确，故选：ACD题型16 复数的乘法88．（25-26高三上·湖南·期中）复数的虚部为（    ）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】应用复数的乘法求复数，即可得虚部.【详解】由，所以复数的虚部为6.故选：A89．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）的虚部为（   ）A． B． C．2 D．11【答案】B【分析】根据复数的乘法运算直接计算求解即可．【详解】，所以的虚部为．故选：B．90．（25-26高三上·河北衡水·期中）（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法法则计算即可.【详解】．故选：C．91．（25-26高三上·湖南·期中）已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用复数的减法、乘法运算化简，即可得.【详解】.故选：C92．【多选】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知复数，则（   ）A．的实部是7 B．的实部是C．的虚部是 D．的虚部是13【答案】BD【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可根据虚部和实部的定义求解.【详解】因为，所以复数的实部是，虚部是13，则BD均正确，A，C均错误.故选：BD93．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法运算化简，从而利用几何意义确定象限即可.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.94．（25-26高三上·黑龙江·期中）在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的乘法及复数的几何意义即可判断.【详解】因为，所以它对应的点为，位于第四象限.故选：D.题型17 复数的乘方95．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）复数的虚部为（   ）A．1 B．i C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案.【详解】，则其虚部为1.故选：A.96．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设为虚数单位，若，则______.【答案】【详解】由题意得：，故.故答案为：97．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知复数，则（    ）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】利用复数的乘方运算求得复数，进而利用复数的模的计算公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.98．（25-26高三上·河南郑州·期中）若复数与都是纯虚数，则是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设复数，利用复数的乘方运算，结合纯虚数与共轭复数的概念求解即得．【详解】因为复数是纯虚数，所以设复数，则，因为是纯虚数，所以，解得，所以，．故选：B．99．（25-26高三上·江苏·期中）若复数满足（为虚数单位），则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解.【详解】，，所以，所以，所以，故选：C100．（25-26高三上·山东菏泽·期中）=_____【答案】【分析】根据复数的运算规则化简计算即可.【详解】原式.故答案为：.题型18 复数的除法101．（2025·四川德阳·一模）复数的虚部为（   ）A．-3 B． C． D．【答案】C【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解.【详解】由题复数，所以复数的虚部为.故选：C102．（25-26高二上·湖北·期中）复数的虚部为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法运算法则计算可得答案.【详解】，虚部为.故选：D103．（25-26高三上·江西萍乡·期中）若复数满足，则的虚部为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部.【详解】由题意可得，故复数的虚部为.故选：D.104．（25-26高三上·河北·期中）若 则（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘法运算即可.【详解】由题可得：，故选：B105．（22-23高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________．【答案】【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，根据复数的概念即可求解.【详解】因为复数为纯虚数，所以，.故答案为：-3.106．（21-22高二下·河南商丘·期中）若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据的周期性及复数的除法运算法则，结合复数实部与虚部相等即可求解.【详解】由题意可知，，因为复数的实部和虚部相等，所以，解得，所以．故选：C．107．（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可；（2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】（1）设，由，得，即，整理得，因为，即，所以，解得，所以；（2）由（1）结合，可得，所以，所以.108．【多选】（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（    ）A．的实部为3B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点在第四象限【答案】ACD【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.【详解】由于，则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，故选：ACD.109．【多选】（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ）A．若复数满足，且，则B．若复数满足，则C．若，则D．若复数，满足，则【答案】ABD【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D.【详解】对于A选项，令，a，，则，因为，且，所以，则，故，故A正确；对于B选项，令，则由，得，所以，故B正确；对于C选项，令，，此时，，，故C错误；对于D选项，令，，则，所以，，故D正确.故选：ABD题型19 复数范围内分解因式110．（22-23高一下·吉林·期中）（1）已知复数满足，求；（2）在复数范围内因式分解：.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）根据复数的运算法则，准确运算，即可求解；（2）利用求根公式求得方程的根，进而得到的因式分解.【详解】解：（1）由复数满足，可得.（2）由判别式，所以方程的两个根为，则.111．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为__________.【答案】【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可.【详解】令，，所以，即.故答案为: .112．（22-23高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：______．【答案】【分析】首先分解为，再在复数范围内分解因式.【详解】故答案为：113．（21-22高三下·上海浦东新·期中）在复数范围内分解因式：______.【答案】【分析】配凑二次三项式，结合平方差公式，即可求得结果.【详解】因为.故答案为：.114．（21-22高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积：__________.【答案】【分析】利用将原式化为，再由平方差公式分解即可.【详解】.故答案为：115．（21-22高一下·福建福州·期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出方程的复数根，即可得解；【详解】解：对于方程，因为，所以有两个虚根，即，，所以；故选：A116．（20-21高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________．【答案】【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可.【详解】解：故答案为：题型20 复数范围内方程的根117．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________．【答案】【分析】将代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案.【详解】因是关于x的实系数方程的一个复数根，则，则.故答案为：118．（25-26高二上·上海·期中）若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为______．【答案】【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出.【详解】由方程，得，依题意得，即，所以方程得两虚根为，因为模为，所以，所以.故答案为：2.119．（25-26高三上·上海·期中）若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____.【答案】【分析】根据题意知也是实系数方程的一个复数根，利用根与系数的关系求出m、n的值即可求解.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以另一个根为，故.故答案为：.120．（25-26高三上·上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据实系数多项式方程的共轭根定理，复数根成共轭对出现，据此即可解答．【详解】解：∵方程的一个根是复数，∴该方程的另一个根是其共轭复数，故选：B．121．（25-26高二上·上海·开学考试）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________【答案】4【分析】依题意，虚数和都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出的值.【详解】虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，则有，得，方程的另一个虚数根为，所以.故答案为：4122．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ）A．0 B． C． D．3【答案】D【分析】先求出方程的两复数根，然后利用复数模的运算求解即可.【详解】由得，可得方程的两个复数根分别为，，所以.故选：D123．【多选】（25-26高三上·河北·期中）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）A．B．C．方程可能只有这一个根D．设方程的另一根为，则【答案】AD【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD.【详解】由于是关于的方程的根，所以，即，因为，所以，解得，故A正确，B错误；所以关于的方程将代入上述方程得：，即也是关于的方程的根，故C错误；所以，则，故D正确；故选：AD124．（25-26高三上·安徽·期中）已知复数，．(1)当为纯虚数时，求的值；(2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值；（2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值.【详解】（1）因为由是纯虚数得，解得.所以当是纯虚数时，.（2）当时，，因为是关于的方程的一个根，所以，即，整理得，所以，解得.125．（24-25高一下·福建漳州·期中）复数，，．已知为纯虚数．(1)求m和；(2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据复数减法以及纯虚数的概念，建立方程与不等式，结合模长公式，可得答案；（2）根据复数的除法以及乘方，由方程的解以及复数相等，建立方程，可得答案.【详解】（1）由，且为纯虚数，则，解得，所以，故.（2）由，则，整理可得，可得，解得.题型21 复数的三角表示126．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案.【详解】由题设，，故A，C，D错误，B正确．故选：B127．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________.【答案】3【分析】设，，然后代入中化简可求出，再由结合为正整数可求得答案.【详解】不妨设，，因为，所以，所以，所以，整理得，解得，因为，所以，或①当时，则，或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3，②当，则，或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3，综上可知.故答案为：3128．【多选】（23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ）A．当，时， B．当，时，C．当，且为偶数时，为实数 D．【答案】AD【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解.【详解】对A，由题意知，正确；对B，由题意知，错误；对C，由题意知，令，则，当时，错误；对D，，，所以，正确.故选：AD题型22 欧拉公式129．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限.【答案】四【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故答案为：四.130．（24-25高一下·福建莆田·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若在复数范围内关于的方程（，）的两根为，，其中，则下列结论中错误的是（   ）A．复数对应的点位于第二象限 B．C． D．若复数满足，则的最大值为【答案】C【分析】先根据欧拉公式得出，代入方程（a，），根据复数相等的充要条件得出，；根据韦达定理可得出，进而可判断选项BC；根据欧拉公式得，根据及复数对应点的特征判断选项A；由复数的几何意义及点与圆的位置关系判断选项D.【详解】因为，而，即，，则复数对应的点位于第二象限，故A正确；因为，所以.又因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，所以，且，即，则，解得：.所以，，故选项B正确，选项C错误；由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故选项D正确.故选：C131．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解.【详解】，所以的共轭复数为.故选：.132．（24-25高一下·山东·期中）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式将代入计算，再由复数的几何意义可得结果.【详解】利用欧拉公式可知，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B133．【多选】（24-25高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）A．的模长为定值 B．为纯虚数C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为【答案】AD【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案.【详解】A选项，，故的模长为，A正确；B选项，，为实数，B错误；C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误；D选项，，共轭复数为，D正确.故选：AD134．【多选】（24-25高一下·云南玉溪·月考）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ）A． B．复数对应的点位于第二象限C． D．【答案】BCD【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，，故A错误；对于B，，而，则、，故位于第二象限，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，所以，又因为，所以，故D正确．故选：BCD．$专题02 复数 题型1虚数单位i及其性质 题型14与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型2复数的基本概念 题型15复数加减法 题型3求复数的实部与虚部 题型16复数的乘法 题型4复数的相等 题型17复数的乘方 题型5复数的分类及辨析 题型18复数的除法 题型6已知复数的类型求参数 题型19复数范围内分解因式 题型7共轭复数 题型20复数范围内方程的根 题型8判断复数对应的点所在的象限 题型21复数的三角表示 题型9根据复数的坐标写出对应的复数 题型22欧拉公式 题型10在各象限内点对应复数的特征 题型11实轴、虚轴上点对应的复数 题型12求复数的模 题型13由复数模求参数 3 / 23学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型1 虚数单位i及其性质1．（25-26高一下·全国·课堂例题）__________，__________，__________，__________．2．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，其中为虚数单位，则（   ）A． B． C． D．3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______题型2 复数的基本概念4．【多选】（23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是（   ）A．若，则 B．C．是纯虚数 D．若，则5．【多选】（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（   ）A．若，则 B．若，则C． D．若，则6．【多选】（2025·江苏南通·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（   ）A．若则B．若，则C．若，则D．若，则7．【多选】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ）A．若，则 B．若，则C． D．若，则题型3 求复数的实部与虚部8．（25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为______.9．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．10．（2025·浙江温州·三模）已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ）A．1 B． C．1 D．11．（25-26高三上·北京东城·期中）已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（  ）A． B．1 C．2 D．412．（25-26高三上·江苏无锡·期中）设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（    ）．A．3 B．1 C．－1 D．－313．（25-26高三上·天津·期中）已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______.14．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知，（为虚数单位），则（   ）A．3 B．1 C． D．题型4 复数的相等15．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）A．3 B．4 C． D．16．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则______．17．（25-26高三上·河北·期中）若，____________．18．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数z满足：（为虚数单位），则__________.19．（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（    ）A． B． C．1 D．4题型5 复数的分类及辨析20．【多选】（25-26高一下·全国·课后作业）下列四个命题，错误的是（   ）A．两个复数不能比较大小B．若复数z满足，则C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集21．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知全集是复数， 是有理数， 是无理数， 是实数， 是虚数，那么为（   ）A． B． C． D．22．（25-26高二上·云南普洱·期末）下列复数为纯虚数的是（   ）A． B． C． D．23．【多选】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知复数，，则下列复数为纯虚数的是（   ）A． B． C． D．24．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________．题型6 已知复数的类型求参数25．（25-26高二上·陕西西安·期中）设复数为纯虚数（为虚数单位），则（   ）A． B． C． D．26．（25-26高二上·江苏扬州·期中）复数是纯虚数，则实数（    ）A． B．或4 C．6 D．427．（25-26高三上·重庆·期中）已知复数为纯虚数，则实数（    ）A． B． C． D．28．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）A． B．1C．3 D．或129．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知复数，，，则“是实数”的充要条件是（    ）A． B． C． D．30．（25-26高二上·上海·期中）设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件31．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（），(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围；(3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z.32．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数（是虚数单位），.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.33．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值．(1)是实数；(2)是纯虚数；(3)在复平面内对应的点在第二象限．题型7 共轭复数34．（25-26高三上·山东·月考）已知，则的虚部为（    ）A． B．2 C．3 D．635．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若，则复数的共轭复数的虚部是（   ）A． B． C． D．36．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知复数为，则（   ）A．4 B． C． D．37．（25-26高三上·河南周口·期中）在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ）A． B． C． D．38．（25-26高三上·浙江·期中）已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（    ）A． B．C． D．39．【多选】（25-26高二上·贵州遵义·期中）若复数，则下列说法正确的是（    ）A．的虚部为 B．的共轭复数为C． D．题型8 判断复数对应的点所在的象限40．（24-25高一下·广东·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限41．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限42．（25-26高三上·山西·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限43．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限44．（25-26高三上·河北·期中）在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限45．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点在（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限46．（25-26高二上·云南曲靖·期中）复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限47．【多选】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知复数，则（   ）A．的实部是 B．的虚部为C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限题型9 根据复数的坐标写出对应的复数48．（25-26高一下·全国·期中）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________．49．（25-26高三上·河北石家庄·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ）A． B． C． D．50．（24-25高一下·黑龙江·月考）在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（ ）A．2 B．2i C． D．i51．（24-25高二上·山东威海·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________.52．（24-25高三上·江西·期中）如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（    ）A． B．C． D．题型10 在各象限内点对应复数的特征53．（25-26高三上·河南·开学考试）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．54．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______．55．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知复数，.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围.56．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，.(1)若是实数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.57．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知复数，其中，i为虚数单位．(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；(2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；(3)当时，求．58．（24-25高一下·广东清远·期中）已知复数，.(1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；(2)若，求的最小值.59．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（）(1)若，求实数m的值；(2)若z为虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.60．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中.(1)若，求的值；(2)若对应的点在第一象限，求的取值范围.题型11 实轴、虚轴上点对应的复数61．（22-23高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第三象限．62．【多选】（21-22高一下·吉林·期中）已知为虚数单位，，则关于复数的说法正确的是（    ）A． B．对应复平面内的点在坐标轴上C．的虚部为 D．63．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为___________.64．（20-21高三上·西藏·期中）设复数，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有，则（    ）A． B．0 C．1 D．2题型12 求复数的模65．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知复数，其中为虚数单位，则（   ）A． B． C．3 D．566．（23-24高三上·福建厦门·期中）复数满足，则（    ）A． B． C． D．67．（25-26高二上·陕西汉中·期中）若复数满足（是虚数单位），则（   ）A． B．1 C． D．268．（25-26高三上·山西大同·期中）已知复数，为虚数单位，则（    ）A．2 B． C． D．69．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知复数满足，则（　　）A．1 B．2 C．2 D．70．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（   ）A． B．5 C． D．71．【多选】（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ）A．B．C．在复平面内对应的点位于第四象限D．复数满足，则的最大值为题型13 由复数模求参数72．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）若，则“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件73．（24-25高一下·海南海口·期中）已知复数.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围.74．（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ）A． B． C．2 D．475．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ）A．1 B．2 C．3 D．476．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数__________．77．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.题型14 与复数模相关的轨迹（图形）问题78．（25-26高二上·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　）A． B．C． D．79．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知复数且，若满足，则的取值范围为__________.80．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ）A． B． C． D．81．（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是_____．题型15 复数加减法82．（22-23高一下·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限83．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是__________.84．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____．85．（23-24高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ）A． B． C． D．86．（22-23高二上·山东日照·期中）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.(1)求复数；(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.87．【多选】（23-24高三下·重庆·月考）已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（    ）A．B．为纯虚数C．D．题型16 复数的乘法88．（25-26高三上·湖南·期中）复数的虚部为（    ）A．6 B． C． D．89．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）的虚部为（   ）A． B． C．2 D．1190．（25-26高三上·河北衡水·期中）（   ）A． B． C． D．91．（25-26高三上·湖南·期中）已知复数，则（    ）A． B． C． D．92．【多选】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知复数，则（   ）A．的实部是7 B．的实部是C．的虚部是 D．的虚部是1393．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限94．（25-26高三上·黑龙江·期中）在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型17 复数的乘方95．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）复数的虚部为（   ）A．1 B．i C． D．96．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设为虚数单位，若，则______.97．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知复数，则（    ）A．2 B． C． D．498．（25-26高三上·河南郑州·期中）若复数与都是纯虚数，则是（   ）A． B． C． D．99．（25-26高三上·江苏·期中）若复数满足（为虚数单位），则（   ）A． B． C． D．100．（25-26高三上·山东菏泽·期中）=_____题型18 复数的除法101．（2025·四川德阳·一模）复数的虚部为（   ）A．-3 B． C． D．102．（25-26高二上·湖北·期中）复数的虚部为（　　）A． B． C． D．103．（25-26高三上·江西萍乡·期中）若复数满足，则的虚部为（   ）A． B． C． D．104．（25-26高三上·河北·期中）若 则（   ）A． B．C． D．105．（22-23高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________．106．（21-22高二下·河南商丘·期中）若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ）A． B．C． D．107．（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．(1)若，求；(2)若，求．108．【多选】（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（    ）A．的实部为3B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点在第四象限109．【多选】（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ）A．若复数满足，且，则B．若复数满足，则C．若，则D．若复数，满足，则题型19 复数范围内分解因式110．（22-23高一下·吉林·期中）（1）已知复数满足，求；（2）在复数范围内因式分解：.111．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为__________.112．（22-23高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：______．113．（21-22高三下·上海浦东新·期中）在复数范围内分解因式：______.114．（21-22高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积：__________.115．（21-22高一下·福建福州·期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（    ）A． B．C． D．116．（20-21高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________．题型20 复数范围内方程的根117．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________．118．（25-26高二上·上海·期中）若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为______．119．（25-26高三上·上海·期中）若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____.120．（25-26高三上·上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ）A． B． C． D．121．（25-26高二上·上海·开学考试）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________122．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ）A．0 B． C． D．3123．【多选】（25-26高三上·河北·期中）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）A．B．C．方程可能只有这一个根D．设方程的另一根为，则124．（25-26高三上·安徽·期中）已知复数，．(1)当为纯虚数时，求的值；(2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值．125．（24-25高一下·福建漳州·期中）复数，，．已知为纯虚数．(1)求m和；(2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值．题型21 复数的三角表示126．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ）A． B． C． D．127．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________.128．【多选】（23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ）A．当，时， B．当，时，C．当，且为偶数时，为实数 D．题型22 欧拉公式129．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限.130．（24-25高一下·福建莆田·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若在复数范围内关于的方程（，）的两根为，，其中，则下列结论中错误的是（   ）A．复数对应的点位于第二象限 B．C． D．若复数满足，则的最大值为131．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）．A． B． C． D．132．（24-25高一下·山东·期中）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限133．【多选】（24-25高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）A．的模长为定值 B．为纯虚数C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为134．【多选】（24-25高一下·云南玉溪·月考）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ）A． B．复数对应的点位于第二象限C． D．$