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专题07 旋转体表面积与体积 题型1 圆柱表面积与展开图最值 题型7 外接球（常考点） 题型2 圆锥表面积与展开图最值（常考点） 题型8 内切球 （难点） 题型3 圆台表面积与展开图最值（难点） 题型9 棱切球 题型4 圆柱型体积最值 题型10 组合体的表面积 （重点） 题型5 圆锥型体积最值（重点） 题型13 组合体的体积 题型6 圆台型体积最值（难点） 题型14 综合压轴题 题型一、圆柱表面积与展开图最值 （共3小题） 1．（24-25高一·全国·课后作业）如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为，，，那么，，的大小关系为A． B．C． D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方体的棱长为，等边圆柱的底面半径为，且它们的体积都为，则，由此能比较的大小.【详解】设球的半径为，正方体的棱长为，等边圆柱的底面半径为，且它们的体积都为，则，解得，所以，，，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关球、正方体与圆柱的体积与表面积的问题，在解题的过程中，注意需要熟练掌握相应的体积和表面积公式，在比较大小的时候需要将式子化成相同模式的式子进行比较即可.2．（2025·山东·模拟预测）已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式求积的最大值即可.【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，设矩形的长宽分别为，则，圆柱的侧面积为：.由（当且仅当时取“”）.故选：D3．（2024高一·全国·专题练习）如图，在高为 ，底面半径为的圆柱轴截面 的两边 与 上分别有 两点，且 ，则 两点沿圆柱侧面的最短距离为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开图，结合勾股定理即可求解.【详解】把圆柱侧面沿母线 剪下一半展成矩形 ，如图 ，则展开图中线段 的长即为所求. 作 ，因为 ，所以 . 又因为 ，所以 . 而 ，所以 .故选： C.题型二、圆锥表面积与展开图最值 （共3小题）4．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题.【详解】由的底面半径，母线长，所以圆锥的高.由题可设圆柱的底面半径为()，高为.由得，即，截得.所以圆柱的侧面积所以当时，侧面积取得最大值为.5．（2025·河北·三模）已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的轴截面面积结合三角形的面积公式及圆锥侧面积公式即可求解.【详解】轴截面不是最大面积，轴截面顶角为钝角，设母线长为，即，所以该圆锥的侧面积.故选：A.6．（21-22高二下·福建福州·期末）已知圆锥的底面半径为2，若其底面上存在两点，，使得，则该圆锥侧面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据可确定，由圆锥侧面积公式可求得最大值.【详解】设圆锥的母线长为，，，又（当且仅当为底面圆直径时取等号），，即，圆锥侧面积，即所求最大值为.故选：C题型三、圆台型表面积与展开图最值 （共3小题）7．（24-25高一·湖南·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ）A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】设挖去的圆柱的半径为，根据圆台中挖去一个圆柱所得几何体的结构结合圆台、圆柱的侧面积公式计算得到所求的几何体的表面积表达式，再结合一元二次函数性质即可得解.【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为，由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为，所以得到的几何体的表面积为.所以当时得到的几何体的表面积最大为.故选：B8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据几何体轴截面结构特征依次求出台体母线长为和，接着结合题设条件得，再由台体侧面积公式和基本不等式及其配凑法即可求解.【详解】如图为几何体的轴截面，为上下底面中心，为球心，为球与母线的切点，台体上下底半径分别为，则，又因为，所以与全等，所以，同理可得，所以台体母线长为，所以，则，所以台体的侧面积为，当且仅当即时等号成立.圆台的侧面积最小值为.故选：D9．（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆台两个底面圆的半径分别为和，圆台的侧面中存在两条母线互相垂直，则圆台侧面积的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆台的侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，圆台的母线延长后交于A点，当两条母线所在的平面为轴截面时此时母线夹角最大，（显然过底面圆周上任意一点母线与AD的夹角一定小于∠GAD），设圆台母线长为， 由相似可得：,故,由圆台的侧面中存在两条母线互相垂直,易知，则,故.故圆台侧面积为：.故选：B题型四、圆柱型体积最值 （共3小题）10．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知某圆柱的侧面展开图是边长为6和8的矩形，则该圆柱最大体积为__（答案保留）．【答案】【分析】根据圆柱侧面展开图与圆柱的关系，分别求出以边长和为底面周长时圆柱的体积，再比较大小得出最大体积.【详解】当圆柱底面周长，高时，根据圆的周长公式，可得底面半径.再根据圆柱的体积公式，得此时圆柱体积. 当圆柱底面周长，高时，同样根据圆的周长公式，可得底面半径.再根据圆柱的体积公式，可得此时圆柱体积. 因为，所以，即该圆柱的最大体积为.故答案为：.11．（23-24高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为__________.【答案】/0.5【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径.【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱，其中分别在棱上，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，则需其底面圆为正四棱柱的内切圆，连接，设圆柱的底面圆半径为，高为，则，，连接，则点在上，在平面内，平行，则，即，解得，，圆柱侧面积为，故当时，圆柱侧面积最大.故答案为：12．（2022高二下·浙江温州·学业考试）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，自1974年魔方问世起，世界上陆续出现了各种各样的魔方，魔方爱好者小明拥有一款“Zcube三面体曲面三阶魔方”，它的直观图如图所示，它由27个小块构成（其中，包含18个边长为的正方体小块，9个底面半径为，高为的个圆柱小块），则该魔方的表面积为______；体积为______（魔方中的空邠忽略不计）.  【答案】 / /【分析】分析得到魔方表面共有边长为的正方体小块30个，半径为的扇形小块6个和个圆柱的侧面9个，求出面积相加得到表面积，再计算出18个边长为的正方体小块体积和9个底面半径为，高为的个圆柱小块体积，相加得到魔方体积.【详解】魔方表面共有边长为的正方体小块30个，故面积为，魔方表面共有半径为的扇形小块6个，故面积为，魔方表面共有个圆柱的侧面9个，故面积为，故该魔方的表面积为；18个边长为的正方体小块，体积为，9个底面半径为，高为的个圆柱小块体积为，故魔方体积为.故答案为：，.题型五、圆锥型体积最值 （共3小题）13．（24-25高一下·山东临沂·期中）圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为______．【答案】/【分析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，由全面积得出，并得出，再由体积公式得出体积关于的函数，由函数性质得最大值．【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，∴全面积为，即，，又，∴，体积为，∴时，，故答案为：．14．（2024·四川遂宁·二模）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．【答案】【分析】设圆锥高为，底面半径为，推出，求出体积的表达式，利用导数判断单调性求解函数的最值，即可根据侧面积公式得到结果．【详解】设圆锥高为，底面半径为，则，，，，令得或（舍去），当时，，函数是增函数；当时，．函数是减函数，因此当，时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．故侧面积为故答案为：．15．（23-24高一下·山西·月考）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为______.【答案】【分析】设圆锥的母线长为l，求出以S为圆心，SA为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程求解圆锥的高，然后利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，又圆锥的侧面积为，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为故答案为：题型六、圆台型体积最值 （共3小题）16．（24-25高二下·河北保定·期末）已知一个圆台母线长为，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过空间想象将圆台内自由转动的正方体问题，转化为求解圆台内球最大问题.先由侧面展开前后图形关系建立方程求解各相关各量、、、、等，再计算比较圆台高与圆锥内切球直径的大小关系确定最大球状态，求解半径，进而求正方体棱长与体积可得.【详解】要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球.设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为，则，化简得，又圆台母线长为，联立，解得.设圆台上、下底面圆半径分别为、，则，解得. 如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为、，在中，，又为锐角，则.由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为，故圆台的高.如图2，圆锥轴截面为正三角形，则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为， 因为正三角形内切圆直径，故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为.设正方体的棱长为，由正方体外接球直径即为体对角线可得，解得，此时正方体的体积最大，最大为.故选：B.17.（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为______；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______.【答案】 12【分析】根据题意得到旋转后的圆台后可求出其表面积，然后将圆台的展开、由平面图形得到最短路程.【详解】如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，其表面积为.将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为，所以，，又∵，∴，∴，设，则的弧长，解得，连接，为等边三角形，∴所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短路程为12.故答案为：；12.18.（23-24高一·北京·课后作业）已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是__________．【答案】【分析】先利用圆台的侧面积公式及弧长公式可得和，进而得出，结合图形利用勾股定理得出圆台的高；再根据台体的体积公式计算圆台的体积；最后构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出答案.【详解】圆台及侧面展开图如图所示，设圆台上底面为圆，半径为，下底面为圆，半径为，圆台母线为.由圆台的侧面积为，可得：，整理可得：.由侧面展开是圆心角为的扇形所截得的扇环，可得：，整理可得：.所以圆台的高.所以圆台体积.由和可得：.因为，所以.令，则，所以.令，.因为，所以函数在上单调递增，则.所以，即.则该圆台体积的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查圆台的侧面积及体积等相关量的计算.解题关键在于结合圆台及侧面展开图找到相关几何关系，列出关系式，表示出体积；难点在于求体积的取值范围，需要构造函数，利用导数研究函数的最值.题型七、外接球 （共2小题）19．（2025·湖北·模拟预测）已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________.【答案】 【分析】由题当平面平面时，这时三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；由，,就是相交所成的二面角的平面角，运算得解.【详解】因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的距离最大，这时三棱锥的体积最大.设的中点为的中心为的中点为，则平面，∵四棱锥外接球的球心为，则平面，又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面，则，此球的半径，所以外接球的表面积；这时，在中，又，,则，故.故答案为：，.20．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCMN．若点均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________．【答案】【分析】先证，，接着证得平面，平面，作出外接球的球心，证得平面，平面，推理得到,设，分别表示出，利用，建立外接球半径的方程，利用二次函数的性质即可求得球O表面积的最小值.【详解】显然M 不与A重合，由点均在球O的球面上，得B，C，M，N四点共圆，则有．又为直角三角形，AB为斜边，则有，如图将翻折后，，，又平面平面，平面平面，平面，平面BCMN，于是平面，平面.显然的中点D为的外接圆圆心，BM的中点E是四边形的外接圆圆心，则平面，平面．因此，．取NM的中点F．连接DF，EF，则有，．所以四边形为平行四边形．作于点，则,,，则，，．设球O的半径R．则在中，，当时，，此时球O表面积的最小值为．故答案为：.【点睛】思路点睛：本题主要考查空间几何体的翻折和多面体的外接球，属于难题.解题思路在于由多面体的底面多边形的外接圆圆心找到外接球球心，再建立关于外接球半径的方程，即可求得.21．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知三棱锥，面，，交于，交于，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，则________.【答案】【分析】画出对应图形，有题目条件可得其中相应线与线、线与面的位置关系，结合勾股定理可计算出相应长度，即可确定三棱锥的外接球球心及半径，以及四棱锥的外接球球心及半径与的关系，当三棱锥体积最大时，借助等体积法与基本不等式可得此时、的长度，即可帮助确定四棱锥的外接球半径的具体值，即可得解.【详解】由、，取中点，则，故为三棱锥外接球球心，且其半径，由平面，且、平面，故，， 又，、平面，且，故平面，又、平面，故，，又，且、平面，，故平面，又、平面，故，，又，、平面，，故平面，又平面，故，又，故，连接，取中点，则为四边形外接圆圆心，连接点与中点，则，又平面，故平面，即平面，又，故为四棱锥的外接球球心，且其半径，由平面，故，，由，故，有，则，当且仅当时等号成立，故三棱锥体积最大时，有，由，则，由，，则有，则有，解得，故，则.故答案为：.  【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助题目条件中所给的位置关系，结合线面垂直的性质定理及判定定理去确定新的位置关系，二是找几何体的外接球球心可借助外接球的性质，即球心到各定点距离相等，或想找出底面外接圆圆心，再过该点作垂直底面的直线，则球心定在此直线上.题型八、内切球 （共3小题）22．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，四边形是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为________，四棱锥的体积的最大值为__________．【答案】 /【分析】在中，先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，再根据圆台的表面积公式求解即可；在中，由余弦定理先求出的最大值，进而得到及底面面积的最大值，即可求出四棱锥的体积的最大值.【详解】如图，连接.因为，所以.在中，由余弦定理可得所以.由正弦定理可知外接圆的直径，所以圆台的下底面半径，上底面半径，圆台的侧面积，上底面面积，下底面面积，所以圆台的表面积.在四边形中，，在中，由余弦定理可知，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积，即底面面积的最大值为，四棱锥的高，所以四棱锥的体积的最大值为.故答案为；23．（24-25高一·福建·月考）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，______．【答案】【分析】利用等面积法求出内切球半径，再结合基本不等式找到内切球半径最大时的取等条件，再利用圆心角公式求解即可.【详解】设扇形面积为，圆锥的底面半径为，母线长为，高为，内切球半径为，而，由勾股定理得，而圆锥的内切球在轴截面中与等腰三角形三边相切，我们以内切球的球心为顶点，向等腰三角形三边作垂线，可将其分割为三个小三角形，其中两个小三角形以母线为底，内切球半径为高，另一个小三角形以底面圆直径为底，内切球半径为高，由题意得圆锥轴截面的面积与以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和相等，而轴截面面积为，而以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和为，故，解得，则该圆锥的内切球半径，由扇形面积公式得，即，且记为定值，故，即，而，因为，由基本不等式得，而，即，当且仅当时取等，此时，设圆锥的内切球体积为，而由球的体积公式得，由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径最大，而，解得，当最大时，由弧长公式得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出内切球半径，然后对其合理变形后利用基本不等式找到取得最大值时的取等条件，最后利用圆心角公式得到所要求的值即可．24．（23-24高一·江苏·期末）已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________.【答案】【分析】求出内切球半径，得到圆台的高，根据圆台与内切圆之间的关系，求出上下底面半径与的关系，代入圆台的体积公式化简，结合的范围即可求出圆台体积的范围.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，内切球半径为.由内切球的体积为可得，，解得，所以圆台的高.因为母线与底面所成角为，所以，，所以，.因为圆台有内切球，所以满足（切线长定理），联立解得，.圆台的体积为.因为，所以，，，，所以.故答案为：.题型九、棱切球 （共3小题）25．（19-20高二上·黑龙江大庆·月考）点M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N是△ACD1的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是_____.【答案】【分析】根据正方体棱切球的特点，求出球心到三角形外接圆周上的点的距离是一个定值，根据球的几何特征即可求解.【详解】根据正方体的几何特征，其棱切球的球心就是体对角线的中点，且到△ACD1所在平面距离为△ACD1的边长为，根据正弦定理，其外接圆的半径为，所以球心到△ACD1的外接圆上任意一点的距离都为，正方体棱长为2，该棱切球的半径为，所以线段MN长度的取值范围是.故答案为：【点睛】此题考查球面上的点到某点距离的最值问题，关键在于转化为球心到点的距离关系求解，此题需要熟练掌握正方体的内切球，外接球，棱切球的几何关系.26．（23-24高一下·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________．【答案】4【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为，与棱分别切于点，可知，由题意可得：，解得，所以.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.27．（22-23高二下·河南·月考）已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则__________．  【答案】【分析】如图为正方形的中心，则既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，求出外接球的半径与棱切球的半径，即可得解.【详解】在多面体中，为正方形的中心，如图所示：由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，在中，，，所以，所以，所以  故答案为：题型十、组合体的表面积 （共3小题）28．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_____．【答案】【分析】过A作于E，交CD于F，连，利用余弦定理、面积定理求出点到平面的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接球半径作答.【详解】过A作于E，交CD于F，连，如图，在中，由余弦定理得：，，，，，，，因，则三棱锥的4个表面三角形全等，在中，，，在中，，，因，，平面，则平面，而平面，于是得平面平面，在平面内过作于，又平面平面，因此，平面，，设三棱锥的内切球半径为，则，解得，因是锐角三角形，则三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心在内，半径，则，解得，令三棱锥的外接球球心为O，显然，球O截三棱锥的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为，因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥内，必为三棱锥内切球球心，令三棱锥的外接球半径为，则，所以三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.故答案为：【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：.29.（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________.【答案】/【分析】根据条件作出图形，利用正四面体的结构特征及锥体的体积公式求出两个球的半径，进而求出球的表面积.【详解】在正四面体中，平面，四点共线，点是的中点，连结，切点在上，  由正四面体的棱长为4，得，，则，设球的半径为，由，得，设球的半径为，则，即，解得，所以小球的表面积为.故答案为：30.（2025·广东·模拟预测）一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为______．【答案】【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示，圆锥轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为．由小球的半径1cm，，得，又都是等边三角形，则，圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长，因此圆台的侧面积为，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为故答案为：题型十一、组合体的体积 （共3小题）31.（2025·山东潍坊·二模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为____________；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则____________．【答案】 【分析】第一空利用已知条件可求得圆台的高，进而可求出圆台的母线长，再求侧面积即可；第二空先求出球冠的体积，再求出半球的体积，进而可求出，最后可求出的值.【详解】作出圆台的轴截面如图，设圆台的上底面半径为，下底面半径为，球的半径为，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，，，又下底面与半球的底面重合，，圆台的高，圆台的母线长为，圆台的侧面积为；半球的体积为，球心到圆台的上底面所在的平面的距离为，球冠的高度为，球冠的体积为，，.故答案为：；.32.（24-25高二上·贵州遵义·期末）早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.  【答案】【分析】计算半圆柱和截面下方的圆锥的体积即可求出.【详解】设半球中阴影截面圆的半径，球半径为，截面高度为，则，截面圆面；圆柱中截面小圆半径，圆柱底面半径为，则截面圆环面积，所以， 所以半球中截面与底面之间的几何体体积等于半圆柱的体积减去截面下的圆锥体积.半圆柱的体积为，截面下方的圆锥体积为，则半球中底面与截面之间的几何体的体积为故答案为：33.（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______．【答案】【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解.【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，易知：三点均在上，且平面，设内切球的半径为，外接球的半径为，则.又，，所以，由等体积法：，即，解得，由等体积法：，即，解得，将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，∴两点间距离的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内切圆半径及，即可得的长度的最小值.题型十二、综合压轴题 （共3小题）34.（25-26高二上·江西上饶·期末）两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“V”型管道，若这两个正三棱柱钢管长为10cm，底面边长为2cm，且截面与底面所成角均为，则能顺利地从管道的一端通过到管道另一端（管壁的厚度忽略不计）的球最大半径为（    ）cm．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题干大致画出“V”型管道的几何图，核心在于中间对称拼接的两个小锥体，根据题干条件并结合几何知识求出两个小锥体共6个表面的面积，由题中可知该球的最大球半径即为这两个小锥体拼接而成的几何体的内切球，再根据体积法即可求出内切球的半径，该半径即为最大半径．【详解】如图所示，“V”型管道为，其中DEF为两个正三棱柱的截面，也为“V”型管道两小段被截三棱柱的拼接面，其余均为辅助线，依题意有，分别取，，中点J，O，M，连接并延长交于中点T，根据对称性可知JT可与交于N，同理依据对称性可知，连接并延长可交于P，根据对称性可知四边形为菱形，且，在中，，故，，在菱形中，，故，所以，且，依条件，若能顺利地从管道的一端通过到管道的另一端，则球应为多面体的内切球，设多面体的内切球半径为，则由，其中，所以，根据对称性，N到平面DEF的高为中N到DM的距离，所以，又，所以，由此可得，解得．故选：D． 35．（24-25高一下·广东东莞·期末）已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为__________；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为__________．【答案】 【分析】水面恰好经过三个孔时，直接作出截面，求剩余三棱柱的体积即可；当水面只过时，作出截面，剩余部分为三棱台，设，求处三棱台体积的最小值即可.【详解】设为中点，因为都是中点，所以共线，，即四点共面，即水面为平面，剩余三棱柱，体积为，则装水最大体积为，当水面只过时，过作直线与交于点（在点下方），与交于点，水面交于，平面平面，平面平面，平面平面，，所以剩余部分为三棱台，设，又为中点，，所以，又，所以，当时取等，所以取得最小值，此时点在点B处，点E在点处，剩余部分为三棱锥，台体体积公式仍适用，所以此时可装水的最大体积为.故答案为：.36．（23-24·广西桂林·月考）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是_________；【答案】【分析】以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴，和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，设内接圆柱的底面圆的半径为，高为，根据线段的比例关系，可得，，再结合圆柱侧面积的公式，求解即可.【详解】由题意知，为等腰三角形，且，，所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴，和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，可得圆锥的底面半径为，  设内接圆柱的底面圆的半径为，高为，则，所以，，所以内接圆柱的侧面积是关于的开口向下，对成轴为的二次函数，即当时，取得最大值，故答案为：结束2 / 24学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司$命学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课专题07旋转体表面积与体积题型归纳·内容导航题型1圆柱表面积与展开图最值题型7外接球（常考点）题型2圆锥表面积与展开图最值（常考点）题型8内切球（难点）题型3圆台表面积与展开图最值（难点）题型9棱切球题型4圆柱型体积最值题型10组合体的表面积（重点)题型5圆锥型体积最值（重点）题型13组合体的体积题型6圆台型体积最值（难点）题型14综合压轴题题型通关·靶向提分题型一、圆柱表面积与展开图最值（共3小题）1.（24-25高一·全国.课后作业)如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S,S2,S,那么S,S2,S的大小关系为A.S1>S2>S3B.S2 S3 SC.S2>S>S;D.S3>S,>S22.(2025·山东模拟预测)己知圆柱的侧面展开图的周长为定值P,则该圆柱的侧面积的最大值为()AB.4C.BD.P163.(2024高一…全国.专题练习)如图，在高为h,底面半径为R的圆柱轴截面ABB,A的两边AA,与BB,上分别有P,Q两点，且A,P=a,BQ=b,则P,Q两点沿圆柱侧面的最短距离为()beBA.V2πR2+(a+b-h)B.(xR)2+(a+b+h)2C.VπR2+(a+b-h)2D.V2πR2+a+b+h)21/7品学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课题型二、圆锥表面积与展开图最值（共3小题）4.(25-26高三上河南商丘期末)己知圆锥S0的底面半径为1，母线长为3，圆柱O0,的下底面在圆锥S0的底面上，上底面圆O的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OO的侧面积的最大值为()A.B.3nD.32C.√2m5.(2025河北三模)己知底面半径为√5的圆锥其轴截面面积为S,过圆锥顶点的截面面积最大值为S%,若S:S。=√3：2，则该圆锥的侧面积为()A.2V3πB.5v3元C.3v3πD.67t26.(21-22高二下.福建福州期末)己知圆锥S0的底面半径为2，若其底面上存在两点A,B,使得∠ASB=90°，则该圆锥侧面积的最大值为()A.2V2πB.2πC.42元D.4π题型三、圆台型表面积与展开图最值（共3小题）7.(24-25高一…湖南·月考)已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为()A.3B.2C.10.8.(24-25高一下江苏宿迁期末)如图，圆台的上、下底面半径分别为，2，半径为R的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且4r+5=R2,则圆台的侧面积最小值为()A.100πB.96元C.88πD.81π9.(2023江苏南通模拟预测)己知圆台两个底面圆的半径分别为1和2，圆台的侧面中存在两条母线互相垂直，则圆台侧面积的最大值为()A.4V2πB.3√2元C.2N2πD.√2π题型四、圆柱型体积最值（共3小题）10.(24-25高二下·上海宝山期中)已知某圆柱的侧面展开图是边长为6和8的矩形，则该圆柱最大体积为（答案保留π）.11.（23-24高二上·上海期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA上底面ABCD,PA=2.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面正四棱锥的四个侧面相切当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为2/7函学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课D12.(2022高二下·浙江温州学业考试)魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，自1974年魔方问世起，世界上陆续出现了各种各样的魔方，魔方爱好者小明拥有一款“"Zbe三面体曲面三阶魔方”，它的直观图如图所示，它由27个小块构成（其中，包含18个边长为2cm的正方体小块，9个底面半径为2cm,高为2cm的！个圆柱小块)，则该魔方的表面积为cm2;体积为cm3(魔方中的空邠忽略不计).题型五圆锥型体积最值（共3小题）13.(24-25高一下山东临沂期中)圆锥的全面积为2π，则它的体积的最大值为14.(2024四川遂宁.二模)一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为323π故答案为：9.15.（23-24高一下山西·月考)某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为B题型六、圆台型体积最值（共3小题）16.(24-25高二下河北保定期末)已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为15严的半圆形扇环(如图所示)，在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体3/7品学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课积的最大值为()A.1B.6427C.2N2D.27817.(24-25高一下.湖北武汉期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2,AD=6,以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A,则妈蚁爬行的最短路程为18.(23-24高一北京·课后作业)已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90°的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2π，则该圆台体积的取值范围是题型土、外接球（共2小题）19.(2025湖北模拟预测)己知正ABC的边长3，E,F分别为边AB,AC的中点，将△AEF沿直线EF翻折到△AEF,当三棱锥B-A,CF的体积最大时，四棱锥A-BCFE外接球O的表面积为,此时分别过C,E作球O的两个相切的平面a,B,设o,B相交所成的二面角大小为O,则sin0=」20.(23-24高一下河北沧州期末)在ABC中，AB=2,AC=1,BC=√5，M,N分别为AC,AB上的动点（不包括端点），将△AMN沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面A'MN⊥平面BCMN.若点A,B,C,M,N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为21.(23-24高一上浙江绍兴期末)已知三棱锥P-ABC,PA⊥面ABC,AB⊥BC,AD⊥PB交PB于D,AE⊥PC交PC于E,PA=AB=1,记三棱锥P-ADE,四棱锥A-DECB的外接球的表面积分别为S,S,当三棱锥P-ADE体积最大时，则ミ=S题型八内切球（共3小题）4/7品学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课22.(24-25高一下江苏南通·月考)如图，四边形ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB=AD=4,C为底面图闲上一动点，∠BCD=骨，PA为國台的每线，PA=5,图台上底面的半径为1，侧则该圆台的表面积为四棱锥P-ABCD的体积的最大值为D23.（24-25高一·福建·月考)已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，a=24.（23-24高一…江苏期末)已知圆台的母线长为1，母线与底面所成角为0，且0∈ππ4’3其内切球的体积为36π，则该圆台体积的取值范围为题型九、棱切球（共3小题）25.(19-20高二上·黑龙江大庆·月考)点M是棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,的棱切球（切于正方体各条棱的球)上的一点，点N是△ACD,的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是26.(23-24高一下·浙江温州期末)与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球.已知四面体ABCD满足AB=BC=CD=DA=6,BD=8,且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为27.(22-23高二下·河南·月考)己知棱长均为2√3的多面体ABC-A,B,C,由上、下全等的正四棱锥A-ABB,C和C-ABBC,拼接而成，其中四边形ABBC为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为RR,该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球)的半径为r,则二三题型土组合体的表面积（共3小题）28。（(21-2高-下浙江宁波期末)如图，四边形48CD为平行四边形，B=3AD=2,∠BD=胥，现将△ABD沿直线BD翻折，得到三棱锥A'-BCD,若A'C=√7，则三棱锥A'-BCD的内切球与外接球表面积的比值为5/7函学科网·上好课www zxxk com上好每一堂课1DB29.(2026高一.全国.专题练习)如图，在棱长为4的正四面体A-BCD中，大球Q内切于该正四面体，小球O与大球O及正四面体的三个侧面相切，则小球O的表面积为DC30.(2025广东.模拟预测)一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为c?.题型十一、组合体的体积（共3小题）31.(2025山东潍坊.二模)已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球0的底面重合，上底面圆周在半球O的球面上，则圆台的侧面积为：半球O被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，，<V,)，则16V3-27故答案为：6m;2732.(24-25高二上.贵州遵义·期末)早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖堩原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积R--r-6/7品学科网·上好课www zxxk.com上好每一堂课33.(23-24高一下.湖南衡阳·期中)己知三棱锥P-ABC三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=6,M,N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最小值为【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内切圆半径及PG,即可得MN的长度的最小值题型土二、综合压轴题（共3小题）34.(25-26高二上·江西上饶期末)两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“”型管道，若这两个正三棱柱钢管长为10cm,底面边长为2cm,且截面与底面所成角均为，则能顺利地从管道的一端通过到管道另一端（管壁的厚度忽略不计)的球最大半径为()cm.A.5-1B.3c.5-1D.326435.(24-25高一下广东东莞期末)已知正四棱柱ABCD-A,B,CD1中，AA,=2AB=2,在A,B,BB,BC,的中点各有一个孔O,P,Q.若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为36.(23-24广西桂林.月考)正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，P为棱CC,的中点，△BPD以BD1为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是7/7