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专题02 期中真题百练通关（压轴） 题型1平面向量平行四边形法则的应用 题型12空间几何体的体积 题型2平面向量数量积的性质及其运算 题型13球的体积和表面积 题型3平面向量的坐标运算 题型14平面的基本性质及推论 题型4平面向量的综合题 题型15异面直线及其所成的角 题型5正弦定理 题型16空间中直线与直线之间的位置关系 题型6余弦定理 题型17空间中直线与平面之间的位置关系 题型7三角形中的几何计算 题型18直线与平面平行 题型8共轭复数 题型19直线与平面垂直 题型9复数的模 题型20平面与平面之间的位置关系 题型10复数的混合运算 题型21平面与平面垂直 题型11空间几何体的表面积 题型22直线与平面所成的角3 / 23学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型1 平面向量共线的应用1．（2024春•余姚市期末）在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中、，则　　．【解答】解析：设，，那么，，又，，即，．故答案为：．2．（2025春•吉首市校级月考）如图，在△中，点是的中点．过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的值为 　　．【解答】解：，、、三点共线，，．故答案为：2题型2 平面向量平行四边形法则的应用3．（2024春•海淀区校级月考）如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是　　；当时，的取值范围是　　．【解答】解：如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，的取值范围是；当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，，的取值范围是，．故答案为：；，题型3 平面向量数量积的性质及其运算4．（2025•广东学业考试）在△中，，，，则（　　）A． B． C． D．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：，设，，，即，又根据余弦定理得：，，即，则．故选：．5．（2025春•嘉定区校级期中）如图，在平行四边形中，，垂足为，且，则　　．【解答】解：设与交于点，则，，在中，，由向量的数量积的定义可知，故答案为：186．（2024•新城区校级模拟）如图，在△中，，，，是边上一点，，则　　．【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，法二：由题意可得，，，，．故答案为：．7．（2025春•定西校级期中）如图，在四边形中，，，，则的值为　　A．2 B． C．4 D．【解答】解：，，，，由已知，知，，作如图辅助线，即三角形是等腰直角三角形，，，故选：．8．（2025春•黄浦区校级月考）在直角△中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：，是正确的，同理也正确，对于答案可变形为，通过等积变换判断为正确．故选：．9．（2025春•河东区期中）设两个向量和，其中，，为实数．若，则的取值范围是（　　）A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，，，可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得，再令代入上式得可得，解不等式得因而解得．故选：．10．（2025春•广州期末）已知，是单位向量，．若向量满足，则的最大值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：，且，可设，，．．，，即．的最大值．故选：．11．（2025春•和平区校级期中）若非零向量，满足，则（　　）A． B． C． D．【解答】解：若两向量共线，则由于，是非零向量，且，必有；代入可知只有、满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，可以构造如图所示的三角形，使其满足；令，，则，且；又故选：．12．（2025春•凤庆县月考）是△所在平面上一点，若，则是△的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：，则由得：，同理，，即是垂心故选：．13．（2024春•重庆校级月考），，，点在内，且，设、，则等于（　　）A． B．3 C． D．【解答】解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：．14．（2025秋•诏安县校级月考）设向量满足，若，则的值是　　．【解答】解：由得到，因为，，所以得：解得，，，而，所以故答案为415．（2025春•广州校级月考）关于平面向量有下列四个命题：①若，则，；②已知，．若，则．③非零向量和，满足，则与的夹角为．④．其中正确的命题为 　　．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：当时，可得到①不成立．对于②时，有，，故②正确．当时，、、这三个向量平移后构成一个等边三角形，是这个等边三角形一条角平分线，故③正确．，故④正确．综上，②③④正确，①不正确，故答案为 ②③④．16．（2024春•浑南区校级期中）在中，，边上的中线，．（1）求的长；（2）求的值．【解答】解：（1），，．．，．，，．（2）由（1）得．可得，．在中，，．在中，可得，．．17．（2025春•裕安区校级期中）向量、满足，且，，则与夹角的余弦值等于　　．【解答】解：，得又，，是与夹角）应填．题型4 平面向量的坐标运算18．（2025•城阳区校级一模）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令．下面说法错误的是（　　）A．若共线，则 B． C． D．对任意的【解答】解：，，，若共线，则有，即，故正确．由于，，，故不正确．由于，故正确．由于为实数，，，，故正确．故选：．题型5 平面向量的综合题19．（2025春•福州校级期中）在△中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：△中设，，，，即，，，，，，根据直角三角形可得，，，，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系可得，，，为线段上的一点，则存在实数使得，设，则，，，，，则故所求的最小值为故选：．题型6 正弦定理20．（2025春•荣昌区校级月考）若△的三个内角满足，则△（　　）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：根据正弦定理，又，设，，角为钝角．故选：．题型7 余弦定理21．（2025•房山区学业考试）在△中，角，，所对边长分别为，，，若，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：因为，所以由余弦定理可知，，，当且仅当时，取得等号．故选：．22．（2025春•重庆校级期中）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（　　）A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形【解答】解：设三边分别为，，，利用面积相等可知，令，，由余弦定理得，所以角为钝角，故选：．23．（2025春•太和县期中）设的内角，，，所对的边分别是，，．若，则角　　．【解答】解：由已知条件可得即由余弦定理得：又因为，所以．故答案为：24．（2023秋•济宁期末）已知△中，，，分别为角，，所对的边，且，，，则△的面积为（　　）A． B． C． D．【解答】解：化简得，，所以．所以．，把，，代入解得，所以故选：．题型8 三角形中的几何计算25．（2025秋•珠海校级月考）满足条件，的三角形的面积的最大值是　　．【解答】解：设，则，根据面积公式得，根据余弦定理得，代入上式得，由三角形三边关系有，解得．故当时，取得最大值．26．（2025春•东海县期中）如图，中，，，点在边上，，则的长度等于　　．【解答】解：由向作垂线，垂足为，故答案为：27．（2024春•市中区校级月考）如图，在等腰直角中，，，点在线段上，（Ⅰ）若，求的长；（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在中，，，，由余弦定理可得，，解得的长为1或3；（Ⅱ）设，，在中，由正弦定理可得：，，同理，，故因为，所以，所以当时，的最大值为1，此时，的面积最小，面积的最小值．题型9 共轭复数28．（2024春•闵行区校级月考）若复数同时满足为虚数单位），则　　．【解答】解：设，，，则有．即，解得，．故答案为：．题型10 复数的模29．（2024春•鹤山市校级月考）已知，且，为虚数单位，则的最小值是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设，满足的点均在以为圆心，以1为半径的圆上，所以的最小值是，连线的长为4与1的差，即为3，故选：．题型11 复数的混合运算30．（2024春•东莞市校级月考）是虚数单位，　　．（用的形式表示，，【解答】解：．故答案为：．题型12 空间几何体的表面积31．（2025春•滦南县期中）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为　　．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为，设正四棱柱的高为，，解得，那么该棱柱的表面积为．故答案为：题型13 空间几何体的体积32．（2025春•卓尼县校级月考）已知三棱锥，、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为　　A． B．或 C． D．或【解答】解：因为长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界）， 有空间想象能力可知的中点的轨迹为以为球心，以1为半径的球体，则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或．故选：．33．（2025秋•浦东新区月考）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的侧面面积　　．【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积．故答案为：34．（2024秋•黄浦区校级期中）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且．，．设是底面内一点，定义，，，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，，，且恒成立，则正实数的最小值为　　．【解答】解：、、两两垂直，且．，．即则解得正实数的最小值为1故答案为：135．（2024秋•科尔沁区校级期末）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，故选：．题型14 球的体积和表面积36．（2024春•洮北区校级期末）如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：设大球的半径为，则小球的半径为：，由题意可得：，所以，即：．故选：．37．（2024•岳阳县开学）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（　　）A． B． C． D．【解答】解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的倍，又高为，故底面中心到底面顶点的距离都是2由此知顶点到底面的距离是此正四面体的体积是，又此正四面体的体积是，故有．上面的三棱锥的高为，原正四面体的高为，所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为，，．故选：．38．（2024秋•裕安区校级月考）在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且．若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（　　）A． B． C． D．【解答】解：三棱锥正棱锥，（对棱互相垂直）又而，平面即平面，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，，（3），故选：．39．（2025春•三元区校级月考）一个半径为1的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　　．【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为故小三角形的边长为小球与一个面不能接触到的部分的面积为，几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是故答案为：题型15 平面的基本性质及推论40．（2025秋•西青区校级期中）如图，长方体中，，，，分别过，的两个平行截面将长方体分成三个部分，其体积分别记为，，．若，则截面的面积为　　A． B． C． D．16【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面，截面是一个矩形，并且长方体的体积，，，则，解得，在直角中，，故截面的面积是，故选：．题型16 异面直线及其所成的角41．（2025春•庄浪县校级期中）如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是　　A． B． C． D．【解答】解：取的中点，连接，，，就是与所成角，设，则，，，在△中，．故选：．42．（2025秋•北京校级月考）已知正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为　　．【解答】解：连接，设易知，就是异面直线与所成角，在中，由于，，可得，故答案为：．题型17 空间中直线与直线之间的位置关系43．（2025春•嘉定区校级期末）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【解答】解：若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线” “这两条直线没有公共点”；反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故选：．44．（2025•裕安区校级开学）已知、是直线，、是平面，给出下列命题：①若垂直于内两条相交直线，则；②若平行于，则平行于内所有的直线；③若，且，则；④若且，则；⑤若，且，则．其中正确命题的序号是　　 ．【解答】解：若垂直于内的两条相交直线，则，故①正确，若，则行于内的大部分直线，还与一部分直线是异面关系，故②不正确，若，，且，则或平行或斜交，故③不正确，若，且，则；这是面面垂直的判定定理，故④正确若，且，则或异面，故⑤不正确，总上可知有1个命题正确，故选．故正确命题的序号是 ①④．题型18 空间中直线与平面之间的位置关系45．（2025秋•怀柔区校级期中）若有平面与，且，，，，则下列命题中的假命题为（　　）A．过点且垂直于的直线平行于 B．过点且垂直于的平面垂直于 C．过点且垂直于的直线在内 D．过点且垂直于的直线在内【解答】解：过点且垂直于的直线一定平行于在内与交线垂直的直线，故正确；由题意和面面垂直的性质定理知，选项、正确；过点且垂直于的直线有可能垂直与，不正确；故选：．题型19 直线与平面平行46．（2025春•腾冲市校级月考）正方体中，，分别是棱，，的中点．在对角线上，且，给出下面四个命题：（1）面；（2）面；（3），，三点共线；（4）面面．正确的序号为（　　）A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（3）（4）【解答】解：（1），连接、，易得、交于点，即面，所以面是错误的；（2）平面延展，可知、在平面上，，所以面，是正确的；（3）由，以及（2）△△所以，，，三点共线，是正确的；（4）直线延长到，则在平面，又在平面，面面，是错误的．故选：．47．（2025春•庐阳区校级月考）如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若平面，则线段的长度等于 　　．【解答】解：平面，平面，平面平面，，又点为的中点，点在上，点是的中点，．故答案为．题型20 直线与平面垂直48．（2025秋•都江堰市校级月考）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（　　）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可知，则点符合“为底面内的一个动点，且满足”设的中点为，根据题目条件可知△△，点也符合“为底面内的一个动点，且满足”故动点的轨迹肯定过点和点而到点与到点的距离相等的点为线段的垂直平分线段的垂直平分面与平面的交线是一直线故选：．49．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，四棱锥中，底面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．【解答】解：（Ⅰ），为等腰三角形，再由，．再由底面，可得．而，故平面．（Ⅱ）侧棱上的点满足，三棱锥的高是三棱锥的高的．的面积．三棱锥的体积．题型21 平面与平面之间的位置关系50．（2014•闵行区校级模拟）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 　　．【解答】解：过且与点垂直的平面有且仅有一个，设为，则直线在平面内，平面与平面只有一条交线，所以动点的轨迹是一条直线（过点垂直于的平面与平面的交线）．故答案为：一条直线（过点垂直于的平面与平面的交线）．题型22 平面与平面垂直51．（2025秋•铜仁市校级月考）如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，．（Ⅰ）若平面交平面于直线，求证：；（Ⅱ）若直线平面．求三棱锥的表面积；试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面与棱交于点，求三棱锥的体积．【解答】解：（1）在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以，因为点、 分别是棱、 的中点，所以，所以．（2）因为直线平面，平面，所以，又因为△，所以，所以，因为，，，所以三棱锥的表面积为．作图步骤如下：连接，过点作于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点交的延长线于点，再连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，再连接，，，则图中，，，，，即为平面与正方体各个面的交线．设，由题知，所以，所以，解得，因为，，，所以，如上图，设为线段的中点，可证点在平面内，且三角形与三角形面积相等，所以，三棱锥的体积三棱锥的体积三棱锥的体积，所以三棱锥 的体积为．题型23 直线与平面所成的角52．（2025春•浙江校级月考）如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．则与平面所成的角的正弦值是　　．【解答】解：过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接，有三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为又由已知，连接，则为与平面所成的角设，则，；故答案为．$专题02 期中真题百练通关（压轴） 题型1平面向量平行四边形法则的应用 题型12空间几何体的体积 题型2平面向量数量积的性质及其运算 题型13球的体积和表面积 题型3平面向量的坐标运算 题型14平面的基本性质及推论 题型4平面向量的综合题 题型15异面直线及其所成的角 题型5正弦定理 题型16空间中直线与直线之间的位置关系 题型6余弦定理 题型17空间中直线与平面之间的位置关系 题型7三角形中的几何计算 题型18直线与平面平行 题型8共轭复数 题型19直线与平面垂直 题型9复数的模 题型20平面与平面之间的位置关系 题型10复数的混合运算 题型21平面与平面垂直 题型11空间几何体的表面积 题型22直线与平面所成的角3 / 23学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型1 平面向量共线的应用1．（2024春•余姚市期末）在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中、，则　　．2．（2025春•吉首市校级月考）如图，在△中，点是的中点．过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的值为 　　．题型2 平面向量平行四边形法则的应用3．（2024春•海淀区校级月考）如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是　　；当时，的取值范围是　　．题型3 平面向量数量积的性质及其运算4．（2025•广东学业考试）在△中，，，，则（　　）A． B． C． D．5．（2025春•嘉定区校级期中）如图，在平行四边形中，，垂足为，且，则　　．6．（2024•新城区校级模拟）如图，在△中，，，，是边上一点，，则　　．7．（2025春•定西校级期中）如图，在四边形中，，，，则的值为　　A．2 B． C．4 D．8．（2025春•黄浦区校级月考）在直角△中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（　　）A． B． C． D．9．（2025春•河东区期中）设两个向量和，其中，，为实数．若，则的取值范围是（　　）A．， B．， C．， D．，10．（2025春•广州期末）已知，是单位向量，．若向量满足，则的最大值为（　　）A． B． C． D．11．（2025春•和平区校级期中）若非零向量，满足，则（　　）A． B． C． D．12．（2025春•凤庆县月考）是△所在平面上一点，若，则是△的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心13．（2024春•重庆校级月考），，，点在内，且，设、，则等于（　　）A． B．3 C． D．14．（2025秋•诏安县校级月考）设向量满足，若，则的值是　　．15．（2025春•广州校级月考）关于平面向量有下列四个命题：①若，则，；②已知，．若，则．③非零向量和，满足，则与的夹角为．④．其中正确的命题为 　　．（写出所有正确命题的序号）16．（2024春•浑南区校级期中）在中，，边上的中线，．（1）求的长；（2）求的值．17．（2025春•裕安区校级期中）向量、满足，且，，则与夹角的余弦值等于　　．题型4 平面向量的坐标运算18．（2025•城阳区校级一模）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令．下面说法错误的是（　　）A．若共线，则 B． C． D．对任意的题型5 平面向量的综合题19．（2025春•福州校级期中）在△中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（　　）A． B． C． D．题型6 正弦定理20．（2025春•荣昌区校级月考）若△的三个内角满足，则△（　　）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形题型7 余弦定理21．（2025•房山区学业考试）在△中，角，，所对边长分别为，，，若，则的最小值为（　　）A． B． C． D．22．（2025春•重庆校级期中）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（　　）A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形23．（2025春•太和县期中）设的内角，，，所对的边分别是，，．若，则角　　．24．（2023秋•济宁期末）已知△中，，，分别为角，，所对的边，且，，，则△的面积为（　　）A． B． C． D．题型8 三角形中的几何计算25．（2025秋•珠海校级月考）满足条件，的三角形的面积的最大值是　　．26．（2025春•东海县期中）如图，中，，，点在边上，，则的长度等于　　．27．（2024春•市中区校级月考）如图，在等腰直角中，，，点在线段上，（Ⅰ）若，求的长；（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．题型9 共轭复数28．（2024春•闵行区校级月考）若复数同时满足为虚数单位），则　　．题型10 复数的模29．（2024春•鹤山市校级月考）已知，且，为虚数单位，则的最小值是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5题型11 复数的混合运算30．（2024春•东莞市校级月考）是虚数单位，　　．（用的形式表示，，题型12 空间几何体的表面积31．（2025春•滦南县期中）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为　　．题型13 空间几何体的体积32．（2025春•卓尼县校级月考）已知三棱锥，、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为　　A． B．或 C． D．或33．（2025秋•浦东新区月考）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的侧面面积　　．34．（2024秋•黄浦区校级期中）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且．，．设是底面内一点，定义，，，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，，，且恒成立，则正实数的最小值为　　．35．（2024秋•科尔沁区校级期末）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是　　A． B． C． D．题型14 球的体积和表面积36．（2024春•洮北区校级期末）如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是　　A． B． C． D．37．（2024•岳阳县开学）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（　　）A． B． C． D．38．（2024秋•裕安区校级月考）在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且．若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（　　）A． B． C． D．39．（2025春•三元区校级月考）一个半径为1的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　　．题型15 平面的基本性质及推论40．（2025秋•西青区校级期中）如图，长方体中，，，，分别过，的两个平行截面将长方体分成三个部分，其体积分别记为，，．若，则截面的面积为　　A． B． C． D．16题型16 异面直线及其所成的角41．（2025春•庄浪县校级期中）如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是　　A． B． C． D．42．（2025秋•北京校级月考）已知正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为　　．题型17 空间中直线与直线之间的位置关系43．（2025春•嘉定区校级期末）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件44．（2025•裕安区校级开学）已知、是直线，、是平面，给出下列命题：①若垂直于内两条相交直线，则；②若平行于，则平行于内所有的直线；③若，且，则；④若且，则；⑤若，且，则．其中正确命题的序号是　　 ．题型18 空间中直线与平面之间的位置关系45．（2025秋•怀柔区校级期中）若有平面与，且，，，，则下列命题中的假命题为（　　）A．过点且垂直于的直线平行于 B．过点且垂直于的平面垂直于 C．过点且垂直于的直线在内 D．过点且垂直于的直线在内题型19 直线与平面平行46．（2025春•腾冲市校级月考）正方体中，，分别是棱，，的中点．在对角线上，且，给出下面四个命题：（1）面；（2）面；（3），，三点共线；（4）面面．正确的序号为（　　）A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（3）（4）47．（2025春•庐阳区校级月考）如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若平面，则线段的长度等于 　　．题型20 直线与平面垂直48．（2025秋•都江堰市校级月考）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（　　）A． B． C． D．49．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，四棱锥中，底面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．题型21 平面与平面之间的位置关系50．（2014•闵行区校级模拟）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 　　．题型22 平面与平面垂直51．（2025秋•铜仁市校级月考）如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，．（Ⅰ）若平面交平面于直线，求证：；（Ⅱ）若直线平面．求三棱锥的表面积；试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面与棱交于点，求三棱锥的体积．题型23 直线与平面所成的角52．（2025春•浙江校级月考）如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．则与平面所成的角的正弦值是　　．$